江苏省东台市高三数学12月月考试题 苏教版

B
C C 1 B 1
A 1
F
D E
（第16题）
O M
2013届高三数学12月份月考试卷数 学
一、填空题（本题共14题，每题5分，计70分，请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．） 1.已知R 为实数集，2
{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则=)(N C M R ▲. 2.命题:“(0,)x ∀∈+∞,2
10x x ++>”的否定是 ▲ .
3.已知()()i 1i z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则
a = ▲ ．
4.设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2
0,
20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个
点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是____ ▲ ____.
5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值 等于__▲ ____.
6.椭圆()22
2210x y a b a b
=>>+的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过点1F 且垂
直于x 轴的弦的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ．
7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为__ ▲ ____.
8.设,,a b R ∈且2,a ≠若定义在区间(),b b -内的函数()1lg 12ax
f x x
+=+是奇函数，则a b +的取
值范围是 ▲ .
9.巳知函数))2,0((cos )(π∈=x x x f 有两个不同的零点21,x x ，且方程m x f =)(有两个不同的实根43,x x .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为____ ▲ ______.
10.关于x 的不等式2
x ＋25＋|3
x －52
x |≥ax 在[1，12]上恒成立，则实数a 的取值范围是__
▲ .
11.已知正数x ，y 满足(1＋x )(1＋2y )＝2，则4xy ＋1
xy
的最小值是____▲ .
12.已知函数()4
3
2
2f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处有极值，则
a 的取值范围是 ▲ ．
13.已知)(,,c b a c b a <<成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，则
2
2
2b c a +的值为 ▲ ．
14.如图，用一块形状为半椭圆14
2
2
=+y x )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形
ABCD ，记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ，则S 的最大值是 ▲ ．
二、解答题(本大题共6小题，共计90分．请在答题．．纸．指定区域．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分14分）
在△ABC 中，,,A B C 为三个内角,,a b c 为三条边，2
3
π
π
<
<C ，且
.2sin sin 2sin C
A C
b a b -=- （I ）判断△ABC 的形状；
（II ）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围．
16．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．
（I ）求证：1//C E 平面ADF ；
（II ）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF
？
x
17．（本小题满分15分）
已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，3
2
).
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M .问点M 满足什么条件时，圆M 与y 轴有两个交点?
(Ⅲ)设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求点D 、E 距离的最大值.
18. （本小题满分15分）
如图，AB 是沿太湖南北方向道路,P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车场， 5.2PQ =km ．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q ,已知游船以13km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶，
13
5
sin =
θ．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M 处，然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h ． (Ⅰ)设5
4
sin =
α，问小船的速度为多少km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点Q ； (Ⅱ)设小船速度为10km/h ，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计
划以最短时间到达Q ．
19．(本小题满分16分)
已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项，
（I ）若k=7，12a =
（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；
（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值；
（II ）若存在m>k,*
m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数.
20.(本小题满分16分)
已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23
=++-=．
（I ）若)(x f 在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；
（II ）若对任意[
]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)在（1）的条件下，设()()⎩
⎨⎧≥<=1,1
,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否
存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（O 为坐标原点），且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．
江苏省东台中学2013届高三数学12月份月考试卷
数 学（附加题）
本大题共4小题，每小题满分10分，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分10分)已知矩阵2112,.0112-⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
A B (Ⅰ)计算AB ；
(Ⅱ) 若矩阵B 把直线l ：x y ++2=0变为直线l '，求直线l '的方程．
2． (本小题满分10分)已知椭圆C 的极坐标方程为2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+，点1F ，2F 为其左，
