江苏省徐州市睢宁高级中学2025届高考冲刺模拟数学试题含解析

江苏省徐州市睢宁高级中学2025届高考冲刺模拟数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．
的是（ ）
A ．点F 的轨迹是一条线段
B ．1A F 与BE 是异面直线
C ．1A F 与1
D
E 不可能平行
D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值 2．下列与函数y x
=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．1
4
y x = 3．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ）
A ．c a b >>
B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．a c b >>
4．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ）
A ．1
B 5
C 3
D ．5
5．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）
A ．170
B ．10
C ．172
D ．12
6．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)π
B ．(4,)π
C ．(1,2)π-
D ．(4,2)π 7．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23
AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）
A 3
B ．33
C ．32
D 38．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22
，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）
A ．22
B 2
C ．223
D ．23 9．51(1)x x -
+展开项中的常数项为 A ．1 B ．11 C ．-19 D ．51
10．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ）
A ．134-
B ．54
C ．5
D ．154
11．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）
A ．2
B ．22
C ．23
D ．1
12．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是
（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O .剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为________.
14．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，65
OC =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC 上，则裁出三角形面积的最大值为______.
15．已知实数1,2a b ≥，且22,a a b b -=-由22b a M a b
=+的最大值是_________ 16．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为2c ，则双曲线的离心率为____________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数3222()3
f x x mx m x =-+(m ∈R )的导函数为()f x '．
（1）若函数()()()g x f x f x =-'存在极值，求m 的取值范围；
（2）设函数()(e )(ln )x h x f f x ='+'（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22
()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．
18．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14BC BB ==，125AC AB ==，且160BCC ∠=︒.
（1）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ； （2）设二面角1C AC B --的大小为θ，求sin θ的值.
19．（12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且πsin sin(
)33c B b C b =-+. （1）求角C 的大小；
（2）若7,3c a b =+=，求AB 边上的高.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12:312x t l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的极坐标为1,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 21．（12分）已知等差数列
和等比数列满足： (I )求数列
和的通项公式； (II )求数列的前项和.
22．（10分）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求e 的值. （2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且22
k <-，是否存在k 使得2AB AC =成立？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．
【详解】
对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点
分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，
11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，
1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ，
1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线
∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，
即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确．
对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，
1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．
对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，
1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．
对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2、C
【解析】
分析函数y =
的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】
函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.
B 选项，21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的定义域为R ，不符合. C 选项，2
1log y x =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.
3、C
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.
【详解】
对数函数4log y x =为()0,∞+上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162=<<=，即12a <<；
指数函数2x y =为R 上的增函数，则 1.011222b =>=；
指数函数0.4x y =为R 上的减函数，则100.0.410.4c <==.
综上所述，b a c >>.
故选：C.
【点睛】
本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.
4、A
【解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可．
【详解】 解：55(34)4334255
i i i i z i +-+===-，
1z ∴==，
故选：A
【点睛】
本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．
5、D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为8086x +=，故6x =； 乙的平均数为78828089919397887
y +++++++=， 解得6y =，所以12x y +=.
故选：D.
【点睛】
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
6、B
【解析】
函数23353sin (3sin 4cos )3sin 4sin cos 2sin 2cos 2sin(2)2222
y x x x x x x x x x θ=+=+=-+=-+（θ为辅助角） ∴函数的最大值为4M =，最小正周期为22
T ππ=
= 故选B
7、B
【解析】 试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =
+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos
3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+
2()2AF BF
+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB
+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤，故选B ． 考点：抛物线的性质．
【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．
8、A
【解析】
根据平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为
2
，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解.
【详解】
如图所示：
设()1,0A -，()10B ,，(),P x y ()()22
22122
1x y x y ++=-+， 化简得()2238x y ++=， 当点P 到AB （x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大，
∴PAB ∆面积的最大值是
1222222
⨯⨯=故选：A.
【点睛】
本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
9、B
【解析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.
【详解】
展开式中的项为常数项，有3种情况：
（1）5个括号都出1，即1T =； （2）两个括号出x ，两个括号出1()x -，一个括号出1，即222
2531()130T C x C x
=⋅⋅⋅-⋅=；
（3）一个括号出x ，一个括号出1()x -，三个括号出1，即11541()120T C x C x
=⋅⋅⋅-⋅=-； 所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B.
【点睛】 本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的. 10、B
【解析】
据题意以菱形对角线交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,
DE DF，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.
【详解】
设AC与BD交于点O，以O为原点，BD的方向为x轴，CA的方向为y轴，建立直角坐标系，
则
1
,1
2
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
1
,1
2
F
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，(1,0)
D，
3
,1
2
DE
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，
3
,1
2
DF
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
，
所以
95
1
44 DE DF
⋅=-=.
