2020-2021高一数学上期中第一次模拟试题含答案(3)

2020-2021高一数学上期中第一次模拟试题含答案(3)
一、选择题
1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2
|,B y y x x R ==∈，则A B =I
A ．{}|11x x -≤≤
B ．{}|0x x ≥
C ．{}|01x x ≤≤
D ．∅
2．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
3．不等式(
)
2
log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞
B ．(]1,2
C ．1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
4．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x
）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5
B ．4.5
C ．3.5
D ．2.5
6．已知()20191
1,0
2log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩
，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得
()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)
B ．[-2,0)
C ．(]2,0-
D ．（0,1）
7．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122
t -
≤≤ B ．22t -≤≤
C ．12t ≥
或1
2
t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =
8．函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，，
，，
()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）
10．若函数6
(3)3,7
(),7
x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．9
,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．()1,3
D ．()2,3
11．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪
⎨∈+∞⎪-⎩
，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为
（ ） A ．1
B ．3
C ．4
D ．6
12．已知集合{
}
2
2
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
二、填空题
13．方程组20
40x y x +=⎧⎨-=⎩
的解组成的集合为_________.
14．设函数2
1
()ln(1||)1f x x x
=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是_____.
15．设
，则
________
16．函数6()12log f x x =-__________．
17．已知()32,,x x a
f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a
的取值范围是________．
18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．
19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x
f x a a R =+⋅∈，
则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．
20．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两
种都没买的有 人.
三、解答题
21．设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
（1）若2log t x =，求t 的取值范围；
（2）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值．
22．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单
位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x t
y -⎛⎫= ⎪⎝⎭
测得数据
如下表（部分）： x （单位：克） 0
1
2
9
…
y
74
3
19
…
（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；
（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大. 23．已知函数()(
)
22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.
（1）求a 的值；
（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.
24．一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：
）
25．设a 为实数，函数()()2
1f x x x a x R =+-+∈．
（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；
（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[]
,a b ，如果存在()00x a x b <<，满足
()0()()
m b m a m x b a
-=
-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个
“均值点”．如函数2y x =是[]
1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数
()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．
26．已知定义域为R 的函数()1221
x a f x =-++是奇函数. (1)求a 的值；
(2)判断函数()f x 的单调性并证明；
(2)若关于m 的不等式()()
2
2
2120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解，求实数t 的
取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
求出集合B 后可得A B I . 【详解】
因为集合{}
|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{
}
2
|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则
A B =I {}|01x x ≤≤，选C
【点睛】
本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}
|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}
|,y y f x x D =∈表示函数的值域，
()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪
⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增，
且11
44
11
22114320
4411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内，故选C. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由()2
223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】
由(
)
2
log 231a x x -+≤-可得()
2
1log 23log -+≤a a
x x a
， 当1a >时，由()2
223122-+=-+≥x x x 可知2
1
23-+≤
x x a
无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2
2
12312-+=-+≥
x x x a
在x ∈R 上恒成立，所以1
2a ≤，解得
1
12
a ≤<. 故选：C 【点睛】
本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】
如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，
则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，
即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】
()20191
1,
02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .
【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
7．D
解析：D 【解析】
试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]
1,1-最大值是
21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令
()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0
t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()
y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.
8．C
解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos x
y x
=
-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当
1x =时，sin 2
01cos 2
y =
>-，故排除A ．故选C ．
点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
9．C
解析：C 【解析】
分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的
函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x
e x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上
下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数()f x 的图像，x
y e =在y 轴右侧的去掉，
再画出直线y x =-，之后上下移动，
可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】
解：Q 函数6
(3)3,7
(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨
>⎩
…单调递增， ()30
1373a a a a
⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩
解得934a ≤<
所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
． 故选：B ． 【点睛】
本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】
令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,
令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或1
2x =-,符合(1,3)x ∈-;若
411
x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.
作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1
()2
f x =-
,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.
【点睛】
本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.
12．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝
⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
二、填空题
13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--
【解析】 【分析】 解方程组2
40x y x +=⎧⎨-=⎩
，求出结果即可得答案. 【详解】
由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=， 解得22x y =⎧⎨
=-⎩或22
x y =-⎧⎨=⎩，
所以方程组20
40
x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，
故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】
该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.
14．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数
解析：1(1)3
， 【解析】
试题分析：由题意得，函数2
1
()ln(1)1f x x x =+-
+的定义域为R ，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，2
1
()ln(1)1f x x x =+-
+为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得()(21)f x f x >-成立，则21x x >-，解得
1
13
x <<. 考点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式
()(21)f x f x >-成立，转化为21x x >-，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问
题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.
15．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-
解析：-1 【解析】 【分析】
由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得
的值.
【详解】
， ，
所以，故答案为-1. 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自
变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外
依次求值．
16．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4 解析：(
6⎤⎦
【解析】
要使函数()f x 有意义，则必须60
12log 0x x >⎧⎨
-≥⎩
，解得：06x ≤<
故函数()f x 的定义域为：(
6． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为π
{|π,}2
x x k k ≠+
∈Z . 17．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞
【解析】 【分析】
由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】
()()g x f x b =-Q 有两个零点，
()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，
由32x x =可得，0x =或1x =
①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意
②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意
④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意
⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点
综上可得，0a <或1a >
故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】
本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意
解析：(1,4)； 【解析】 【分析】
分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围． 【详解】
∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数， 当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间， ∴40a ->，求得14a <<，
当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意， 综上可得a 取值范围为(1,4)， 故答案为：(1,4)． 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．
19．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x∈03时f （x ）＝3x+a4x （a∈R）当x ＝0时f （0）＝0解得
解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x
【解析】 【分析】
先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】
定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1． 故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．
当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，
由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x . 故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.
