河南省八市重点高中2019届高三理数第二次联合测评试卷

河南省八市重点高中2019届高三理数第二次联合测评试卷
一、单选题 (共12题；共24分)
1．（2分）已知集合 A ={x|x ≤−1} ， B ={x|x〉0} ，则 ∁R (A ∪
B)=( )
A ．{x|x〉−1}
B ．{x|x ≤0}
C ．{x|−1≤x <0}
D ．{x|−1<x ≤0}
2．（2分）已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集 . 若命题p ： ∀f(x)∈A ， |f(x)|∈B ，则 ￢p
为 ( )
A ．∀f(x)∈A ， |f(x)|∉
B B ．∀f(x)∉A ， |f(x)|∉B
C ．∃f(x)∈A ， |f(x)|∉B
D ．∃f(x)∉A ， |f(x)|∉B
3．（2分）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗 . 苗主责之粟五斗 . 羊主曰：“我羊食半
马 . ”马主曰：“我马食半牛 . ”今欲衰偿之，问各出几何 . 其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟 . 羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半 . ”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半 . ”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x 斗、y 斗、z 斗，则下列判断正确的是 ( ) A ．y 2=xz 且 x =57
B ．y 2=xz 且 x =207
C ．2y =x +z 且 x =57
D ．2y =x +z 且 x =207
4．（2分）已知函数 f(x)={
√x ，1<x ≤4
x|x|，−1≤x ≤1
，则 ∫4
−1
f(x)dx =( )
A ．14
B ．143
C ．7
D ．212
5．（2分）已知 tana =3 ，则 cos(2α+π
2
)=( )
A ．−34
B ．34
C ．−35
D ．35
6．（2分）在等腰梯形ABCD 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段BC 的中点，若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ=( ) A ．52
B ．54
C ．12
D ．14
7．（2分）设 a =(23)13 ， b =(13)2
3 ， c =log 23
13 ，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．a >c >b
D ．c >a >b
8．（2分）已知函数 f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,|φ|〈π
2,ω〉0) 的部分图象如图所示，则 ωφ=(
)
A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．2π3
9．（2分）若x ，y 满足 2y ≤x ≤y −1 ，则
y−2
x
的取值范围是 ( ) A ．(−∞,12)∪
[3
2 ， +∞) B ．(12,32]
C ．(−∞,12
]∪
[3
2,+∞)
D ．[12,32
]
10．（2分）已知函数 f(x)=e x−1−e −x+1 ，则下列说法正确的是 ( )
A ．函数 f(x) 的最小正周期是l
B ．函数 f(x) 是单调递减函数
C ．函数 f(x) 关于直线 x =1 轴对称
D ．函数 f(x) 关于 (1，0) 中心对称
11．（2分）已知对任意平面向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ，y) ，把 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点沿逆时针方向旋转 θ 角得到向量 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(xcosθ−ysinθ，xsinθ+ycosθ) ，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转 θ 角得到点 P. 若平面内点 A(√3，0) ，点 B(0，1) ，把点B 绕点A 顺时针方向旋转 4π
3
后得到点P ，则点P 的坐标
为 ( ) A ．(√3，−2)
B ．(0，−2)
C ．(√3，1)
D ．(2√3，0)
12．（2分）已知 f(x)=x 2+2x +1+a ， ∀x ∈R ， f(f(x))≥0 恒成立，则实数a 的取值范围
为 ( )
A ．[√5−12，+∞]
B ．[√5−32，+∞]
C ．[−1，+∞)
D ．[0，+∞)
二、填空题 (共4题；共4分)
13．（1分）已知非零向量a⃗，b⃗满足|2a+b⃗|=|a+2b⃗|=√3|a |，则a⃗，b⃗的夹角
为．
14．（1分）函数y=sin2x的图象可由y=cos2x的图象向左平移φ个单位长度得到，则正数φ的最小值为．
15．（1分）若一直线与曲线y=elnx和曲线y=mx2相切于同一点P，则实数m=．16．（1分）将正整数1，2，3，…，n，…排成数表如表所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行，第j列的数可用(i,j)表示，则100可表示为．
17．（5分）已知命题p：函数f(x)=ax2+4x+2有零点；命题q：函数f(x)=sin π
2
x区间
(0,a)内只有一个极值点.若(￢p)∧q为真命题，求实数a的取值范围．18．（10分）已知向量a⃗=(1,cos2x−√3sin2x)，b⃗=(−1,f(x))，且a⃗//b⃗．（1）（5分）将f(x)表示成x的函数并求f(x)的单调递增区间；
（2）（5分）若f(θ)=6
5
，π3<θ<π2，求cos2θ的值．
19．（10分）已知数列{a n}满足a1⋅a2⋅a3……a n−1⋅a n=n+1(n∈N∗)．（1）（5分）求数列{a n}的通项公式：
（2）（5分）若b n=a n+1a
n
，求数列{b n}的前n项和S n．
20．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a
cosA=√2c−b cosB
．
（1）（5分）求角A；
（2）（5分）若b=√2，c=4，点D在△ABC内，且BD=√2，∠BDC+∠A=π，求△BDC的面积．
21．（10分）如图，将宽和长都分别为x，y(x<y)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为√5.(注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形)，
（1）（5分）求y关于x的函数解析式；
（2）（5分）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．22．（10分）已知函数f(x)=x2−2x+alnx．
（1）（5分）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（5分）若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：x1f(x2)> x2f(x1).
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】由题意，根据集合的并集，可得A∪B={x|x≤−1，或x>0}；
∴∁R(A∪B)={x|−1<x≤0}．
故答案为：D．
【分析】利用并集和补集的运算法则结合数轴的方法求出集合C R(A∪B)的值。