故选：B.
【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
11、C
【解析】
利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.
【详解】
几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23
AD=
故选：C.
【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.
12、C
【解析】
命题p ：函数()x x f x e e -=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦函数单调性
判断出真假．
【详解】
解：命题p ：函数()x x f x e e -=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上单调递减，因此是假命题．
命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题． 则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、86π
【解析】
将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.
【详解】
由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示
4CD =，22OA OC OD ===，故正方体体对角线长为22226OA OC OD ++=， 所以外接球半径为6R =
，其体积为34863R ππ=. 故答案为：86π.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.
14、332
【解析】
分两种情况讨论：（1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，（2）若在若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,
2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值. 【详解】 （1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
则16cos 5PB θ=
，16sin 5
PC θ=， 从而116166464cos sin sin 22552525
S θθθ=⋅⋅=≤. 当4πθ=时，max 6425S =此时85PH =，符合. （2）若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,2πθ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，
则2sin PH θ=，2cos OH θ=， 由65OH OC ≤=知3cos 5θ≤. ()()()122cos 2sin 2sin 1cos 2
S θθθθθ∴=+⋅=+， ()()()2cos 12cos 1S θθθ'=+-
当πθ0,3
时，()0S θ'>，()S θ单调递增， 当,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0S θ'<，()S θ单调递减， ()33643225S S πθ⎛⎫∴≤=> ⎪⎝⎭
. 当3π
θ=，即1cos 2
θ=时，()S θ最大. 故答案为：
332
. 【点睛】 此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目. 15、3212
+ 【解析】
将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值
【详解】
由22a a b b -=-化简得22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又实数1,2a b ≥，图形为14圆，如图:
22a a b b -=-，可得22a a b b =+-，22b a b a =+-
则2222112b a a b a a b b b a b a M a b a b a b a b a b a b
+-+-=+=+=+-++-=+--+
由几何意义得11b a ∈，，则11a b
∈，，为求最大值则当过点A 或点B 时a b +取最小值，可得
11
112122M =++--+=
所以22b a M a b =+1+ 【点睛】
本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。

16
【解析】 利用221||||2AOB S F O AB c ∆=
⨯=即可建立关于,,a b c 的方程. 【详解】
设双曲线右焦点为2F ，过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线分别交于A B 、两点， 则(,)bc A c a ，(,)bc B c a -，由已知，221||||2AOB S F O AB c ∆=⨯=，即2bc c c a
⋅=，
所以a b =，离心率e ==
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立,,a b c 的方程或不等式，是一道容易题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(2,2)m ∈-（2）{1，2}．
【解析】
（1）求解导数，表示出()g x ，再利用()g x 的导数可求m 的取值范围；
（2）表示出()h x ，结合二次函数知识求出2222()2(ln )22(ln )x x F m m e x m e
x k =-+++-的最小值，再结合导数及
基本不等式求出()ln x G x e x =-的最值，从而可求正整数k 的取值集合．
【详解】
（1）因为3222()3
f x x mx m x =-+，所以22()22f x x mx m '=-+， 所以32222()()()(2)(2)3
g x f x f x x m x m m x m '=-=-+++-， 则22()22(2)2g x x m x m m '=-+++，
由题意可知224(2)8(2)0m m m ∆=+-+>，解得(2,2)m ∈-；
（2）由（1）可知，22()22f x x mx m '=-+，
所以222()222(ln )2ln 2x x h x e
me x m x m =-+-+ 因为22222()222(ln )2ln 2x x h x e
me x m x m m k =-+-+≥+ 整理得22222(ln )22(ln )0x x m e x m e x k -+++-≥，
设()ln x H x e x =+，则1()0x H x e x
'=+>，所以()H x 单调递增， 又因为11()1m m e
H e e m m --=+->， 所以存在()11,x m e m x e
e ---∈，使得()ln x H x e x m =+=， 设2222()2(ln )22(ln )x x F m m e x m e
x k =-+++-，是关于m 开口向上的二次函数， 则22min ()(ln )(ln )x x F m F e x e x k =+=+-，
设()ln x G x e x =-，则1()x G x e x
'=-，令1()x L x e x '=-，则21()0x L x e x '=+>， 所以()G x '
单调递增，因为1
()202
G '=<，(1)10G e '=-> 所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0G x '=，即00
1x e x =， 当0(0,)x x ∈时，()0G x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0G x '>，
所以()G x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0min 0000
1()()ln x G x G x e x x x ==-=+，
因为01(,1)2
x ∈，所以00015()(2,)2G x x x =+∈， 又由题意可知22(())0G x k -≥，所以2222
min 0(())(())0G x k G x k -=-≥， 解得0()k G x ≤，所以正整数k 的取值集合为{1，2}．
【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
18、（1）证明见解析；（2
. 【解析】
（1）要证明平面1ABC ⊥平面11BCC B ，只需证明AB ⊥平面11BCC B 即可；
（2）取1CC 的中点D ，连接BD ，以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面11ACC A 的法向量为n 与平面1ABC 的法向量为1B C ，利用夹角公式111cos ,n B C n B C n B C ⋅=计算即可.
