3.1 微分方程模型的建模步骤
微分方程的建模与解析解法
微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程的建立方法和步骤(精)
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微分方程式 的建立
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微分方程式 的建立
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实践环节1
（1）弹簧，阻尼器串并联系统如图所示，系统 为无质量模型，试建立系统的运动方程。
xi
c
x0
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实践环节2
（2）已知单摆系统的运动如图所示，写出运动 方程式； 求取线性化方程。
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实践环节5
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df f ( x ) y=f(x） dx
1 d2 f x x ( x x ) 2! dx 2
2 ( x x ) x x
y y k(x x) y y k(x x)
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非线性微分方程的线性化
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实践环节3
（3）已知机械旋转系统如图所所示，试列出系 统运动方程。
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微分方程式 的建立
克希霍夫电流定律：
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微分方程式 的建立
克希霍夫电压Leabharlann 律：广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
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实践环节4
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微分方程式 的建立
基本定律 物理、化学及专业上的 中间变量的作用 基本概念 简化性与准确性要求 小偏差线性化理论
原始方程组 直接列写法线性化 消中间变量 化标准形 C （s ) M ( s ) M (s) 基本方法 由传递函数 C ( s ) R ( s ) N(s)C(s) M(s)R(s) R( s) N (s) N (s) d p -1 转换法 L dt N ( p )c(t ) M ( p )r (t ) 微分方程 由结构图 传递函数 微分方程 由信号流图 传递函数 微分方程
微分方程模型的建立
微分方程是数学中的一类重要的方程，应用广泛。
它在许多领域和问题中都有着重要的作用，比如物理学、生物学、经济学等等。
建立微分方程模型是研究和解决实际问题的有效方法，它可以帮助我们理解问题的本质和规律。
在建立微分方程模型时，首先需要确定问题中的变量和它们之间的关系。
通常，我们可以通过对问题进行数学描述来找到变量之间的关系。
比如，考虑一个简单的物理问题，一个质点在一个特定的力场中运动。
我们可以用质点的质量、位置和速度等变量来描述问题，并找到它们之间的关系。
假设我们用y(t)表示质点的位置，v(t)表示质点的速度。
根据牛顿第二定律，质点所受的力等于质量乘以加速度。
加速度可以表示为速度的导数，即a(t)=dv(t)/dt。
所以，根据牛顿第二定律，我们可以写出微分方程模型：ma(t) = F(t) （1）其中m是质点的质量，F(t)是质点所受的力。
根据力的定义，可以将F(t)表示为质点所处的位置和速度的函数。
假设F(t) = k·y(t)，其中k是一个常数，表示力的大小和方向与质点位置的关系。
将F(t)和a(t)代入式（1）中，得到：m(dv(t)/dt) = k·y(t) （2）这就是描述质点运动的微分方程模型。
通过求解这个微分方程，我们可以获得质点的位置和速度随时间变化的规律。
这可以帮助我们预测和理解质点的运动。
除了物理问题，微分方程模型也可以应用于其他类型的问题。
比如，在经济学中，我们经常需要研究人口、资源和经济增长等问题。
这些问题可以通过微分方程模型来描述。
考虑一个简单的经济增长模型，假设经济增长率与人口和资源的数量成正比。
我们可以用P(t)表示人口数量，R(t)表示资源数量，G(t)表示经济增长率。
根据问题的条件，我们可以构建微分方程模型：dG(t)/dt = k·P(t)·R(t) （3）其中k是一个常数，表示人口和资源对经济增长的贡献。
通过求解这个微分方程，我们可以研究人口、资源和经济增长之间的关系，并预测未来的经济发展趋势。
微分方程方法建模
微分方程方法建模微分方程方法是数学中一种重要的建模方法，通过将实际问题抽象为微分方程，再进行求解，可以得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法建模的过程通常包括问题的建立、方程的确定、初值条件的确定、求解方程、结果的分析和验证等步骤。
首先，问题的建立是微分方程方法建模的首要步骤。
在问题建立过程中，我们需要仔细分析问题，确定出其中的关键因素和变量，并找出它们之间的关系。
例如，可以考虑一个简单的生长模型，假设一个细菌种群的数量随时间的变化。
在这个问题中，关键因素是细菌的增长速率和死亡速率，变量是时间和细菌数量。
我们可以用微分方程来描述这个模型，令N(t)表示时间t时刻的细菌种群数量，则细菌种群数量随时间的变化满足微分方程dN/dt = rN - cN，其中r是细菌增长速率，c是细菌死亡速率。
确定微分方程是建立模型的核心工作。
通常情况下，微分方程可以由物理定律或经验公式导出，也可以根据问题的特点进行假设推导。
在确定微分方程的过程中，需要考虑到问题的实际情况，确定问题的边界条件和约束条件。