2．【答案】C
【解析】【解答】根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题是全称命题，则命题的否定为：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B，
故答案为：C．
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系求出¬p。

3．【答案】B
【解析】【解答】由题意可知x，y，z依次成公比为1
2
的等比数列，
则x+y+z=x+1
2x+
1
4
x=5，解得x=
20
7
，
由等比数列的性质可得y2=xz．
故答案为：B．
【分析】利用实际问题的已知条件结合等比数列的性质求出x,y,z的关系式。

4．【答案】B
【解析】【解答】函数f(x)={
√x，1<x≤4
x|x|，−1≤x≤1
，则∫4
−1
f(x)dx=∫1
−1
x|x|dx+∫4
1
√xdx=
0+23x 3
2|
1
4=14
3
．
故答案为：B．
【分析】利用分段函数的解析式结合定积分的求法，从而求出定积分的值。

5．【答案】C
【解析】【解答】由题意tana=3，
又由诱导公式得 cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosαsin 2α+cos 2α
=−2tanα1+tan 2α=−61+9=−3
5 ． 故答案为：C ．
【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系式和二倍角的正弦公式，用变形的方法求出正弦和
余弦与正切的关系式，从而用正切值求出cos (2α+π
2)的值。

6．【答案】B
【解析】【解答】取AB 的中点F ，连CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以 CF//AD ，且
CF =AD
因为 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(FC ⃗⃗⃗⃗⃗ −FB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴λ=3
4 ， μ=12 ，∴λ+μ=54
故答案为：B ．
【分析】利用平行四边形的结构特征和相关性质结合平面向量基本定理求出λ和μ的值，从而求出λ+μ的值。

7．【答案】D
【解析】【解答】由题意，根据指数函数的性质，可知 a =(23)13>(23)23 ， b =(13)23<(23
)23 ，且
(23)13<(23)0=1 ，又由对数函数的性质，可知 c =log 2313>log 23
2
3=1 ， ∴c >a >b ． 故答案为：D ．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性结合a,b,c 与特殊值1的关系式，从而判断出a,b,c 三者的大小关系。

8．【答案】D
【解析】【解答】由函数 f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,|φ|〈π
2,ω〉0) 的部分图象知， A =2 ， 14T =
π3−π12=π4 ，
∴T =π ，则 ω=
2π
T
=2 ； 又 x =π12 时， f(x) 取得最大值2， ∴2×π12+φ=π2 ，解得 φ=π
3 ，
所以 ωφ=
2π3
，
故答案为：D．
【分析】利用三角型函数的部分函数图象求出三角型函数的解析式，从而求出ω，φ的值，从而求出ωφ的值。

