忻府区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

忻府区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在正方体中， 分别为的中点，则下列直线中与直线 EF
相交
1111ABCD A B C D -,E F 1,BC BB 的是（
）
A ．直线
B ．直线
C. 直线
D ．直线1AA 11A B 11A D 11
B C
3
4意在考查学生空间想象能力和计算能，，则，
}Z ∈{}|42,P x x k k Z ==-∈M C ．
D ．M N P =⊆M P N ==的中心，若
+
，则x 、y 的值分别
y=
q 的等比数列，则q=（
）
k 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ）
A ．
B ．()()4
f x x =
g ()()24
=
,22
x f x g x x x -=-+
C ．
D ．()()1,0
1,1,0x f x g x x >⎧==⎨
<⎩
()()=f x x x =
，g 8． 已知双曲线：（，），以双曲线的一个顶点为圆心，为半径的圆
C 22
221x y a b
-=0a >0b >C 被双曲线截得劣弧长为，则双曲线的离心率为（ ）C 23
a π
C
A ．
B
C
D 6
5
9． 已知三棱锥外接球的表面积为32，，三棱锥的三视图如图
S ABC -π0
90ABC ∠=S ABC -所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A ．4
B ．
C ．8
D ．
10．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的
()()21x
f x e x ax a =--+1a <()0f t <取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3,12e ⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭33,24e ⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
33,24e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
3,12e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
1111]
11． 在区间上恒正，则的取值范围为（
）
()(
)2
2f x a
x a =-+[]0,1
A ．
B ．
C ．
D ．以上都不对
0a >0a <<02a <<12．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α
B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β
D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β
二、填空题
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是
（写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2C ≥sinA •sinB ．
14．已知函数，，则 ，的值域
21,0()1,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()21x
g x =-((2))f g =[()]f g x
为 ．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.15．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．16．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集 是 ▲ ．
三、解答题
17．已知椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，且a 2=2b ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l ：x ﹣y+m=0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
18．已知函数f （x ）=2cosx （sinx+cosx ）﹣1（Ⅰ）求f （x ）在区间[0，
]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f （B ）=1，a+c=2，求b 的取值范围．
19．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
41-如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相PA O A P C B ,AP CD //BC AD ,交于点，为上一点，且．E F CE EC EF DE ⋅=2（Ⅰ）求证：；
P EDF ∠=∠
（Ⅱ）若，求的长．
2,3,2:3:===EF DE BE CE PA
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
20．（本小题满分12分）已知函数，设，13
1)(23
+-=
ax x x h x a x h x f ln 2)(')(-=，其中，.
222ln )(a x x g +=0>x R a ∈（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； )(x f ),2(+∞（2）记，求证：.)()()(x g x f x F +=2
1)(≥
x F 21．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ．（Ⅰ）求证：AE=EB ；
（Ⅱ）若EF •FC=，求正方形ABCD 的面积．
22．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：
赞同
反对合计男50 150200女30 170 200合计
80
320
400
（Ⅰ）能否有能否有的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
97.5%（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．
参考公式：，22
()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=++++()
n a b c d =+++
【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力
忻府区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
试题分析：根据已满治安的概念可得直线都和直线为异面直线，和在同一个平11111,,AA A B A D EF 11B C EF 面内，且这两条直线不平行；所以直线和相交，故选D.11B C EF 考点：异面直线的概念与判断.2． 【答案】D 【
解
析
】
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：通过列举可知，所以.{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±± M P N =⊆考点：两个集合相等、子集．14． 【答案】C 【解析】解：如图，
++（
）．
故选C ．
5． 【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．　
6．【答案】A
解析：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=0
满足条，0≤k，S=3，n=1
满足条件1≤k，S=7，n=2
满足条件2≤k，S=13，n=3
满足条件3≤k，S=23，n=4
满足条件4≤k，S=41，n=5
满足条件5≤k，S=75，n=6
…
若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5，
则输入的整数k的最大值为4．
故选：
7．【答案】D111]
【解析】
考点：相等函数的概念.
8．【答案】B
考点：双曲线的性质．
9．【答案】A
【解析】
考
点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.10．【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令将函数变为两个函
()0f x =数，将题意中的“存在唯一整数，使得在直线的下方”，转化为
()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-()g t ()h x 存在唯一的整数，使得在直线的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得的取值
()g t ()h x ax a =-m 范围.
11．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数在区间上恒正，则
()(
)2
2f x a
x a =-+[]0,1，即，解得，故选C.(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩02a <<
考点：函数的单调性的应用.12．【答案】D
【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误；在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误；在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；
在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确．故选：D ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
二、填空题
13．【答案】　①④⑤　
【解析】解：由题意知：A ≠
，B ≠
，C ≠
，且A+B+C=π
∴tan （A+B ）=tan （π﹣C ）=﹣tanC ，
又∵tan （A+B ）=
，
∴tanA+tanB=tan （A+B ）（1﹣tanAtanB ）=﹣tanC （1﹣tanAtanB ）=﹣tanC+tanAtanBtanC ，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ，故①正确；
当A=，B=C=
时，tanA+tanB+tanC=
＜3
，故②错误；
若tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，
故③错误；
由①，若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则6tan 3A=6tanA ，则tanA=1，故A=45°，故④正确；当
tanB ﹣1=
时，
tanA •tanB=tanA+tanB+tanC ，即tanC=
，C=60°，
此时sin 2C=
，
sinA •sinB=sinA •sin （120°﹣A ）=sinA •（cosA+sinA ）=
sinAcosA+
sin 2A=
sin2A+
﹣
cos2A=
sin （2A ﹣30°）
≤
，
则sin 2C ≥sinA •sinB ．故⑤正确；故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
14．【答案】，. 2[1,)-+∞【
解
析
】
15．【答案】
【解析】由y ＝x 2＋3x 得y ′＝2x ＋3，∴当x ＝－1时，y ′＝1，
则曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线方程为y ＋2＝x ＋1，即y ＝x －1，设直线y ＝x －1与曲线y ＝ax ＋ln x 相切于点（x 0，y 0），由y ＝ax ＋ln x 得y ′＝a ＋（x ＞0），1x
∴
，解之得x 0＝1，y 0＝0，a ＝0.
