洛仑兹规范的电磁场和光子

洛仑兹规范的电磁场和光子
1.经典场。

电磁场的拉格朗日密度为：
()()
μννμμννμA A A A ∂-∂∂-∂-
=4
1
L 在洛仑兹规范下。

0=∂μμA 。

则L 可以变成：
For personal use only in study and research; not for commercial use
νννννμνμA A A A A A ∇⋅∇+
-=∂∂-=2
12121 L （1）
正则坐标为)(x A μ，正则动量为：
μ
μπA A
x -=∂∂=L
)( （2）
则场的能量与动量为：
()()
⎰⎰∇⋅∇+-=-=x d A A A A x d A H 3321μμμμμμπ L （3） ⎰⎰∇=∇-=x d A A x d A p 33μμ
μμπ
（4）
2.量子化
将μ
A 和μ
μπA -=作为正则共轭算符，且满足正则对易关系： ()()[]()',',,3
x x ig t x A t x A -=-δ
μ
ν
ν
μ
或：
()()[]()',',,3
x x ig
t x A t x A
--=δμν
ν
μ
()()[]0,',,=t x A t x A ν
μ
，()()[]0,',,=t x A t x A ν
μ
（5）
则完成了正则量子化。

其运动方程为：
[]μμA H i A ,= ，[]
μ
μA H i A ,= （6）
将（3）式代入得：
()()()()()(
)
[⎰∇⋅∇+=','','',',',3x d t x A t x A t x A t x A i t x A νννν
μ ()]
t x A ,, μ
()()()[]⎰∇⋅∇-=t x A t x A t x A x d i ,,,'','''3
μ
νν
()()⎰-∇⋅∇-'',''')5(33x x g t x A x d i
δμνν式
()t x A ,2
μ∇=
亦即：
()0,222=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∇-∂∂t x A t μ⇒0=∂∂νμμA （7）
这就是四维失势，现在是算符的波动方程。

3.一般解。

（7）式所示的波动方程有平面波解，如§1.5，（32）式。

()ikx K e k e V x A λω
μμλ,21
)(,=
±
诸平面波的叠加，就构成它的一般解为：
()()()()
∑+=-λ
μμλλλω
,,,,21
)(k iKX iKX e k a e k a k e V x A
（8’）
或：
()()()()
∑*
+=λ
μμλλλ,)(,)(,,)(k k k x f k a x f k a k e x A
（8）
其中：iKX k e V x f -=ω
21
)(为平面波因子
()λμ,k e （λ=1，2，3，4）是四个极化矢量，其定义如§1.5中（26）式示。

()()()()()()()()()()()()()
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧==-=
===0,1,4,,,3,,03,2,,02,,1,,01,
μμμμμμ
μμηηηηηεεεi k e k k k k k e k k e k k e （9）
它们是正交，归一，完备的，即：
()()'',,λλμμδλλ-=k e k e
（10）
()()μνλ
νμλλg k e k e -=∑=4
1,, （11）
()0,=λμμk e k ，λ=1，2，
（12）
用)(x f i k t *
∂ 右乘（8），并利用正交关系：
',3
)()(k k k t k
x f i x xf d
δ=∂⎰*
得：
()()∑⎰-=∂*
λ
μμλλ,,)()(3
k a k e x d x f i x A k
t 再利用()',λμk e 乘上式，并利用（10）式得：
()()⎰*
∂=x d x f i x A k e k a k t 3)()(,, μμ
λλ
（13）
同样的方法可得：
()()⎰
∂=x d x A k e i x f k a t k 3)(,)(,μμ
λλ
（14）
4.动量极化函数算符
以上论述表明：电磁场可以用时空函数算符)(x A μ，)(x A μ
-描述，也可以用动量，极化函数算符()λ,k a ，()λ,k a 表征，它们之间由（8），（13）及（14）式相联系。