右焦点，直线l
的参数方程为2,(),x t t y ⎧=⎪⎪∈⎨⎪⎪⎩R 为参数,．
(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的普通方程；
(Ⅱ)求点1F ，2F 到直线l 的距离之和.
3． (本小题满分10分)
已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求X 的分布列； (Ⅱ)求X 的数学期望E (X )．
4．(本小题满分10分) 已知1(1)2
n
x +
展开式的各项按x 的次数从低到高依次记为 1231(),(),(),(),()n n a x a x a x a x a x +．
设1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++．
(Ⅰ)若123(),(),()a x a x a x 的系数依次成等差数列，求n 的值；
(Ⅱ)求证：对任意12,[0,2]x x ∈，恒有112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-.
江苏省东台中学2013届高三数学12月份月考试卷 （附加题）参考答案 1. 解:
(Ⅰ)AB = 2314-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
； ………………………………3分 (Ⅱ) 任取直线l 上一点P （x ，y ）经矩阵B 变换后为点(),P x y '''，
则12201x x x y y y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………6分 2,,x x y y y '=-⎧∴⎨'=⎩
∴2,
.x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩
………………………………8分
代入x y ++2=0得：220,x y y '''+++= ∴320,x y ''++=
∴直线l '的方程为320x y ++=． ………………………………10分 2.解: (Ⅰ) 直线l 普通方程为2y x =-； ………………………………2分
曲线C 的普通方程为22
143
x y +=． ………………………………4分
(Ⅱ) ∵1(1,0)F -,2(1,0)F ， ∴点1F 到直线l
的距离1,2
d =
=
………………………………6分 点2F 到直线l
的距离2d =
=
………………………………8分
∴12d d += ………………………………10分 3.(Ⅰ) X 的可能取值有：3，4，5，6．
35395(3)42C P X C ===； 21
543920
(4)42C C P X C ===；
12543915(5)42C C P X C ===； 3
43
9
2
(6)42C P X C ===． 故，所求X 的分布列为
(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为：
E (X )＝3
13
21161455211044253=⨯+⨯+⨯+⨯
．………………………10分 4．解：(Ⅰ)依题意1
1
1
()()
2
k k k n a x C x --=，1,2,3,,1k n =+，
123(),(),()a x a x a x 的系数依次为0
1n C =，1122n
n C ⋅=，221(1)()28
n n n C -⋅=， 所以(1)
2128
n n n -⨯=+，解得8n =； ………4分
(Ⅱ) 1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++
01221111112()3()()(1)()2222n n n n n n n n n C C x C x nC x n C x --=+++++
0121(2)23(1)n n
n n n n n
F C C C nC n C -=+++++ 设012
123(1)n n
n n n n
n n S C C C nC n C -=+++++， 则1
210(1)32n n n n n
n n n
S n C nC C C C -=+++++ 考虑到k n k
n n C C -=，将以上两式相加得： 01212(2)()n n
n n n n
n n S n C C C C C -=+++++
所以1(2)2n n S n -=+
又当[0,2]x ∈时，'()0F x ≥恒成立，从而()F x 是[0,2]上的单调递增函数， 所以对任意12,[0,2]x x ∈，1
12|()()|(2)(0)(2)21n F x F x F F n --≤-=+-．
………10分
2013届高三数学12月份月考试卷 参考答案 一、填空题
1. {|01}x x <<
2.01),,0(2
≤+++∞∈∃x x x 3.1
4. 44π-
5. 3-
6. 21
7. 1 8.]23,2(--
10.]10,(-∞ 11. 12 12.88,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
13．20 14.2
3
3
二、解答题
15. (Ⅰ)解：由
C
A C
b a b 2sin sin 2sin -=-及正弦定理有：C B 2sin sin = ∴2B C =或π=+C B 2若2B C =，且32C ππ<<，∴2
3
B ππ<<，
)(舍π>+C B ；∴2B C π+=，则A C =，∴ABC ∆为等腰三角形．………………7分
(Ⅱ)∵ ||2BA BC +=，∴22
2cos 4a c ac B ++⋅=，∴22
2cos ()a B a c a
-==，而C B 2c o s c o s -=，∴1cos 12B <<，∴2413a <<，∴2
(,1)3
BA BC ⋅∈．………………14分
16.解：(Ⅰ)连接CE 交AD 于O ，连接OF ． 因为CE ，AD 为△ABC 中线，
所以O 为△ABC 的重心，
12
3
CF CO CC CE ==． 从而OF//C 1E ．……………………………………………3分
OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ，
所以1//C E 平面ADF ．……………………………6分 (Ⅱ)当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．
在直三棱柱111ABC A B C -中，
由于1B B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC ．
由于AB =AC ，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．又平面B 1BCC 1∩平面ABC =BC ，
所以AD ⊥平面B 1BCC 1．
而CM ⊂平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM ．………………9分
因为BM =CD =1，BC = CF =2，所以Rt CBM ∆≌Rt FCD ∆，所以CM ⊥DF ．…11分
DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ．
CM ⊂平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF ．…………………13分
当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．……………14分
17.解：(Ⅰ)∵椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，3
2
)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2 a =1
2
1 a
2 +9
4b
2
=1
，即 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 2-4b 2
=01 a 2 +9 4b 2 =1，解得 ⎩⎨⎧a 2=4
b 2=3，
∴椭圆C 的方程为
x 2 4 +y 2
3
=1。

