高考数学复习选修系列22.3不等式选讲省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件
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a
仅当a=1时等= 1 +a(≥x 2a()当且1
a
a
(2)f(3)= 3 +1|3-a|.
a
当a>3时,f(3)=a+ 1 ,由f(3)<5得3<a<5 .21
a
2
当0<a≤3时,f(3)=6-a+ 1 ,由f(3)<5得1 <5a≤3.
a
2
综上,a取值范围是
1.
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方法 2 不等式应用
利用不等式及|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求解不等式或求相关函数最值.
例2 (江苏调研,21)设函数f(x)= (1)证实:f(x)≥2;
+|xx-a|(1aa>0).
(2)若f(3)<5,求实数a取值范围.
第10页
解析 (1)证实:由a>0,得f(x)= x +1|x-a|≥
2
5
,5 2
21
第11页
第4页
(2)解|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式普通步骤: a.令每个绝对值符号里一次式为0,求出对应根. b.把这些根由小到大排序,它们把实数轴分为若干个区间. c.分别在所分区间上,依据绝对值定义去掉绝对值符号,讨论所得不 等式在这个区间上解集. d.这些解集并集就是原不等式解集. 5.含绝对值三角不等式 定理1:若a、b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 定理2:若a、b、c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等 号成立. 推论1:||a|-|b||≤|a+b|.
第5页
推论2:||a|-|b||≤|a-b|.
6.不等式证实基本方法
(1)比较法;(2)综正当与分析法;(3)反证法和放缩法.
拓展延伸
柯西不等式相关定理:
定理1:(二维形式柯西不等式)设a1、a2、b1、b2均为实数,则(
+a12
)a(
2 2
b12
+ b22 )≥(a1b1+a2b2)2.上式等号成立⇔a1b2=a2b1.
2
我们称 a 为b 正数a、b① 算术平均 , 为正a数b a、b②几何平均 ,
2
第3页
因而可用语言叙述为:两个正数算术平均大于或等于它们 几何平均. 定理3:若a、b、c为正数,则 a ≥b c,当且3 a仅bc当a=b=c时,等号成立.
3
定理4:(普通形式算术—几何平均不等式)若a1、a2、…、an为n个正数, 则 a1 ≥a2 n,当且a仅n 当naa11=aa22=…an =an时,等号成立. 4.绝对值不等式解法 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式解法: c>0,则|ax+b|≤c解集为-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c解集为ax+b≥c或ax+ b≤-c,然后依据a、b值解出即可. c<0,则|ax+b|≤c解集为⌀,|ax+b|≥c解集为R.
第6页
定理4:(平面三角不等式)设a1、a2、b1、b2、c1、c2为实数,
(a+1 b≥1) 2 ,(且a2等 b号2 )2 (b1 c1)2 (b2 c2 )2
(a1 c1)2 (a2 c2 )2
成立⇔存在非负实数λ及μ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1),μ(a2-b2)=λ(b2-c2).
高考数学
§22.3 不等式选讲
第1页
知识清单
1.两实数大小比较三种情况 设a、b为两个实数,它们在数轴上对应点分别记为A、B.若A落在B 右边,则称a大于b,记为a>b;若A落在B左边,则称a小于b,记为a<b;若A 与B重合,则称a与b相等,记为a=b. 2.不等式基本性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c. (3)a>b⇒a+c>b+c. (4)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. (5)a>b>0⇒an>bn,其中n为正整数,且n≥2.
2 2
+…+a
2 n
)(
b12
+b
2 2
+…+
b
2 n
)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,
当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号
成立.
第8页
方法技巧
方法 1 不等式证实
例1 (苏州高三第一学期期末)已知a,b,x,y都是正数,且a+b=1. 求证:(ax+by)(bx+ay)≥xy. 证实 因为a,b,x,y都是正数,且a+b=1, 所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+(a2+b2)xy≥ab·2xy+(a2+b2)xy=(a+b)2xy= xy. 当且仅当x=y时,取等号.
定理2:(柯西不等式向量形式)设α、β为平面上两个向量,则|α·β|≤|α
||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
定理3:设a1、a2、b1、b2为实数,则 a+12 a≥22 b12 b22
. (a,等1 号b1成)2 立(a⇔2 存b2在)2 非负实数μ及λ,使得μa1=λb1,μa2=λb2
第2页
(6)a>b>0⇒ n a> n,其b 中n为正整数,且n≥2. (7)a>b,c>d⇒a+c>b+d. (本性质说明两个同向不等式相加,所得不等式和原不等式同向) (8)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (本性质说明两边都是正数同向不等式两边分别相乘,所得不等式 和原不等式同向) 3.基本不等式 定理1:设a、b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理2:若a、b为正数,则 a ≥b ,当ab且仅当a=b时,等号成立.
定理5:设α、β、γ为平面向量, 则|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|.
第7页
当α-β、β-γ为非零向量时,上面不等式中等号成立⇔存在正数λ,使得
α-β=λ(β-γ)⇔向量α-β与β-γ同向,即夹角为零.