变号（13）式的()λ,k a 得：
()()⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=**x d x f t x A t x f x A i k e k a k k 3
)()()()(,,μμμ
λλ
对上式求厄米共轭得：（注：μμA A =+
，由于光子为一中性粒子）
()()⎰*+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂-∂∂=x d k e t x f x A x f t A i k a k k 3
,)()()(,λλμμμ 亦即 ()()⎰*+
∂=x d x A k e i x f k a t k 3)(,)(,μμ
λλ （14’）
由于
()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==*4,3
,2,1,,,k e i i k e k e μμ
μ
λ
故（比较（14）与（14’））
()().3,2,1,,,==+i i k a i k a （15） ()().3,2,1,4,4,=-=+i k a k a
（16）
动量，极化函数算符的对易关系由（5）式可推知为：
()()[]'',',',,λλδδλλk k k a k a =，()()[]0',',,=λλk a k a
()()[]0',',,=λλk a k a
（17）
例如：
()()[]()[
,)()(,',',,3⎰*
∂=x d x f i x A k e k a k a k t μμ
λλλ
()]
⎰
∂')'(',')'(3'x d x A k e i x f t k νν
λ
()()[]
{⎰*=)(),'()'()('',','33x A x A x f x f x xd d k e k e k k μ
ννμλλ []}
)(),()'()('x A x A x f x f k k ν
μ *- ()()()
⎰**-)'()()'()('',',)5('
'33x f x f x f x f i x xd d g k e k e k k k k μννμλλ式 ()'3x x
-*δ
()()()
⎰**-=)'()()'()(',','
'3x f x f x f x f xi d k e k e k k k k λλμμ ()()⎰*
∂=)()(',','3
x f i x xf d k e k e k t k λλμμ
()()',',',k k k e k e δλλμμ-=
'
,'k k δδλλ= 将（8）式代入（3）式的H 中得：
()
⎰
∇⋅∇+-
=μ
μμμA A A A x d H 321 ()
()()⎰∑∑⋅---=λλμ
μλλωω,'
',3',','21k k k e k e k k x d
()()()()()()
)(',')(',')(,)(,''x f k a x f k a x f
k a x f k a k k k
k
**
--λλλλ
()()*⋅+-=∑∑λλμ
μλλω
ωω,'',',',2''21k k k e k e k k
()()()()(',',2',',',',k k k k t
i k a k a e
k a k a δλλδλλω---
()()()())
',2',',',',',k k t i k k e k a k a k a k a -+-δλλδλλω
',23
'2)()(k k t i k k e x d x f x f
--=⎰
δω
ω
',3'21)()(k k k k x d x f x f
δω
=
⎰* 若'k k
-=
k ==ωω'则0''2
2
=-=⋅+k k k ωωω
故
()()()()()()()∑∑+-
=λλμ
μλλλλλλω,'
',,',,',',21k k a k a k a k a k e k e H
()()()()()∑+=
λ
λλλλω,,,,,21
k k a k a k a k a
亦即
()()∑⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=λ
λλω,21,,k k a k a H
（18）
()()⎰∑∑⎰*=∇=λλμμμμλλω,'
',33',','k k k e k e k x d x d A A p
()()()()()()
)(',')(',')(,)(,''x f k a x f k a x f
k a x f k a k k k
k
**
--λλλλ
()()()(){
∑∑--=λλωμμδλλλλ,'',',2',',',',2
k k k k t
i e k a k a k e k e k
()()()()','
,',',',',k k k k k a k a k a k a δλλδλλ-- ()()}
',2',',k k t i e k a k a -+δλλω
与P89同样的理由，上式中包含()()',',λλk a k a 与()()',',λλk a k a 对求和项无贡献，故上式
()()()()()()()∑∑+-=λλμ
μλλλλλλ,'',,',,',',2
k k a k a k a k a k e k e k
()()()()()∑+=λ
λλλλ,,,,,2k k a k a k a k a k
亦即 ()()∑=λ
λλ,,,k k a k a k p
（19） 5.三种光子
在场的能量、动量表示（18）与（19）中，有算符
()()()λλλ,,,k a k a k N =
（20）
由对易关系（17）可以证明
[]+
+
=a a N ,，[]a a N -=,
（21）
如：[
]
+
a N ,=()[]()[]⎩⎨⎧-=4,,3,2,1,,,k a N i i k a N =()()⎩
⎨⎧-=4,3,2,1,,k a i i k a =()λ,k a +
，λ=1，2，3，4。