{
a ＋1
x 0＝1
y 0＝x 0－1
y 0＝ax 0＋ln x 0
)
∴a ＝0.答案：0
16．【答案】[]
2,4-考
点：利用函数性质解不等式1111]
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（1）由题意得e=
=
，a 2=2b ，a 2﹣b 2=c 2，
解得a=
，b=c=1
故椭圆的方程为x 2
+
=1；
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0）．联立直线y=x+m 与椭圆的方程得，即3x 2+2mx+m 2﹣2=0，
△=（2m ）2﹣4×3×（m 2﹣2）＞0，即m 2＜3，
x1+x2=﹣，
所以x0==﹣，y0=x0+m=，
即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，
可得（﹣）2+（）2=5，
解得m=±3与m2＜3矛盾．
故实数m不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．
18．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1
=sin2x+2×﹣1
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴当2x+=，即x=时，f（x）min=…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=sin（+）=1，
∴sin（+）=，
∴+=，
∴B=，
由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵,EC EF DE ⋅=2DEF DEF ∠=∠∴∽,∴……………………2分DEF ∆CED ∆C EDF ∠=∠又∵,∴, ∴．
AP CD //C P ∠=∠P EDF ∠=∠（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，∴∽，
P EDF ∠=∠PEA DEF ∠=∠EDF ∆EPA ∆∴，∴，又∵，∴．ED
EP
EF EA =
EP EF ED EA ⋅=⋅EB CE ED EA ⋅=⋅EP EF EB CE ⋅=⋅∵,，∴ ，∵，∴，解得.
EC EF DE ⋅=22,3==EF DE 29=EC 2:3:=BE CE 3=BE 4
27
=EP ∴．∵是⊙的切线，∴4
15
=-=EB EP BP PA O PC
PB PA ⋅=2∴，解得．……………………10分)2
9
427(4152+⨯=PA 4315=
PA 20．【答案】（1）.（2）证明见解析.
]3
4
,(-∞【
解
析
】
试
题解析：解：（1）函数，，1111]13
1)(23
+-=
ax x x h ax x x h 2)('2-=所以函数，∵函数在区间上单调递增，
x a ax x x a x h x f ln 22ln 2)(')(2
--=-=)(x f ),2(+∞∴在区间上恒成立，所以在上恒成0222ln 2)(')('2≥--=-=x a ax x x a x h x f ),2(+∞1
2
+≤
x x a ),2(+∞∈x 立.
令，则，当时，，1)(2
+=x x x M 2
222)1(2)1()1(2)('++=+-+=x x x x x x x x M ),2(+∞∈x 0)('>x M ∴，∴实数的取值范围为.
34)2(1)(2=>+=M x x x M ]3
4
,(-∞
（2），
]2
ln )ln ([22ln ln 22)(222
2
2
2
x
x a x x a a x x a ax x x F +++-=++--=令，则111]
2
ln )ln ()(222
x x a x x a a P +++-=.4
)ln (4)ln (2ln (2ln )2ln ()2ln ()(2
222222x x x x x x a x x x x x x a a P +≥
+-+-=+++-+-=令，则，显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，
x x x Q ln )(-=x x x x Q 1
11)('-=-=)(x Q )1,0(),1[+∞则，则，故.
1)1()(min ==Q x Q 41)(≥a P 2
1
412)(=⨯≥x F 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【方法点晴】本题主要考查导数在解决函数问题中的应用.考查利用导数证明不等式成立.（1）利用导数的工具性求解实数的取值范围；（2）先写出具体函数,通过观察的解析式的形式,能够想到解析式里可能存()x F ()x F 在完全平方式,所以试着构造完全平方式并放缩,所以只需证明放缩后的式子大于等于即可,从而对新函数求4
1
导判单调性求出最值证得成立.
21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径半圆交于点F ，且四边形ABCD 为正方形，
∴EA 为圆D 的切线，且EB 是圆O 的切线，由切割线定理得EA 2=EF •EC ，故AE=EB ．
（Ⅱ）设正方形的边长为a ，连结BF ，∵BC 为圆O 的直径，∴BF ⊥EC ，
在Rt △BCE 中，由射影定理得EF •FC=BF 2=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD 的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：()2
2
4005017030150 6.2580320200200
⨯⨯-⨯K =
=⨯⨯⨯因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关
（Ⅱ）由已知得抽样比为
，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为，选81
=8010
,,,,,1,2,3a b c d e 取2人共有，，，，，，，，，，，
{},a b {},a c {},a d {},a e {},1a {},2a {},3a {},b c {},b d {},b e {},1b ，，，，，，，，，，，，
{},2b {},3b {},c d {},c e {},1c {},2c {},3c {},d e {},1d {},2d {},3d {},1e ，，，，28个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个
{},2e {},3e {}1,2{}1,3{}2,3基本事件，故所求概率为．189=2814
P =。