定理6:(柯西不等式普通形式)设a1、a2、…、an、b1、b2、…、bn为实
数,则(
a12
+a
仅当a=1时等= 1 +a(≥x 2a()当且1
a
a
(2)f(3)= 3 +1|3-a|.
a
当a>3时,f(3)=a+ 1 ,由f(3)<5得3<a<5 .21
a
2
当0<a≤3时,f(3)=6-a+ 1 ,由f(3)<5得1 <5a≤3.
a
2
综上,a取值范围是
1.
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方法 2 不等式应用
利用不等式及|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求解不等式或求相关函数最值.
例2 (江苏调研,21)设函数f(x)= (1)证实:f(x)≥2;
+|xx-a|(1aa>0).
(2)若f(3)<5,求实数a取值范围.
第10页
解析 (1)证实:由a>0,得f(x)= x +1|x-a|≥
2
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,5 2
21
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(2)解|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式普通步骤: a.令每个绝对值符号里一次式为0,求出对应根. b.把这些根由小到大排序,它们把实数轴分为若干个区间. c.分别在所分区间上,依据绝对值定义去掉绝对值符号,讨论所得不 等式在这个区间上解集. d.这些解集并集就是原不等式解集. 5.含绝对值三角不等式 定理1:若a、b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 定理2:若a、b、c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等 号成立. 推论1:||a|-|b||≤|a+b|.
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推论2:||a|-|b||≤|a-b|.
6.不等式证实基本方法
(1)比较法;(2)综正当与分析法;(3)反证法和放缩法.
拓展延伸
柯西不等式相关定理:
定理1:(二维形式柯西不等式)设a1、a2、b1、b2均为实数,则(
+a12
)a(
2 2
b12
+ b22 )≥(a1b1+a2b2)2.上式等号成立⇔a1b2=a2b1.
2
我们称 a 为b 正数a、b① 算术平均 , 为正a数b a、b②几何平均 ,
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因而可用语言叙述为:两个正数算术平均大于或等于它们 几何平均. 定理3:若a、b、c为正数,则 a ≥b c,当且3 a仅bc当a=b=c时,等号成立.
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定理4:(普通形式算术—几何平均不等式)若a1、a2、…、an为n个正数, 则 a1 ≥a2 n,当且a仅n 当naa11=aa22=…an =an时,等号成立. 4.绝对值不等式解法 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式解法: c>0,则|ax+b|≤c解集为-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c解集为ax+b≥c或ax+ b≤-c,然后依据a、b值解出即可. c<0,则|ax+b|≤c解集为⌀,|ax+b|≥c解集为R.
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定理4:(平面三角不等式)设a1、a2、b1、b2、c1、c2为实数,
(a+1 b≥1) 2 ,(且a2等 b号2 )2 (b1 c1)2 (b2 c2 )2
(a1 c1)2 (a2 c2 )2
成立⇔存在非负实数λ及μ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1),μ(a2-b2)=λ(b2-c2).
高考数学
§22.3 不等式选讲
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知识清单
1.两实数大小比较三种情况 设a、b为两个实数,它们在数轴上对应点分别记为A、B.若A落在B 右边,则称a大于b,记为a>b;若A落在B左边,则称a小于b,记为a<b;若A 与B重合,则称a与b相等,记为a=b. 2.不等式基本性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c. (3)a>b⇒a+c>b+c. (4)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. (5)a>b>0⇒an>bn,其中n为正整数,且n≥2.
2 2
+…+a
2 n
)(
b12
+b
2 2
+…+
b
2 n
)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,
当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号
成立.
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方法技巧
方法 1 不等式证实
例1 (苏州高三第一学期期末)已知a,b,x,y都是正数,且a+b=1. 求证:(ax+by)(bx+ay)≥xy. 证实 因为a,b,x,y都是正数,且a+b=1, 所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+(a2+b2)xy≥ab·2xy+(a2+b2)xy=(a+b)2xy= xy. 当且仅当x=y时,取等号.
定理2:(柯西不等式向量形式)设α、β为平面上两个向量,则|α·β|≤|α
||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
定理3:设a1、a2、b1、b2为实数,则 a+12 a≥22 b12 b22
. (a,等1 号b1成)2 立(a⇔2 存b2在)2 非负实数μ及λ,使得μa1=λb1,μa2=λb2
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(6)a>b>0⇒ n a> n,其b 中n为正整数,且n≥2. (7)a>b,c>d⇒a+c>b+d. (本性质说明两个同向不等式相加,所得不等式和原不等式同向) (8)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (本性质说明两边都是正数同向不等式两边分别相乘,所得不等式 和原不等式同向) 3.基本不等式 定理1:设a、b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理2:若a、b为正数,则 a ≥b ,当ab且仅当a=b时,等号成立.
定理5:设α、β、γ为平面向量, 则|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|.
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当α-β、β-γ为非零向量时,上面不等式中等号成立⇔存在正数λ,使得
α-β=λ(β-γ)⇔向量α-β与β-γ同向,即夹角为零.
定理6:(柯西不等式普通形式)设a1、a2、…、an、b1、b2、…、bn为实
数,则(
a12
+a