而[][]a a a a a N -==,,
这样，在N 的对角化表象中，若
n n n N =
则
()n a n n Na +++=1 ()n a n n Na 1-=
（22）
即而表明()λ,k a +，()λ,k a ，()()()λλλ,,,k a k a k N =是光子的产生算符，消灭算符及光
子数算符。

光子的能量为k
=ω，动量为k ，极化为λ=1，2，3，4。

λ=1，2的光子叫做
横光子，λ=3的光子叫做纵光子，λ=4的光子叫做标量光子
6.存在的问题
洛仑兹规范显然是相对论的，可是有严重缺陷，首先对易关系
()()[]()',',,3
x x ig
t x A t x A
--=δμν
ν
μ
与洛仑兹条件是矛盾，实际上对上式求导μ
∂得。

()()[]
()',',,3x x i t x A t x A -∂-=∂
δμ
νμμ
00≠ 矛盾！
其次，态失的模可能是负的。

能量也可能是负的
因为若用04+
a 表示一个标量光子的状态，则由（15），（16），（17）得：
44441a a a a +=⇒44441a a a a +
++-=
则
()
1010000
44442
4-=+-==+
++a a a a a
即态失04+
a 的模是负的，不可思议！！！ 而
002
102
144442
2
4+
++=
a a a a a ()
0102
14444+
++-=
a a a a 0021214444+++=a a a a ()
0121214444+++-+=a a a a =1 ……………
()44
10!
12
442
4
n
n a n n -==
+
所以当标量光子数4n =偶数时，态失的模是正的，反之当标量光子数4n =奇数时，态失的模是负的。

另外：
2
4
4444n n n N n =
由于04≥n ，而2
4n 可正可负，这样粒子数算符4N 在态失中的平均值也可正可负，这故
得由（18）式表示的能量算符在粒子态间的平均值也可能是负的。

而这是物理上不允许的。

7.量子场论中的洛仑兹条件 当我们把洛仑兹条件写成：
0=∂μμA
（23）
时，它与对易关系是矛盾的。

在经典电磁场的情况下，洛仑兹条件就是（23）式。

但是，量子化以后，场量)(x A μ是算符，洛仑兹条件就不应是（23）式的形式。

实际上，在量子理论中，算符（如A ）与态失（如a ）都没有直接的物理意义，有直接物理意义的，是算符在态失中的平均值（如a A a ，和态的模（如a a ）或标积（如b a ）。

它们和经典理论中的量相对应，因此，量子场论中的洛仑兹条件，不应以算符的形式出现，而应以算符在态失间的平均值的形式出现，令φ为物理上允许的状态，则（23）式表示的经典场论的洛仑
兹条件应变写成：
0)(=∂φφμμx A
（24）
这样，它和对易关系（5）就不矛盾了。

下面我们继续改写（24）式。

由（8）式知，算符μA 可分为成正数部分+μA 和负数部分-
μA ，即：
)()()(x A x A x A -
++=μμμ
其中
()()∑=+λ
μμλλ,)(,,)(k k x f k a k e x A
()()∑*
-=λ
μμλλ,)(,,)(k k x f k a k e x A
()()()()∑∑∑*
+=*+-=k
k k
i k x f k a k e x f i k a i k e
)(4,4,)(,,3
1
μμ 由于
()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==*
4,3,2,1,,,k e i i k e k e μ
μμλ
所以
()
)()(x A x A ++
-
=μμ
这样（24）式可以变写成：
0=∂+∂-
+φφφφμμμμA A
或：
0=∂+∂+
+
+φ
φφφμμμμA A
这样如果
0)(=∂+
φμμx A
（25）
（24）式自然成立，故可将上式看成是量子场论中的洛仑兹条件。