9．【答案】B
【解析】【解答】由x，y满足2y≤x≤y−1，作可行域，如图所示，
联立{2y=x
x=y−1
，解得A(−2,−1)．
∵y−2
x
的几何意义为可行域内的动点与Q(0,2)连线的斜率，
∴动点位于A时，(y−2
x )max=
−1−2
−2
=
3
2
，
直线2y=x的斜率为1
2，则y−2
x
的最小值满足(y−2
x)min>
1
2
，
所以y−2
x 的取值范围：(1
2
,
3
2
]，
故答案为：B．
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域画出最优解，再利用最优解求出目标函数的最值，从而求出目标函数的取值范围。

10．【答案】D
【解析】【解答】函数f(x)=e x−1−e−x+1，即f(x)=e x−1−
1
e x−1
，
可令t=e x−1，即有y=t−1
t
，
由y=t−1
t
在t>0递增，t=e x−1在R上递增，可得函数f(x)在R上为增函数，则A，B均错；
由 f(2−x)=e 1−x −e x−1 ，可得 f(x)+f(2−x)=0 ，
即有 f(x) 的图象关于点 (1，0) 对称，则C 不符合题意，D 符合题意． 故答案为：D ．
【分析】利用函数的单调性结合函数的对称性和周期性找出正确的命题。

11．【答案】A
【解析】【解答】由题意，可知 AB
⇀ =(−√3，1) 顺时针旋转 4π3 时， θ=−4π3
， 代入得： x′=−√3⋅cos(−
4π3)−1×sin(−4π
3
)=√3 ， y′=−√3sin(−4π3)+cos(−4π
3)=−2 ，
故答案为：A ．
【分析】利用向量的图像变换求出点P 的坐标。

12．【答案】B
【解析】【解答】设 t =f(x)=(x +1)2+a ≥a ， ∴f(t)≥0 对任意 t ≥a 恒成立，
即 (t +1)2+a ≥0 对任意 t ∈[a ，+∞) 都成立，
当 a ≤−1 时 f(t)min =f(−1)=a ，则 a +a ≥0 即 a ≥0 与讨论 a ≤−1 矛盾，
当 a >−1 时， f(t)min =f(a)=a 2+3a +1 ，则 a 2+3a +1≥0 ，解得 a ≥√
5−32
，
故答案为：B ．
【分析】利用不等式恒成立问题的解决方法结合分类讨论求最值的方法求出a 的取值范围。

13．【答案】2π3
【解析】【解答】由题意，知 |2a →+b →|=|a →+2b →| ，
即 (2a →+b →)2=(a →+2b →)2 ，即 4a →2+4a →⋅b →+b →2=a →2+4a →⋅b →+4b →2 ；
解得 a →2=b →2 ，所以 |a →|=|b →| ；
又 |a →+2b →|=√3|a →| ， ∴(a →+2b →)2=3a →2 ， ∴a →2+4a →⋅b →+4b →2=3a →2 ，
所以 a →2+4a →2cos〈a →，b →〉+4a →2=3a →2 ，
又 a →≠0⃗ ； ∴1+4cos〈a →，b →〉+4=3 ； ∴cos〈a →，b →〉=−12 ， 又 0≤〈a →，b →〉≤π ， ∴〈a →，b →〉=2π3
． 故答案为：
2π3
．
【分析】利用数量积表示出向量的模，再利用向量的模的关系式结合向量数量积公式求出向量a
⃗ 和b ⃗ 的夹角。

14．【答案】π
2
【解析】【解答】由题意，函数 y =sin 2x =1−cos2x 2=
1+cos(2x+π)2
，又由函数 y =cos 2x =1+cos2x
2
， 所以将函数 y =
1+cos2x
2 图象向左平移 π2 个单位长度得到，即可得到函数 y =1+cos(2x+π)2
故正数 φ 的最小值为 π
2 ， 故答案为： π
2 ．
【分析】利用二倍角余弦公式转化为三角型函数，再利用三角函数的图象变换求出正数φ的最小值。

