高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4第1课时充分条件与必要条件学案含解析第一册

1。

4 充分条件与必要条件
【素养目标】
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．（数学抽象)
2．理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义．(数学抽象)
3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法．（逻辑推理）
4．通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(数学抽象）【学法解读】
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容．
2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例,留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法．
3．对于充要条件的证明,关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性．
第1课时充分条件与必要条件
必备知识·探新知
基础知识
知识点1充分条件与必要条件
命题真
假“若p，则q”是真
命题
“若p，则q”是假
命题
推出关
系
__p⇒q__p q
条件关
系p是q的充分条
件
q是p的必要条
件
p不是q的充分
条件
q不是p的必要
条件
思考1：在逻辑推理中,p⇒q能表达成哪几种说法？
提示：以下5种说法：
①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条是p；⑤p的必要条件是q。

知识点2判定定理、性质定理与充分条件、必要条件
的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
思考2：性质定理与必要条件有什么关系？
提示:性质定理是数学中一类重要的定理,阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某种特征．性质定理给出了结论成立的必要条件．
基础自测
1．思维辨析（对的打“√”，错的打“×"）
（1)“x＝3"是“x2＝9”的必要条件．（×）
（2）“x〉0"是“x>1”的充分条件．（×）
(3)如果p是q的充分条件,则p是唯一的．(×)
[解析]（1)因为“x2＝9”“x＝3”．
(2）因为“x>0”“x〉1”．
（3)不唯一．如x>3，x〉5，x>10等都是x>0的充分条件．2．x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件（B）
A．x＋y＝0B．x2＋y2>0
C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0
［解析］xy≠0⇒x2＋y2>0,故选B．
3．在平面内，下列是“四边形是矩形"的充分条件的是（A）A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
［解析］四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形，故选A．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一充分条件
例1 （1)设x∈R，则使x>3。

14成立的一个充分条件是(C)
A．x〉3B．x<3
C．x〉4 D．x〈4
(2)下列“若p，则q"形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
①若a∈Q，则a∈R；
②若a<b，则错误!〈1；
③若x〉1，则x2>1；
④若(a－2)（a－3)＝0,则a＝3；
⑤若△ABC中，若A>B，则BC>AC；
⑥已知a,b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
[解析](1）4〉3。

14，则x>4能推出x〉3。

14，故选C．(2)①由于Q R，所以p⇒q，
所以p是q的充分条件．
②由于a〈b，当b〈0时，错误!〉1;当b>0时，错误!〈1，
因此p q，所以p不是q的充分条件．
③由x>1可以推出x2〉1.因此p⇒q，
所以p是q的充分条件．
④由(a－2)(a－3）＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，
因此p q，所以p不是q的充分条件．
⑤由三角形中大角对大边可知，若A〉B,则BC>AC．因此p⇒
q，所以p是q的充分条件．
⑥因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，
由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q,
所以p是q的充分条件．
[归纳提升］充分条件的两种判断方法
(1)定义法：
(2）命题判断方法:
如果命题：“若p,则q"是真命题，则p是q的充分条件；
如果命题：“若p，则q"是假命题，则p不是q的充分条件．【对点练习】❶下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
（1）若x2＝y2，则x＝y;
(2）若内错角相等，则两直线平行；
（3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；
（4）若（x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1）（y－2)＝0.
［解析］（1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y,
因此p q,所以p不是q的充分条件．
(2)若内错角相等，则两直线平行是真命题，
所以p⇒q，所以p是q的充分条件．
(3)若整数a能被4整除，则a是偶数,
所以a的个位数字为偶数；
所以p⇒q,所以p是q的充分条件．
（4）因为（x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，
所以p⇒q，所以p是q的充分条件．
题型二必要条件
例2 (1)使｜x|＝x成立的一个必要条件是(B)
A．x<0B．x≥0或x≤－1
C．x〉0 D．x≤－1
(2)下列“若p，则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件？
①若｜x|＝｜y|,则x＝y；
②若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形；
③p：x＝1,q:x－1＝x－1；
④p：－2≤x≤5，q:－1≤x≤5；
⑤p：a是自然数，q：a是正整数；
⑥p：三角形是等边三角形,q：三角形是等腰三角形．［解析]（2)①若｜x｜＝|y｜，则x＝y或x＝－y，因此p q,所以q不是p的必要条件；
②直角三角形不一定是等腰三角形．
因此p q,所以q不是p的必要条件；
③当x＝1时，x－1＝错误!＝0，
所以p⇒q，所以q是p的必要条件；
④当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以p q,所以q不是p的必要条件；
⑤0是自然数，但是0不是正整数，所以p q,
所以q不是p的必要条件；
⑥等边三角形一定是等腰三角形，
所以p⇒q，所以q是p的必要条件．
［归纳提升]必要条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2)命题判断方法：
如果命题：“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件；
如果命题：“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件．【对点练习】❷下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1）若a是1的平方根，则a＝1.
（2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12.
（3）若a是无理数，则a是无限小数．
（4）若a与b互为相反数,则a与b的绝对值相等．
［解析］(1)1的平方根是±1,
所以p q，所以q不是p的必要条件．
（2)因为4x2－mx＋9＝（2x±3）2，
所以m＝±12，所以p q，
所以q不是p的必要条件．
(3)因为无理数是无限不循环小数,
所以p⇒q，所以q是p的必要条件．
（4）若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p⇒q,所以q是p的必要条件．
课堂检测·固双基
1．命题p:(a＋b)（a－b)＝0,q：a＝b，则p是q的（B) A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
［解析］a＝b⇒（a＋b)(a－b)＝0，则p是q的必要条件．故选B．
2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中,真命题是（B) A．“ac>bc”是“a〉b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac<bc”是“a〈b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
［解析]a>b ac〉bc，A错；a＝b⇒ac＝bc，B正确；ac<bc a<b，C错；ac＝bc a＝b,D错，故选B．
3．设集合M＝{x｜0〈x≤3｝,N＝｛x｜0<x≤2｝，那么“a∈N”是“a∈M”的__充分__条件．
4．下列“若p，则q”形式的命题,哪些命题中的p是q的充分条件？
(1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB；
（2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
（3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方．
［解析](1）由线段垂直平分线的性质知p⇒q,p是q的充分条件;
(2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,p q,p不是q的充分条件；
（3)由相似三角形的性质知p⇒q，p是q的充分条件．5．下列“若p，则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若直线l与⊙O有且仅有一个交点，则l为⊙O的一条切线；
（2)若x是无理数，则x2也是无理数．
［解析](1)这是圆的切线定义，p⇒q，
所以q是p的必要条件．
（2)由于2是无理数，但（2)2＝2不是无理数，p q,
所以q不是p的必要条件．。