将)(x A +
μ的平面波展开式（8）代入上式得：
()()0)(,,,
=∂∑λ
μμφλλk k
x f k a k e
对于确定的k
，上式变为：
()()0,,=∑λ
μμφλλk a k e k
由§1.5节（29）式知：
()0,=λμμk e k ，
（λ=1，2） 故上式成为：
()()()()()04,4,3,3,=+φμμμk a k e k a k e k
将 ()()()
ηηημμμ⋅⋅-=
k k k k e 3,
()μμηi k e =4,
代入上式得：
()()()()()04,3,22=⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅-φηηηk a k i k a k k k 对于光子 02
2
2=-=k k ω，故上式变成：
()()()()04,3,=-⋅-φηk ia k a k
亦即：
()()()04,3,=-φ
k ia k a
对于任意的k ，上式都成立，故上式表明
()()
⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+
+0
4343ia a ia a φφ （26）
这就是以消灭，产生算符表示的洛仑兹条件，3a ，+
3a 是纵光子的消灭算符和产生算符，4a ，
+
4
a 是标量光子的消灭算符和产生算符。

它们的能量动量是相同，但都是任意的。

只有满足（26）式的状态
φ，才是物理上允许的。

8.负模与负能困难的消除 用（24），（25）或（26）表示的量子场论中的洛仑兹条件，不仅和对易关系不矛盾，还解决了标量光子带来的态失的负模及负能量的问题。

实际上，在能量，动量表达式式（18）与（19）两式中出现的纵光子与标量光子数算符之和为
4433443343a a a a a a a a N N +
+-=+=+
()()()
()4343434
32
121ia a ia a ia a ia a +++--=
+++
+ 由于洛仑兹条件(26)式，它们在物理态中的平均值为零，即
043=+φφN N
因此，场的能量、动量为：
()()()()∑⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=+
+k
k a k a k a k a H
φφωφφ212,2,1,1, ()()()()()
∑+
+++=k
k a k a k a k a k p
φφφ2,2,1,1, 这表明：在物理上允许的态中，纵光子和标量光子对场的能量、动量没有贡献，且场的能量
是正定的。

令()()4,3,)(k ia k a k L -=
（27） ()()4,3,)(k a i k a k L ++++=
（28）
可以证明：它们是相互对易的。

如
[]()()()()[]4,'3,',4,3,)'(),(k ia k a k ia k a k L k L +
+
+
+-=
()()[]()()[]
4,',4,3,',3,k a k a k a k a +++=
0'
,',=-=k k k k δδ 再令
⋯⋯+⋯⋯+++=∑∑+
++2
11
,212111)()(),()()(1k k k f k L k L k k f k L k f R
（29） ⋯⋯+⋯⋯+++=∑∑+++2
11
,212111)()(),()()(1k k k g k L k L k k g k L k g R
（30）
其中)(1k f ，),(21k k f ，)(1k g ，),(21k k g ……都是任意的函数，显然，它们的及它们的厄米共轭+
f R ，+
g R 之间都是相互对易的，即：
[]0,=g
f
R R []0,=+
g
f
R R
用
0φ表示只有横光子，没有纵光子和标量光子的状态，显然它满足洛仑兹条件
0)(0=φk L
所以
0φ是物理上允许的状态。

用f R 与g R 作用在0φ上得
0φφf f R =，0φφg g R =
则f φ与g φ将为已包含有横光子，又包含有纵光子与标量光子的状态。

且满足洛仑兹条件
0)()()(00===φφφk L R R k L k L f f f
0')(')()(00===φφφk L R R k L k L g g g
其标积为：
'00φφφφg f g f R R += ''0000φφφφ==+f g R R
这表明，纵光子和标量光子对态失的标积也是没有贡献的。

态失的标积和模，不管态中是否
有纵，标光子，都只由态中的横光子确定。

而横光子的模是正定的。

这就排除了态失负模的困难。

综合以上所述，由于采用了洛仑兹条件（24），（25）或（26），故纵光子和标量光子既对算符在物理态中的平均值无贡献，又对物理态的标积和模不起作用，因而它们是无法测量的。