………………5分
(Ⅱ)易求得F (1，0)。

设M (x 0，y 0)，则
x 0
2 4 +
y 02
3
=1，
圆M 的方程为(x -x 0)2
+(y -y 0)2
=(1-x 0)2
+y 02，
令x =0，化简得y 2
-2y 0y +2x 0-1=0，⊿=4y 02
-4(2x 0-1)2
＞0……①。

将y 02
=3(1- x 0
2
4
)代入①，得3x 02
+8x 0-16＜0，解出 -4＜x 0＜
4 3
， 又∵3
4
22200<
≤-∴≤≤-x x 。

………………10分 (Ⅲ)设D (0，y 1)，E (0，y 2)，其中y 1＜y 2。

由(2)，得
DE = y 2- y 1=4y 02-4(2x 0-1) =-3x 02
-8x 0+16 =
-3(x 0+
4 3 )2+64
3
， 当x 0=-
4 3 时，DE 的最大值为3
3
8………………15分 18．解：(Ⅰ) 如图，作PN AB ⊥,N
为垂足．
N Q
M B
A
13
5sin =
θ，4sin 5=a ，
在Rt △PNQ 中，
θsin PQ PN =5
5.2213
=⨯=(km), θcos PQ QN ==12
5.2 4.813
⨯
=(km)． 在Rt △PNM 中， 2
1.5tan 3
PN MN a =
==(km) ．………………………3分 设游船从P 到Q 所用时间为1t h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为2t h ，小船的速度为1v km/h ，则
1262513135PQ t ===(h ),
21112.5 3.351
6666220
PM MQ t v v v =
+=+=+（h ）． ………………………5分 由已知得：21120t t +=，
151********v ++=，∴125
3
v =．………………………7分 ∴小船的速度为
25
3
km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q ． (Ⅱ)在Rt △PMN 中，
2sin sin PN PM =
=a a (km),2cos tan sin PN MN ==
a
a a
(km)． ∴2cos 4.8sin QM QN MN =-=-a
a (km)． ………………………9分
∴14cos 10665sin 5533sin PM QM t a a a =
+=+-＝1335cos 4
165sin 55
a a -⨯+
．…………………11分 ∵22215sin (335cos )cos 533cos 165sin 165sin t a a a a
a a
---'=⨯=
, …………………13分 ∴令0t '=得：5
cos 33
a =
． 当5cos 33a <
时，0t '>；当5
cos 33
a >时，0t '<． ∵cos a 在)2
,
0(π
α∈上是减函数，
∴当方位角a 满足5
cos 33
a =
时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ．…15分 19. (Ⅰ) 因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，
所以()()2
11126a d a a d +=+，整理得12a d =，又12a =，所以1d =，
112b a ==，321
11122a b a d
q b a a +====， 所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=， …………3分
①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯； …………6分 ② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，
所以121(21)(22)2(21)
(21)(21)221
n n n n n n n S ----+-=
-=---. 所以211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈=1． …………11分 (Ⅱ) 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412
-=k d a d ， 因为0≠d ，所以4
)5(1-=
k a d ，所以311123
2a a d k q a a +-===.
因为存在m ＞k,m ∈N *
使得13,,,k m a a a a 成等比数列，
所以3
13123⎪⎭
⎫
⎝⎛-==k a q a a m ，
又在正项等差数列{a n }中，4
)
5)(1()1(111--+
=-+=k m a a d m a a m ，
所以3
111234)5)(1(⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，
所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-， 因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数，
即3-k 为偶数，所以k 为奇数. …………16分
20.解：(Ⅰ)由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或23
． 列表如下：
由1()28f b -=+，()327f b =+，∴()()23f f ->，即最大值为3
()288
f b -=+=，∴
0b =．…………5分
(Ⅱ)由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．
[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln ,ln 0x x x x <->即，
∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x
-≤-．
令()[]()22,1,ln x x
t x x e x x -=-，求导得，()()()()
2
12ln ln x x x t x x x -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而()0t x '≥，
∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-．…………10分 (Ⅲ)由条件，()32,1
ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩
，
假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，
不妨设()()(),0P t F t t >，则()
32,Q t t t -+，且1t ≠．
POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，
∴0OP OQ ⋅=，∴0))((232=++-t t t F t ()*，
是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．
①若01t <<时，方程()*为()()
232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=， 此方程无解；
②若1t >时，()*方程为()
232ln 0t a t t t -+⋅+=，即
()1
1ln t t a
=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1
ln 1h t t t
'=++，
显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，
∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．
∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．…………16分。