15．【答案】12
【解析】【解答】曲线 y =elnx 的导数为 y′=e
x ，
曲线 y =mx 2 的导数为 y′=2mx ，
由 e x =2mx ， x >0 且 m >0 ，得： x =√e 2m ，即切点坐标应为： (√e 2m ,e
2
) ，
代入 y =elnx 得： eln√
e 2m =e
2 ，解得： m =12
， 故答案为： 1
2 ．
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的斜率，再利用斜率相等结合一直线与曲线 y =elnx
和曲线 y =mx 2 相切于同一点P ，将点P 的坐标代入 y =elnx ，解得：m =1
2。

16．【答案】(8,9)
【解析】【解答】由题意，第一行有a1=3个数，第二行有a2=6个数，
∴每一行的数字个数组成3为首项3为公差的等差数列，
∴第n行有a n=3+3(n−1)=3n个数，
由求和公式可得前n行共1
2n(3+3n)
个数，
经验证可得第8行的最后第1个数为85，
按表中的规律可得第8行共24个数，第一个为108，
∴100为第8行的第7个数，
故答案为(8,9)．
【分析】利用归纳推理的方法结合表中数据的已知条件，用等差数列前n项和公式求出100为第8行的第7个数，故答案为(8,9)．
17．【答案】由题意，若函数f(x)=ax2+4x+2有零点，则a=0或△=16−8a≥0，即
a≤2；
函数f(x)=sin π
2
x的周期T=4，若函数f(x)=sin
π
2
x区间(0,a)内只有一个极值点，
则T
4<a<3T
4
，即1<a<3．
∵(￢p)∧q为真命题，∴p假q真，
则{a>2
1<a<3
，即2<a<3．
∴实数a的取值范围是(2,3)．
【解析】【分析】利用函数零点和方程的根的等价关系结合函数的周期性，用求导的方法求出极值，最后利用复合命题的真假判断方法求出a的取值范围。

18．【答案】（1）由题意知，向量a →=(1,cos2x−√3sin2x)，b →=(−1,f(x))，且a →
//b →，
所以1×f(x)+(cos2x−√3sin2x)=0，
即f(x)=−cos2x+√3sin2x=2sin(2x−π6 ).
令2kπ−π
2
≤2x−
π
6
≤2kπ+
π
2
，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，
故函数的增区间为[kπ−π
6
,kπ+
π
3
]，k∈Z．
（2）若f(θ)=6
5，π3<θ<π2，即f(θ)=2sin(2θ−π
6
)=
6
5
，∴sin(2θ−π
6
)=
3
5
．
∵2θ∈(2π3,π) ， 2θ−π6∈(π2,5π6)∴cos(2θ−π6)=−√1−sin 2(2θ−π6)=−45 ，
∴cos2θ=cos[(2θ−
π6)+π6]=cos(2θ−π6)cos π6−sin(2θ−π6)sin π6
=−45⋅√32−35⋅12=−4√3+310 ． 【解析】【分析】（1）利用向量共线定理的坐标表示求出函数解析式，再利用二倍角的正余弦公式结合辅助角公式化简函数为三角型函数，再利用正弦函数的图象求出三角型函数的单调递增区间。

（2）利用角的变换结合两角和的余弦公式，借助三角形函数的解析式求出2θ的余弦值。

19．【答案】（1）由题意，数列 {a n } 满足 a 1⋅a 2⋅a 3……a n−1⋅a n =n +1……① ，
则：当 n ≥2 时， a 1⋅a 2⋅a 3……a n−1=n …...② ，
① ②
得： a n =n+1n ， n ≥2 当 n =1 时， a 1=2 ，所以： a n =n+1n
． （2）由于： a n =n+1n
， 所以： b n =a n +1a n
=n+1n +n n+1=1+1n +1−1n+1=2+1n −1n+1 ， 则： S n =2+(1−12)+2−(12−13)+⋯+2+(1n −1n+1
) =2n +(1−1n+1)=2n +1−1n+1
． 【解析】【分析】（1）利用构造法有数列关系式构造出另一个数列关系式，再利用作商的方法求出数列{a n }的通项公式。