这样就消除了纵光子和标量光子引起的麻烦。

从现在的物理观点来看，纵光子和标量光子可以以虚粒子的形式出现。

§3.7 连续对称变换下的生成元和守恒量
在§2.2节我们介绍了Noether 定理，在那里我们知道，理论的对称性或不变性与守恒量或守恒定理相对应。

在那里讨论的是经典场，所以上述结论是对经典场而言的。

量子化后，经典场量)(x αφ将被视为算符，所以对称性与守恒定律的关系应考虑到算符的特点。

这一节我们就是要讨论量子场论中Noether 定理的形式。

1.连续变换下的生成元。

在连续变换下，算符)(x αφ（经典场论中的场量）的本征变换可用一个幺正算符u 来实现
1)()(')(-=→u x u x x αααφφφ
（1）
其中
iG e u = 1-+=u u ⇒G G =+，即G 是一厄米算符称为幺正变换的生成元。

同样
与)(x αφ相应的正则动量)(x απ的本征变换也具有相同的形式，即：
1)()(')(-=→u x u x x αααπππ
（2）
而对于作为正则变量)(x αφ，)(x απ的任意函数())(,x F ααπφ在上述变换下的本征变换亦为
1'-=→uFu F F
（3）
如哈米顿算符()ααπφ,H
1'-=→uHu H H
（4）
对于无穷小变换，G 是一小量。

所以
iG u +=1
（5）
这样
()()[])(,)(1)(1)('x G i x iG x iG x ααααφφφφ+=-+=
所以
[])(,)()(')(x G i x x x ααααφφφδφ=-=
（6）
同样
[])(,)(x G i x ααπδπ=
（7） []F G i F ,=δ
（8） []H G i H ,=δ
（9）
2.守恒量
量子化后的正则变量)(x αφ，)(x απ满足如下的对易关系与运动方程。

()()[]()',',,3
x x i t x t x
-=δδ
πφαβ
β
α
()()[]0,',,=t x t x β
α
φφ ()()[]0,',,=t x t x
β
α
ππ
（10）
[])(,)(x H i x α
αφφ= ，[])(,)(x H i x ααππ= 而正则变量的函数F ，其运动方程为：
[]F H i F
,= （11）
若F 不仅是正则变量)(x αφ，)(x απ的函数，还是时间t 的函数，则其运动方程应变写为：
[]F H i t
F F
,+∂∂= （12）
取上式中的任意函数F 为生成元G ，则
[]G H i t
G G
,+∂∂= （13）
显然，若 t
G H ∂∂=
δ，则由（9）式知：0=G ，即生成元G 为一守恒量。

所以我们将满足
t
G
H ∂∂=
δ （14）
的变换叫做对称变换，而称满足上述条件的生成元G 为对称变换生成元。

此时它为一守恒量，由此我们得
量子场论的Noether ：对称变换的生成元是守恒量，或守恒量是对称变换的生成元。

3.时空平移变换
在§2.3节，我们曾讨论过时空平移变换，我们知道，时空平移变换是一种对称变换，相应的守恒量是能量、动量
()
⎰-=x d H 3L α
αφπ ，⎰∇-=x d p 3ααφπ （15）
它们不显含时间，按照上述定理，它们是对称变换0=H δ的生成元。

可以直接证明，它们
确实是时空平移变换的生成元。

在时空平移变换下，由§2.3节P40,41，（1），（3），（4’）知
μμεδ=X
)()'(')(x x x αααφφφ=→，)()('x x x δφφαα-=
（16）
)()()(')(x x x x αμμαααφεφφδφ∂-=-→
取幺正算符
iG e u =，P G ⋅-=ε
（17）
其中()p H P
,=μ
是四维动量矩，则
1)()('-=u x u x ααφφ （17’） [])(,)(x P i x ααφεδφ⋅-=
（18）
在时间平移变换下，由（16）式知：
)()(0x x α
αφεδφ -= 而由（18）式得：
[])(,)(0x H i x ααφεδφ-=
由此得：
[])(,)(x H i x α
αφφ= 此即为（10）式所示正则坐标)(x αφ的运动方程，这就证明了，哈米顿算符H 是时间平移的生成元。

