3.1 微分方程模型的建模步骤

第3章微分方程模型

3.1 微分方程模型的建模步骤

在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。

例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。

模型分析

在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的

函数。如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW

微分方程。

模型假设

1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。

2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为)(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。

3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。

模型建立

问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”

体重的变化=输入-输出。

由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得

体重的变化/天=输入/天—输出/天。

代入具体的数值，得

输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），

输出/天 = 69（焦/公斤•天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。

体重的变化/天=t W ∆∆（公斤/天）dt dW t =→∆0

考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天

焦/41868

/”, 可建立如下微分方程模型

⎪⎩⎪⎨⎧=-≈-==001000016129641868695429W W W W dt

dW t 。

模型求解

用变量分离法求解，模型方程等价于

⎪⎩⎪⎨⎧==-=010*********W W dt W

dW o t ，

积分得

10000160)161296(161296t

e W W -

-=-， 从而求得模型解

10000160)16161296(161296t

e W W ---=

就描述了此人的体重随时间变化的规律。

模型讨论

现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗?

显然由W 的表达式，当+∞→t 时，体重有稳定值 81→W 。

我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下，W 是不发生变化的，所以0=dt dW 。这就

非常直接地给出了

81=平衡W 。

所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平衡值，就不必去求解微分方程了！

至此，问题已基本上得以解决。

一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：

(1) 根据规律列方程。利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规

律和定律，如牛顿运动定律、物质放射性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分方程模型。

(2) 微元分析法。寻求一些微元之间的关系式，在建立这些关系式时也要用到已知的规律与定理，与

第一种方法不同之处是对某些微元而不是直接对函数及其导数应用规律。如例1。

(3)模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也

是极其复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。

本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的建模方法