【详解】
（1）在ABC 中，22220AB BC AC +==，
所以90ABC ∠=，即AB BC ⊥.
因为1BC BB =，1AC AB =，AB AB =，
所以1B ABC A B ≌.
所以190ABB ABC ∠=∠=，即1AB BB ⊥.
又1BC
BB B =，所以AB ⊥平面11BCC B . 又AB 平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B .
（2）由题意知，四边形11BCC B 为菱形，且160BCC ∠=，
则1BCC 为正三角形，
取1CC 的中点D ，连接BD ，则1BD CC ⊥.
以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，
建立空间直角坐标系B xyz -，则
()0,0,0B ，()10,4,0B ，()0,0,2A ，()23,2,0C -，()123,2,0C .
设平面11ACC A 的法向量为(),,n x y z =， 且()23,2,2AC =--，()10,4,0CC =. 由10,0,AC n CC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得23220,40,x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取(1,0,3n =. 由四边形11BCC B 为菱形，得11BC B C ⊥；
又AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥；
又1=AB BC B ⋂，所以1B C ⊥平面1ABC ， 所以平面1ABC 的法向量为()1=23,6,0B C -. 所以111231cos ,4
432n B C
n B C n B C ⋅===⨯. 故15sin θ=
. 【点睛】 本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.
19、（1）
2π3；（2 【解析】
（1）利用正弦定理将边化成角，可得πsin sin()3C C =-+πsin()16
C -=，从而可求出角C ； （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，进而可得2()7a b ab +-=，由3a b +=，可求出ab 的值，设AB 边上的
高为h ，可得ABC 的面积为
11sin 22ab C ch =，从而可求出h . 【详解】
（1）由题意，由正弦定理得πsin sin sin sin()3
C B B C B =-+.
因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >，所以πsin sin()3C C =-+1sin sin 2
C C C =-+πsin()16
C -=. 因为0πC <<，所以ππ5π666C -<-<，故ππ62C -=，即2π3
C =. （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，则227a b ab ++=，得2()7a b ab +-=，故2()7972ab a b =+-=-=，
故ABC 的面积为12πsin sin 23ab C ==
设AB 边上的高为h =，故7h =，
所以AB . 【点睛】 本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
20、（1）()2
211x y -+=（21
【解析】 （1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可化极坐标方程为直角坐标方程； （2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线l 的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解．
【详解】
解：（1）2:cos C ρθ=，则22cos ρρθ=，∴222x y x +=，
所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即()2
211x y -+= （2）点1,2M π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1M ，易知M l ∈.设,A B 对应参数分别为12,t t 将12:312x t l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
与22:20C x y x +-=联立得
()
212123110,31,1t t t t t t +++=∴+=--⋅=120,0t t ∴<< 121231MA MB t t t t +=+=+=+
【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题．
21、 (I )
，；(II )
【解析】
(I )直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II )
，利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】 (I ) ，故，
解得
，故，. (II )
，故
.
【点睛】 本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
22、（1）12
e =
；（2）不存在，理由见解析 【解析】
（1）写出2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率； （2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，利用等
AB AC =即可得解.
【详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D . 点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB k k =-，2221310b b b a a a a c c a
--⋅=--- 化简得：22230c ac a -+=，
即22310e e -+=，解得12e =
或1e =（舍去）， 所以12
e =； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=， 由（1
）可得,:A AB y kx k ⎛=-+ ⎝⎭
2k <-
联立2212
2x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
2222212210k k x x k k +-+--=， 设B 的横坐标B x
，根据韦达定理1B x ⨯=，
即222112B k x k --=+
，2
k <-，
所以1B A B ==-，
同理可得22212121k k AC k k ⎫-+⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭++
若存在k AB AC =成立，
则222122
k k k +=++，
20k ++=，∆<0，此方程无解，
所以不存在k AC =成立.
【点睛】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.。