例如，在考虑一个容器中的流体流动问题时，可以利用质量守恒和动量守恒定律导出流体的运动方程，然后根据容器的几何形状和边界条件确定相应的边界条件。
确定微分方程后，还需要确定初值条件。
初值条件是微分方程问题的额外信息，通过初值条件我们可以确定方程的特定解。
初值条件可以是方程在一些特定时刻的解，也可以是方程在一些特定点的解。
例如，在考虑细菌生长模型时，我们可以通过实验测得初始时刻的细菌数量N0，则细菌生长模型的初值条件为N(0)=N0。
求解微分方程是微分方程方法建模的核心内容。
微分方程的求解可以分为解析解和数值解两种方法。
解析解是指能够用解析表达式表示出的方程解，它们可以通过分离变量、常数变易和变量替换等方法求解。
数值解则是通过数值计算方法得到的逼近解，常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
在实际建模中，求解微分方程时往往会根据问题的复杂程度和需求选择合适的求解方法。
微分方程与微分方程建模法
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
微分方程建模方法
微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。
它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。
微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。
本文将详细介绍微分方程建模的方法。
经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。
它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。
经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。
例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。
经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。
这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。
理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。
它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。
理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。
例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。
根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。
这个模型可以求解得到物体的振动规律。
解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。
对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。
解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。
但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。
数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。
微分方程的建立与求解
微分方程的建立与求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将探讨微分方程的建立与求解方法，旨在帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的概念与分类微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
它通常包含未知函数、自变量和它们的导数。
根据方程中含有的未知函数的最高阶导数的次数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程是未知函数的导数只涉及一个自变量的微分方程，通常用于描述物理、生物等自然界现象。
偏微分方程是未知函数的导数涉及两个或两个以上自变量的微分方程，常用于描述流体力学、电磁场等现象。
二、微分方程的建立过程微分方程的建立是通过观察实际问题、分析其特点和规律，将问题转化为数学方程。
建立微分方程的过程通常涉及以下几个步骤：1. 确定未知函数：根据问题的背景和目标，确定需要求解的未知函数。
例如，根据物体的速度变化情况，可以确定未知函数为物体的位移函数。
2. 建立变量关系：分析问题中涉及到的各个变量之间的关系，建立它们之间的数学模型。
例如，根据牛顿第二定律和速度与加速度的关系，可以建立运动物体的微分方程。
3. 确定边界条件：根据问题的具体条件，确定微分方程的边界条件，以求解特定的解。
边界条件通常包括初始条件和边界值条件。
4. 化简方程：根据问题的特点和求解的需要，对微分方程进行适当的化简和变形，以便更好地求解。
三、微分方程的求解方法微分方程的求解是通过找到满足方程的函数，从而得到该方程的解。
常用的求解方法有：1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，得到两个只包含一个变量的方程，然后分别对两个方程进行积分，最后得到方程的解。
2. 变量代换法：通过适当的变量代换，将原微分方程转化为已知的、易于求解的微分方程。
3. 积分因子法：通过求解积分因子，将原微分方程化简为恰当微分方程，从而求解得到方程的解。
4. 拉普拉斯变换法：将微分方程通过拉普拉斯变换转化为代数方程，然后求解代数方程得到解，最后通过拉普拉斯逆变换得到原微分方程的解。
微分方程的建立步骤
微分方程的建立步骤
嘿，朋友们！今天咱来聊聊微分方程的建立步骤，这可有意思啦！
你想想啊，微分方程就像是一个神秘的密码锁，咱得一步步找到正
确的解法才能打开它。
首先呢，得明确问题。
就好比你要去一个地方，得先知道目的地在