20．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没
买的有
人.或根据条件画出韦恩图：
(人).
考点：元素与集合的关系.
三、解答题
21．（1）[]22-,
；（2）2
x =，最小值14-，4x =，最大值12 .
【解析】
试题分析：（1）根据定义域为1
,44⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，利用对数函数的单调性确定函数2log t x =的取值
范围；（2）根据对数的运算法则化简函数
()()()()()2222log 4log 221f x x x log x log x =⋅=++利用换元法将函数()y f x =转化为
关于t 的一元二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值. 试题解析：（1）的取值范围为区间][221log ,log 42,24⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
（2）记()()()()()()
()22log 2log 12122y f x x x t t g t t ==++=++=-≤≤．
∵()2
3124y g t t ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭在区间32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数，在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是增函数 ∴当23log 2t x ==-即3
22
24
x -==时，()y f x =有最小值
231424f g ⎛⎛⎫
=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭
；
当2log 2t x ==即224x ==时，()y f x =有最大值()()4212f g ==．
22．（1）()2
7
12,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩（2）4x = 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】
（1）当06x ≤<时，由题意，设()2
f x ax bx c =++（0a ≠），
由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪
⎪
=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420
a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
，
所以，当06x ≤<时，()2
124
f x x x =-
+， 当6x ≥时，()13x t
f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，由表格数据可得()911939
t
f -⎛⎫==
⎪⎝⎭
， 解得7t =，所以当6x ≥时，()7
13x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，
综上，()2
7
12,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪
≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩. （2）当06x ≤<时，()()2
21124444
f x x x x =-
+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，
当6x ≥时，()7
13x f x -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
单凋递减，
可知6x =时，()()67
max
1633f x f -⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
.
综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】
本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的
类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象 23．(1) 1a = (2) [
)4,+∞ 【解析】 【分析】
（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；
（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解. 【详解】
（1）因为(
))
2
log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，
即log 0=，解得1a =. （2）由（1）可得(
))
2
log f x x =，
()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1
,2
1
,2
x x ≥
< .
因为奇函数(
)
)
22
log log f x x ==，所以()f x 在3,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫
⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭
，
因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1
,21
,2
x x ≥
<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减
函数，
则()g x 的最小值为34g ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫
-
=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-，
因为对任意的3,24x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.
故t 的取值范围为[
)4,+∞. 【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 24．（Ⅰ）ω=500×0.9t . （Ⅱ）6.6年 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）最初的质量为500g ， 经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×10.9， 经过2年，ω=500×20.9， ……，
由此推出，t 年后，ω=500×0.9t ． （Ⅱ）解方程500×0.9t =250．
0.9t =0.5， lg 0.9lg 0.5t =，
lg 0.5
6.6lg 0.9
t =
≈， 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年． 考点：指数函数应用题及只属于对数的互化
点评：本题第一问由经过一年，二年……的剩余质量归纳出t 年后的剩余含量，第二问涉及到指数式与对数式的转化x a b =转化为log a x b = 25．（1）；（2）
；（3）()0,2
【解析】
试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用
通过整理即可得到；（2）此函
数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，
()22
21,2
21{3,2
x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最
小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在
()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．
试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立， 即()2
211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax =
x R ∈Q 0a ∴=
（2）当2a =时，()22
21,2
21{3,2
x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<
所以()f x 在[
)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝
，
因为
＜5，所以函数()f x 的最小值为
．
（3）因为函数()2
1g x x mx =-++是区间[]
1,1-上的平均值函数， 所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)
1(1g g g x --=--）
而
(1)(1)
1(1g g m --=--）
，存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =
即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解； 由21x mx m -++=得210x mx m -+-=
解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m << 故m 的取值范围是()0,2
考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题． 26．（1）1a =（2）见解析（3）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析：（1）由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，即可得解；
（2）由21x
y =+递增可知()11221
x f x =-
++在R 上为减函数，对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，化简()()12f x f x -判断正负即可证得； （3）不等式(
)
()
2
2
2120f m m f m mt -+++-≤，等价于
()(
)22212f m m f m mt -++≤-+，即2
2
212m m m
mt -++≥-+，原问题转化为
121t m m ≤-+
+在()1,2m ∈上有解，求解1
1y m m
=-++的最大值即可. 试题解析
解：(1)由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，解得1a =.
(2)由21x
y =+递增可知()11221
x f x =-
++在R 上为减函数， 证明：对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，
()()()()
21
121212112221212121
x x x x x x f x f x --=-=++++
∵2x
y =递增，且12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x ->，
∴()()12f x f x >，故()f x 在R 上为减函数.
(3)关于m 的不等式(
)
()
2
2
2120f m m f m mt -+++-≤， 等价于(
)(
)2
2
212f m m f m mt -++≤-+，即2
2
212m m m
mt -++≥-+，
因为()1,2m ∈，所以1
21t m m
≤-++， 原问题转化为1
21t m m
≤-++在()1,2m ∈上有解， ∵1
1y m m
=-+
+在区间()1,2上为减函数， ∴11y m m =-++，()1,2m ∈的值域为1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
∴21t <，解得1
2
t <
， ∴t 的取值范围是1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
. 点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则
()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这
与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当
()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单
调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.。