甘肃省天水市第一中学2023-2024学年高二下学期第二学段检测考试(6月)数学试题

y （万
45 50 60 65 80
人） (1)计算 x，y 的相关系数 r （计算结果精确到 0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数 的相关性很强；
试卷第51 页，共33 页
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； (3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖 规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅
A． 2 3
B． 2
C． 2 2l 3
D． 2 5
5
7．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足， f (-2) = 0 ，当 x > 0 时， xf ¢( x) - f ( x) < 0 ，则
f ( x) > 0 的解集为（ ）
A．(-¥, -2) U (0, 2)
B．(-¥ , -2) È (2, +¥ )
ln0.3 » -1.2, ln0.25 » -1.4 ） 14．若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在 5 次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 .
四、解答题
15．已知函数
f
(x)
=
ln
x
+
m x
.
(1)若 m = 2 ，求曲线 y = f ( x) 在 x = 1 处的切线方程；
甘肃省天水市第一中学 2023-2024 学年高二下学期第二学段
检测考试（6 月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．下列求导运算正确的是（ ）
A．
æ çè
cos
ππö¢ 3 ÷ø
=
- sin
3
B． æ çè
故选：C 2．D 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【详解】由题意可知，当Y = -1 时，即 2X -1 = -1，解得 X = 0 ，
又因为随机变量服从两点分布，且 P( X = 1) = 0.4 ，
所以 P (Y = -1) = P ( X = 0) = 0.6 .
故选：D. 3．A 【分析】利用底面是平行四边形判断 A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判 断 BCD．
-
uuur SD
不可能成立，D
错．
故选：A．
4．B
【分析】首先计算出 g' ( x) ,由 g ( x) 存在单调递减区间知 g' (x)<0 在 (0, +¥) 上有解即可得
出结果.
【详解】函数
g
(
x)
=
ln
x
+
1 2
x
2
-
(
b
-
1)
x
的定义域为
(
0,
+¥
)
，且其导数为
g
'
(
x
)
=
1 x
+
x
-
(b
C． (-2,0) È (0, 2)
D． (-2,0) U (2, +¥)
8．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买 16 个饺子，其中有 X 个为香菇肉馅，其余
为玉米肉馅，且
P(X
=
i)
=
1 17
,i
=
0,1,L,16
.在小蒋吃到的前
13
个饺子均为玉米肉馅的条件
下，这 16 个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
B． ln x - ln y > x - y
C．
ln
x
³
1
-
1 x
D． ex y
>
ey x
11．如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， BC = 4 ，M 是 AD 的中点，将VABM 沿着直线 BM
翻折得到△A1BM ．记二面角 A1 - BM - C 的平面角为a ，当a 的值在区间 (0,π) 范围内变化 时，下列说法正确的有（ ）
游团中有 5 个男游客和 k (k ³ 5) 个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为 p ，
当 k 取多少时， p 最大？
n
å(å( )( ) ) åå 参考公式：bˆ = i=1
xi - x yi - y n xi - x 2
n
xi yi - nx y
$a = y - $bx
=
i =1 n
C．已知回归直线方程为 yˆ = bˆx + 9 ，若样本中心为 (-3, 24) ，则 bˆ = -5
试卷第21 页，共33 页
D．两个变量 x, y 的相关系数为 r ，则 r 越小， x 与 y 之间的相关性越弱
10．已知 x > y > 0 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． ex - ey > x - y
f ¢¢(x) = [ f ¢(x)]¢ ， f ¢¢¢(x) = [ f ¢¢(x)]¢ ， f (4) (x) = [ f ¢¢¢(x)]¢ ， f (5) (x) = éë f (4) (x)ùû¢ ，…； f (n)( x) 为
f
(n-1) (x)
的导数）已知
f
(x)
=
ln( x
+1)
在
x
=
f (x) 在 x
= 0 处的[m, n] 阶帕德近似定义为： R(x) =
a0 + a1x +L + am xm 1+ b1x +L + bn xn
，
且满足： f (0) = R(0) ， f ¢(0) = R¢(0) ， f ¢¢(0) = R¢¢(0) ，…， f (m+n) (0) = R(m+n) (0) ．（注：
-2,
-1)
，
r b
=
( 2,0,4 )
，则异面直线
l1
与
l2
的夹
角的余弦值等于 ．
试卷第31 页，共33 页
13．已知变量 x 和 y 之间的关系可以用模型 y = menx 来拟合．设 z = lny ，若根据样本数据计
算可得 x = 3.5, z = 0.9 ，且 x 与 z 的线性回归方程为 z = 0.6x + a ，则 m » ．（参考数据：
A．存在a ，使得 A1B ^ CM
B．存在a ，使得 A1B ^ CD
C．若四棱锥 A1 - BCDM 的体积最大时，点 B 到平面 A1MD 的距离为 2 6 3
D．若直线
A1M
与
BC
所成的角为 b
，则 cos b
= sin2
a 2
三、填空题
12．若异面直线
l1 ,
l2
的方向向量分别是
ar
=
(0,
1．C
参考答案：
【分析】根据求导公式计算，得到答案.
【详解】A
选项，
æ çè
cos
π1ö¢ 3 ÷ø
=
æ çè
ö¢ 2 ÷ø
=
0
，A
错误；
B 选项， æ çè
1 x
ö¢ ÷ø
=
-
1 x2
，B
错误；
C 选项， (log2
x )¢
=
1 x ln 2
，C
正确；
( ) D 选项， 3x ¢ = 3x ln 3 ，D 错误.