哪儿呀！咱得搞清楚到底要研究啥现象，要解决啥难题。
这一步可不
能马虎，得瞪大眼睛瞧仔细咯！
然后呢，找出关键因素。
这就像是在一堆乱七八糟的东西里找出宝
贝一样。
把那些和问题紧密相关的因素给拎出来，可别把无关紧要的
也掺和进来。
接下来，建立数学模型。
嘿，这就有点像搭积木啦！把那些关键因
素用数学的语言、符号给组合起来，搭建成一个漂亮的模型。
这可得
有点想象力和创造力哦！
再然后，确定变量和未知函数。
这就像是给每个角色起个名字一样，让它们在这个数学的舞台上各就各位。
之后呢，根据物理规律或者已知条件列出方程。
这就好比给这些角
色设定好他们的行动规则，让一切都有章可循。
在这个过程中，可别掉以轻心啊！就像走钢丝一样，得小心翼翼的。
建立好微分方程后，咱还得检查检查，看看有没有漏洞，有没有不合理的地方。
这就跟检查作业似的，可不能马马虎虎交差了事。
你说这建立微分方程的过程像不像一场刺激的冒险？每一步都充满了挑战和惊喜！咱得用心去感受，去探索，才能找到那把解开神秘密码的钥匙。
总之啊，微分方程的建立步骤可不能小瞧，得认真对待，才能在数学的海洋里畅游无阻呀！大家加油哦！。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
简述建立微分方程的一般步骤
简述建立微分方程的一般步骤建立微分方程是研究数学建模和物理问题的重要方法，它能够描述自然现象、工程问题和经济现象等，通过数学模型的建立，可以求解相应的微分方程来获得问题的解析解或数值解。
下面将简要介绍建立微分方程的一般步骤。
一、问题的分析和建模：建立微分方程的第一步是对问题进行仔细的分析和审视，明确问题的性质、要求和约束条件等。
然后根据问题的特点，选择适当的数学模型进行建模。
数学模型分为确定性模型和随机模型，确定性模型基于确定性关系描述问题的行为，而随机模型则基于概率论描述问题的随机性行为。
二、定义变量和关系：在建立数学模型之前，需要定义所需的变量和它们之间的关系。
这些变量可以是时间、空间、强度、速度等物理量。
关系可以使用线性关系、非线性关系或微分关系来描述，并且可以是常微分方程或偏微分方程，具体取决于问题的性质和要求。
三、进行合理的假设：在建立数学模型时，通常需要进行一些合理的假设，以简化问题的复杂性。
假设可以是物理上的近似，也可以是数学上的简化。
合理的假设可以使问题的分析和求解更加容易和快速。
四、应用物理定律和数学关系：在数学建模的过程中，需要应用物理定律和数学关系来描述事物之间的相互作用和变化。
对于物理问题，常见的相关定律包括牛顿定律、欧姆定律、热传导定律等；对于数学关系，常见的包括导数、积分、微积分中的基本定理等。
根据问题的特点和要求，选择合适的物理定律和数学关系进行应用。
五、将现有的关系转化为微分方程：在应用物理定律和数学关系的基础上，将问题中已知的关系转化为微分方程。
这一过程涉及到微分运算、积分运算和代数运算。
通常需要使用导数或偏导数来表示物理变量的变化率，然后使用代数关系来将不同变量联系起来。
最终得到的微分方程称为问题的数学描述。
六、确定边界条件和初值条件：建立微分方程后，需要确定相应的边界条件和初值条件。
边界条件是在方程适用区域边界上给出的条件，用于限制解函数的取值；初值条件是在方程适用区域内某一点给出的条件，用于确定解函数的初始状态。
微分方程建模(基础)
示 意 图
1 1 下雪速度：a(单位)3/小时.面积 铲雪速度：b(单位)3/小时 S(t)： 正午后t小时的铲雪位移 下雪时间：午前x0 已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3
模 型
t到t+∆t时刻： （1）铲雪容量：b* ∆t （2）忽略∆t下雪量，雪量减少容量：
[3 − S (t )] + a * (t + x0 ) * ∆S = a(t + x0 )∆S 3 − S (t )
放射物质衰变原理：
记N(t)为t时刻存在的原于数，则dN/dt为单 位时间内蜕变的原子数，因此有： 其中λ是衰变系数 半衰期T：为给定数量的放射性原于蜕变一半 所需的时间。 如何通过λ来计算T？
半衰期T的计算：
假设N(t0)＝N0，于是得初值问题：
解：
N (t ) = N 0 e − λ ( t −t0 )
是否现代膺品的判别
模型变形： 取t-t0=300年，可算出铅白中铅-210的蜕变 率λy0会大得出奇，然后能分析发现原矿中含铀 量是否合理。 由于矿石中含铀量达2~3%已极罕见，而由 铅-210单位时间蜕变的原子数来计算矿石中含 铀量的方法也不难，只要铅白中铅-210每分钟 蜕变超过3万个原子，就知矿石中含铀超过4%， 就判定出必为膺品。
（3）微分表达式： （4）模型：
b * ∆t = a * (t + x0 ) * ∆S
ds K = dt t + x0
S (t ) = k ln(t + x0 ) + c
求解
S (0) = k ln x0 + c = 0 S (2) = k ln(2 + x0 ) + c = 2 S (4) = k ln(4 + x ) + c = 3 0
微分方程的建模与求解方法
微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。
一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。
它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。
变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。
3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。
微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。
4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。
初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。
5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。
2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。