在空间平移下，由（16）式得：
)()(x x ααφεδφ∇⋅-=
而由（18）式得：
[])(,)(x p i x ααφεδφ
⋅--=
()()()[]
t x x d t x t x i ,,','','3 αββφφπε⎰∇-⋅= ()()[]
()⎰∇⋅-=t x t x t x x d i ,'',,,''3 βαβφφπε
()()⎰∇-⋅=t x x x i x d i ,''''33 βαβφδδε
)(x αφε∇⋅-=
这就证明了p
是空间平移的生成元。

上述的ε是无穷小量，在有限大小的平移变换下，场量的本征变换按照（16）式应为：
μμμG X X +='
)()('a x x -=ααφφ
（19）
而按照（17）与（17’）两式
iap iap e x e x )()('ααφφ-=
（20）
这样：
iap iap e x e a x )()(ααφφ-=-
（21）
或：
iap iap e x e a x -=+)()(ααφφ
（22）
这是文献中常常采用的时空平移变换公式。

4.时空转动变换
由§2.4节的讨论知，时空转动，亦即洛仑兹变换，也是一种对称变换，相应的守恒量为：
()
⎰--=x d s i J x J x J 300βνλαβανλλννλφπ
则按照上述定理，它们是洛仑对称变换的生成元 亦即
iG e u =，λννλεJ G -=
（23）
下面我们来证明，上式的G 亦即νλ
J 确实是洛仑兹对称变换的生成元。

在洛仑兹变换下，
νμνμμμεX X X X +=→'
（24）
四维动量矢量()p H P
,=μ作变换
νμνμμμεP P P P +=→'
（25）
所以
νμνμεδP P =
（26） 在空间转动变换下，00=i
ε，00==i i p H εδ，
（27）
而相应的生成元为：
ji ij J G ε-=
由于ij ij jj ii kl
jl ik ij J J g g J g g J ===，同理ij ij εε=
故
ji ij ji ij J J G εε-=-=
（28）
而
()
⎰--==x d s i T x T x J J ij i j j i ij ij 300βαβαφπ
不显含时间t ，所以
H t
G
δ式)27(0=∂∂，因此G ，亦即ij ij J J =是洛仑兹对称变换的生成元。

在狭义的洛仑兹变换下（空间坐标保持不变），
0=ij ε，i i i i p p H 00εεδ-==
（29）
相应的生成元
i i J G 00ε-=
（30） 而
i i i ii lk k il i J J J g g J g g J 0000000=-===
（31）
同理i i 00εε=（32），故
0000i i i i J J G εε-=-=
（33）
而
()
⎰--=x d S i T X T X J i j i i 3000000βαβαφπ
（34）
则
03000i i i i
x d T t
J t G εε⎰-=∂∂-=∂∂ H p i i i δεε式式）式（节)29()32(p 6P413.200i --
故G ，亦即i
J 0是狭义洛仑兹对称变换的生成元。

5.内部空间的对称性
在内部空间的转动变换下，由前面§2.7节的讨论知：
(
))()(')(x e
x x j
ij i i i αλθααφ
φφβ
β-=→
在无穷小变换下，
())(1)(')(x i x x j ij i i αββααφλθφφ-=→
（35）
)()(x i x j ij i αββαφλθδφ-=。

+
++=ij j i x i x βαβαλφθδφ)()(
则由§2.7节（18）式知：对于上述对称变换，其守恒量为：
()
⎰+++--=x d x i Q j ij i j ij i 3
)(αβαααβφλπφλπ
（36）
则由前面的定理知：应存在生成元
ββθQ G =
（37）
故得：
[])(,)(x G i x i i ααφδφ=
（38）
由（36）与（37）两式，上可写成：
[])(,)(x i x i i αββαφθθδφ=
()()()()()()[]t x x d t x t x t x t x i
j kj k j kj k ,,',',',','3 αρβρρβρβ
φφλπφλπ
θ⎰+++-= 由于
()()[]()',',,3
x x i t x t x ik k
i
-=δδδ
πφαρρα，其它的都对易，故有：
()()⎰--=t x x x x d i x j kj ik i ,''')(33
ρβαρβαφλδδδθδφ
)(x i j ij αββφλθ-==（35）式中的)(x i αδφ
这就证明了（37）式所示的G 亦即（36）式所示的βQ 是内部对称变换的生成元。

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