（2）利用数列{a n }的通项公式求出数列{b n }的通项公式，再利用分组求和和裂项相消的方法求出数列{b n }的前n 项和。

20．【答案】（1）由题意知： a cosA =√2c−b cosB
可得： acosB =√2ccosA −bcosA ， 由正弦定理可得： sinAcosB =√2sinCcosA −sinBcosA ，
可得： sin(A +B)=sinC =√2sinCcosA ，
∵sinC ≠0 ， ∴cosA =√22
， ∵A ∈(0,π) ， ∴A =π4 ．
（2）由题意知， A =π4，b =√2 ， c =4 ，
由余弦定理可得： BC =√c 2+b 2−2bccosA =√16+2−2×4×√2×22
=√10 ，
因为 ∠BDC +∠A =π ，可得： ∠BDC =3π4
， BD =√2 ， 又由余弦定理 BC 2=BD 2+CD 2−2BD ⋅CD ⋅cos∠BDC ，
可得： 10=2+CD 2−2×√2×CD ×(−√22
) ， 可得： CD 2+2CD −8=0 ，解得： CD =2 或 −4( 舍 ) ，
∴S △BDC =12BD ⋅CD ⋅sin∠BDC =12×√2×2×√22=1 ．
【解析】【分析】 （1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式和三角形中A,B,C 的和为180度的关系式，用角A 在三角形中的取值范围求出角A 的值。

（2）利用已知条件结合余弦定理求出CD 的值，再利用三角形面积公式求出△BDC 的面积．
21．【答案】（1）由题意可得： 2xy −x 2=√5 ，则 y =x 2+√52x
， ∵y >x ， ∴x 2+√52x
>x ，解得 0<x <√54 ． ∴y 关于x 的解析式为 y =x 2+√52x
(0<x <√54) ； （2）设正十字形的外接圆的直径为d ，
由图可知 d 2
=x 2+y 2=x 2+(x 2+√52x )2
=5x 24+54x 2+√52≥52+√52 ， 当且仅当 x =1 ， y =√5+12
时，正十字形的外接圆直径d 最小， 最小为 √5+52=√10+2√52 ，则半径最小值为 √10+2√54 ， ∴ 正十字形的外接圆面积最小值为 π×(√10+2√54)2=5+√58
π ． 【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合图形特征求出y 关于x 的函数解析式。

（2）利用均值不等式求最值的方法结合正十字形的外接圆面积公式求出正十字形的外接圆面积最小值。

22．【答案】（1）由题意，可求得函数的导数 f′(x)=2x −2+a x =2x 2−2x+a x
.(x >0) ． 令 u(x)=2x 2−2x +a ， Δ=4−8a ．
①Δ≤0 时，解得 a ≥12
，则 f′(x)≥0 ，此时函数 f(x) 在 (0,+∞) 单调递增． ②Δ>0 时，解得 a <12 ，则 f′(x)=0 ，解得 x 1=1−√1−2a 2 ， x 2=1+√1−2a 2
． f′(x)=2(x−x 1)(x−x 2)x
． 0<a <12 时， x 1 ， x 2>0. 此时函数 f(x) 在 (0,x 1) 内单调递增，
在(x1,x2)单调递减，在(x2,+∞)内单调递增．
a≤0时，x1≤0，x2>0.此时函数f(x)在(0,x2)内单调递减，在(x2,+∞)内单调递增．
（2）证明：函数f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1<x2，0<a<1
2
．
令g(x)=f(x)
x =x−2+
alnx
x
，x∈(0,+∞)，则g′(x)=1+a1−lnx
x2
=
x2+a(1−lnx)
x2
．
令u(x)=x2+a(1−lnx)，u′(x)=2x−a
x =
2(x+√a
2
)(x−√a
2
)
x
，
可得x=√a
2时，u(x)取得最小值，u(x)≥u(√a
2
)=
a
2
+a(1−
1
2
ln
a
2
)>0，
∴g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,+∞)单调递增．
∵0<x1<x2，∴f(x2)
x2
>
f(x1)
x1
，即x1f(x2)>x2f(x1).
【解析】【分析】（1）利用分类讨论法结合求导的方法讨论出函数的单调性。

（2）利用求导的方法讨论出函数的单调性求出函数的极值，从而求出函数的最值，从而证明出不等式成立。