通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。
通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。
4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。
通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。
5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。
通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。
以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。
在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。
建立微分方程的一般步骤
建立微分方程的一般步骤嘿，咱今儿个就来聊聊建立微分方程的那些事儿！你说啥是微分方程？简单来讲，就像是一个神秘的关系式，描述着某个过程中变量之间的奇妙联系。
那怎么建立它呢？别急，听我慢慢道来。
首先呢，你得搞清楚问题的本质呀！就好比你要去一个陌生地方，得先知道目的地是哪儿吧。
咱得仔细分析研究的对象，它有啥特点，有啥变化规律。
比如说，一个物体的运动，或者是某种物质的变化。
然后呢，就得找那些关键的量啦！这些量就像是拼图的小块，把它们凑到一块儿，才能看清整个画面。
想想看，就像搭积木一样，一块一块堆起来，才能建成漂亮的城堡嘛。
接下来，就得考虑这些量之间的关系啦！是随着时间变化呀，还是跟其他因素有关呢。
这就像是织网，把那些关键的点用线连起来，形成一个有规律的网络。
再然后呢，根据这些关系，用数学的语言把它们表达出来呀！这可就考验咱的数学功底啦。
什么导数啦，积分啦，都得派上用场。
哎呀，你说这是不是有点像破案呀！从一些蛛丝马迹中找出真相。
建立微分方程不就是这样嘛，从那些看似杂乱无章的现象中，找出隐藏的规律。
比如说，研究一个小球的自由落体运动。
咱得知道它的位置、速度、加速度这些量吧。
然后发现速度是位置的导数，加速度又是速度的导数。
这不就找到关系啦，然后就能建立起微分方程啦。
再比如，研究人口的增长。
那得考虑出生率、死亡率这些因素呀，然后根据它们之间的关系来建立方程。
建立微分方程可不容易呢，得有耐心，得细心，还得有点想象力。
就像画画一样，一笔一笔地勾勒出那神秘的关系式。
你想想，要是没有微分方程，好多现象咱都没法准确描述和预测呢！那得是多大的损失呀。
所以说呀，学会建立微分方程，那可真是打开了一扇通往科学奥秘的大门呢。
咱可得好好掌握这门学问，以后遇到啥问题都能迎刃而解啦！这不就是咱追求知识的意义嘛。
怎么样，现在对建立微分方程的一般步骤有点感觉了吧？哈哈！。
3.1 微分方程模型的建模步骤
第3章微分方程模型3.1 微分方程模型的建模步骤在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。
我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。
例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。
在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。
假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。
试研究此人的体重随时间变化的规律。
模型分析在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的函数。
如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW微分方程。
模型假设1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。
2．体重的变化是一个渐变的过程。
因此可认为)(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。
3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。
模型建立问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”体重的变化=输入-输出。
由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得体重的变化/天=输入/天—输出/天。
代入具体的数值，得输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），输出/天 = 69（焦/公斤•天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。
体重的变化/天=t W ∆∆（公斤/天）dt dW t =→∆0考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天焦/41868/”, 可建立如下微分方程模型⎪⎩⎪⎨⎧=-≈-==001000016129641868695429W W W W dtdW t 。
微分方程建模
微分方程建模一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；2.列方程。
可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；3.解微分方程；4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。
若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。
下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。