求 X 的分布列，数学期望 E(X ) 和方差 D( X ) ．
试卷第41 页，共33 页
附：
c2
=
(a
+
n(ad - bc)2 b)(c + d)(a + c)(b
+
d)
，n
=
a
+b
+
c
+
d
．
a 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 xa 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
(2)求函数 f ( x) 在[1, e] 上的单调区间和最小值.
16．2023 年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人． 某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在 70 岁以上的老年人中随机抽查了 200 人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
-
1)
．由
g
(
x
)
存在单调递减区间知
g
'
(x)<0
在
(0,
+¥ )
上有解，即
1 x
+
x
-
(b
-1)
有解．因为函数
g
(
x)
的定义域为
( 0,
+¥ )
，所以
x
+
1 x
³2．要使1 x1 xö¢ ÷ø
=
1 x2
C． (log2
x)¢
=
1 x ln
2
( ) D． 3x ¢ = 3x
2．已知随机变量 X 服从两点分布，且 P ( X = 1) = 0.4 ，设Y = 2X -1，那么 P (Y = -1) =
（）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.6
3．在四棱锥
S
-
ABCD
中，若
uur SA
后，重新求得的经验回归方程为 $y = 1.1x + a ，则 a = （ ）
试卷第11 页，共33 页
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
6．在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E ， F 分别为棱 AA1 ， BB1 的中点， G 为棱
A1B1 上的一点，且 A1G = l (0 < l < 2) ，则点 G 到平面 D1EF 的距离为（ ）
【详解】选项 A，若底面 ABCD 是平行四边形，设 AC I BD = O ，则
uur SA
+
uuur SC
=
uuur 2SO
=
uur SB
+
uuur SD
，
因此
uur SA
=
uur SB
+
uuur SD
-
uuur SC
，即
(x,
y,
z)
=
(1,
-1,1)
，A
可能取得；
答案第11 页，共22 页
选项
=
x
uur SB
+
y
uuur SC
+
z
uuur SD
，则实数组
(
x,
y,
z
)
可能为（
）
A．(1, -1,1)
B． (1, 0, -1)
C． (1, -1,0)
D． (1, -1,-1)
4．若函数
g
(
x)
=
ln
x
+
1 2
x2
-
(b
-1)
x
存在单调递减区间，则实数
b
的取值范围是（
）
A．[3, +¥)
B． (3, +¥)
17．如图，已知四棱锥 S - ABCD 中，点 S 在平面 ABCD 内的投影为点 A ， ÐCDA = ÐDCB = 2ÐDCA = 90° ， BC = 2 AD = 4 .
(1)求证：平面 SAC ^ 平面 SAB ；
(2)若平面 SAB 与平面 SCD 所成角的正弦值为 30 ，求 SA 的值.
0
处的[1,1] 阶帕德近似为
R(x)
=
ax 1+ bx
．
(1)求实数 a，b 的值；
(2)比较 f ( x) 与 R(x) 的大小；
试卷第61 页，共33 页
(3)若 h(x)
=
f (x) R(x)
-
æ çè
1 2
-
m
ö ÷ø
f
(x)
在 (0, +¥) 上存在极值，求 m
的取值范围．
试卷第71 页，共33 页
xi2 - nx2
，
，r =
i =1
i =1
n
å( xi - x )( yi - y )
i =1
，
å å n ( xi - x )2 n ( yi - y )2
i =1
i =1
参考数据： 3 » 1.732 ． 19．帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两
个正整数 m，n，函数
未感染支原体肺炎
40
80
感染支原体肺炎
40
合计
120
200
(1)完成 2 ´ 2 列联表，并根据小概率值a = 0.05 的独立性检验，分析 70 岁以上老年人感染支
原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ (2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且 年龄在 70 岁以上的老年人中随机抽取 3 人，设抽取的 3 人中感染支原体肺炎的人数为 X，
¹
uur SA
，C
错误；
选项
D，若
(
x,
y,
z)
=
(1,
-1,
-1)
，则
uur xSB
+
y
uuur SC
+
uuur zSD
=
uur SB
-
uuur SC
-
uuur SD
=
uuur CB
-
uuur SD
，
但
BC
Ë
平面
SAD
，即
uur SA,
uuur SD,
uuur CB
不共面，因此
uur SA
=
uuur CB
C． ( -¥, 3)
D． ( -¥, 3]
5．根据一组样本数据 ( x1, y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，××× ， ( x10, y10 ) ，求得经验回归方程为 $y = 1.2x + 0.4 ，
且平均数 x = 3 ．现发现这组样本数据中有两个样本点 (1.2, 0.5) 和 (4.8, 7.5) 误差较大，去除
B，若
( x,
y,
z)
=
(1,
0,
-1)
，则
uur xSB
+
uuur ySC
+
uuur zSD
=
uur SB
-
uuur SD
=
uuur DB
¹
uur SA
，B
错误；
选项
C，若
(x,
y,
z)
=
(1,
-1,
0)
，则
uur xSB
+
uuur y SC
+
uuur z SD
=
uur SB
-
uuur SC
=
uuur CB
A． 4 5
B．
13 16
C． 14 17
D．