一.增长模型在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比。
运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。
1.马尔萨斯人口模型严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。
但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。
这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。
最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。
他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。
他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。
于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间内人口的增长量即为tt y t t y ∆-∆+)()( 根据基本假设，有tt y t t y ∆-∆+)()()(t y r ⋅= （r 为比例系数） 令0→∆t ，可得微分方程y r dtdy ⋅= （4.1） 这就是著名的马尔萨斯人口方程。
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第3章微分方程模型
3.1 微分方程模型的建模步骤
在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。
我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。
例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。
在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。
假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。
试研究此人的体重随时间变化的规律。
模型分析
在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的
函数。
如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW
微分方程。
模型假设
1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。
2．体重的变化是一个渐变的过程。
因此可认为)(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。
3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。
模型建立
问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”
体重的变化=输入-输出。
由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得
体重的变化/天=输入/天—输出/天。
代入具体的数值，得
输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），
输出/天 = 69（焦/公斤•天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。
体重的变化/天=t W ∆∆（公斤/天）dt dW t =→∆0
考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天
焦/41868
/”, 可建立如下微分方程模型
⎪⎩⎪⎨⎧=-≈-==001000016129641868695429W W W W dt
dW t 。
模型求解
用变量分离法求解，模型方程等价于
⎪⎩⎪⎨⎧==-=010*********W W dt W
dW o t ，
积分得
10000160)161296(161296t
e W W -
-=-， 从而求得模型解
10000160)16161296(161296t
e W W ---=
就描述了此人的体重随时间变化的规律。
模型讨论
现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗?
显然由W 的表达式，当+∞→t 时，体重有稳定值 81→W 。
我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。
在平衡状态下，W 是不发生变化的，所以0=dt dW 。
这就
非常直接地给出了
81=平衡W 。
所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平衡值，就不必去求解微分方程了！
至此，问题已基本上得以解决。
一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：
(1) 根据规律列方程。
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规
律和定律，如牛顿运动定律、物质放射性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分方程模型。
(2) 微元分析法。
寻求一些微元之间的关系式，在建立这些关系式时也要用到已知的规律与定理，与
第一种方法不同之处是对某些微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
如例1。
(3)模拟近似法。
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也
是极其复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。
本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的建模方法。