机械优化设计第八章

Sn(k) en [0,...,...0,1]T
3、按下式求最优步长并进行迭代计算：
min
f ( X i (k) ) min
f
(
X
i
(k) 1
Si (k) )
f
(
X
i
(k) 1
i(k) Si(k) )
X (k) i
X (k) i 1
S (k ) (k )
i
i
(k) i
利用一维优化方法求得
X (1) 2
3、以后依次如上求出：
X (1) 3
X (1) 4
X (1) n
每次只此在一个坐标轴方向上改变相应变量
的值，其余(n -1)个变量不变, 到此完成一11
轮迭代
< n维问题：>
4 、若不满足收敛精度,则进行下一轮迭代:
X (1) n
X (2) 0
仿上进行第二轮搜索，第三
轮搜索，直到得到满足收敛精度要求的点
min f ( X (k 1) ) min f ( X (k) S (k) ) f ( X (k) (k) S (k) )
广义的一维搜索
关键：构造一个有利的搜索方向S( k) 8
三、无约束优化方法分类
1、直接法： 坐标轮换法；POWELL 法
适用性广、可靠性高、收敛慢
2、间接法： 梯度法、牛顿法、变尺度法
格式： X (k 1) X (k ) S (k ) (k )
给定X (0)后，求得解序列：X (1)、X (2)、 、X (k)
直到满足收敛精度为止：
X * X (k)
f
*
f (X *)
7
X (k 1) X (k) S (k) (k)
1、确定一个有利的搜索方向 S (k) 2、确定最优步长（函数下降量最大）
第四章 一维优化方法
§4-3 二次插值法(近似抛物线法)
1
4-4 二次插值法(近似抛物线法)
插值基本原理： 多项式逼近原理 ＿利用目标函数在一些点的函数值等信息来
构造一个低次插值多项式，以此多项式的最优 点作为原函数的最优点的近似解
2
f ( )
p( )
P1 (1，f1 )
f ( )
P3 ( 3，f3 )
f1
P2 ( 2，f 2 )
f3
f2
O
1
* 2
p
3
3
一、
p
(
4
)
：
2
f ( )
p( )
f ( )
f ( )
f ( )
f1 f2
O
1
2
二、
p
(
4
)
：
2
f3
f
p
p
3
3
f ( )
f ( )
f1
O
1
p
f2
2
1
p( )
f
p
f
3
3
f1
f3
f2
f
p
O
1
2
p
3
1 2
f ( )
f ( )
f1
的坐标轮换法求目标函数的最优值
解：1、做第一轮迭代计算
a.沿x1的单位坐标方向e1
S (1) 1
10进行一维搜索 :
X (1) 0
X (0)
0 0
X (1) 1
X (1) 0
1e1
0 0
1
1 0
1
0
18
b.按最优步长法确定1：
min
f
(
X (1) 1
)
12
101
60
采用一维优化方法求出：1＝５，即：X
X n(k) 为止
思路： 多维问题→ 一系列 “一维问题”
二、坐标轮换法的迭代方向
X (k) i
X (k) i 1
(k) i
S (k) i
(i
1,2,..., n)
12
S (k) i
ei
[0,...1, ,...,0]T
(i 1,2,..., n)
三、步长的确定
１.
i
(
k
)可正、可负，但须：f
(1)＝5 1 0
c.沿x
的单位
2
坐
标方向e
2
S (1) 2
10进行一维搜索 :
X (1) 1
5 0
X (1) 2
X (1) 1
2e2
5 0
1
0 1
5
2
19
d
.按最优步长法确定
：
2
min
f
(
X
(1) 2
)
2 2
9 2
35
采用一维优化方法求出：
2＝4.5，即：X
2
(1)＝5 4.5
e.检验精度要求：
X 2(1)
[ x1(1) ,
x
(1) 210
]T
<
n维问题：>
X (0)
＿ 始点
X (1) 0
1.先将（n-1）个变量固定，只对第一变量
进行一维搜索，求得目标函数沿x1方向上的
最小点
X (1) 1
2、再从
X (1) 1
出发，只对第二个变量进行一维
搜索，而将其余（n-1）个变量固定，求得
目标函数沿x2方向上的最小点
4
8.313 8.08 8.08
6.156 6.156 6.04
5
8.08 8.02 8.02
6.04 6.04 6.01
X (k) 2
X (k) 0
6.7
3.09
1.16
0.26
0.08
21
经 5轮 迭代满足中止条件，得近似最优解：
思考题：
X *
f
*
X
(5) 2
8.02,6.02T
f (X * ) 8.0003
X (1) 2
X (1) 0
（5 - 0）2 （4.5 0）2 6.7
不满足要求：取X 0 (2)＝X 2 (1)继续迭代
2、各轮迭代计算见下表：
20
迭代轮数
1
X (k) 0
0 0
X
( 1
k
)
5 0
X
(k 2
)
5 4.5
2
5 7.25 7.25 4.5 4.5 6.625
3
7.25 8.313 8.313 6.625 6.625 6.156
(
X
( i
k
)
)
f
(
X
(k) i 1
)
２. 步长因子的确定方法
随机步长法 加速步长法 最优步长法
f
(
X
(k) i
)
f
(X
(k) i 1
( i
k
)
s
( i
k
)
)
min
f
(
X
(k) i 1
s
( i
k
)
)
13
四、最优步长法的坐标轮换法计算步骤和框图
１、任选初始点，作为第一轮的起点，收敛精度
为ε
X (0)
f
p
O
1
p
2
f2
2
3
f3
4
3
5 无约束优化方法
5-1 概 述 5-2 坐标轮换法 例题分析
5
1、熟悉无约束优化方法的基本思路及分类 2、掌握坐标轮换法的基本思想及适用范围
6
5-1 概 述
一、无约束优化方法 无约束优化问题：
min f (X ) X Rn
最优解：
X *
f
*
f (X*)
二、无约束优化的基本思想
2、其效能在很大程度上取决于目标函数的性态
16
x2
X ()
X (0)
O
x1
A 显效
x2
X ()
x2
O
A
X (0)
X ()
x1
B 有效
脊 线
O
x1
X (0)
17
C 无效
例题分析：
已知： f (X )
x12
x
2 2
x1 x2
10x1
4x2
60
设初始点：X (0) [0，0]T , 精度 0.1，用最优步长法
的最优步长
k 循环序号（轮号）
i 一维搜索的序号
4、若i = n,则进行下一步，反之i<n,则转3、：
5、终止判别：
X (k) n
X (k) 0
15
若上式成立，则迭代中止，输出：
X *
f
*
X (k) n
f (X *)
否则，转3、继续迭代
算法参考框图可参见教科书
五、坐标轮换法的局限性
1、适于n<10的小型低维优化问题的求解
1、坐标轮换法的应用有何局限性？ 2、画出坐标轮换法的程序计算框图？
下一讲内容： 5-3 POWELL法
预 习：
1、“POWELL 算法”，共轭矢量
2、复习正定二次函数的性质，正定概念
22
感谢下 载
[ x1(0) ,
x
(0) 2
,...
x
(0) n
]T
X
(1) 0
2、置搜索方向依次为：
S (k) i
ei
[0,...1, ,...,0]T
(i 1,2,..., n)
S1(k) e1 [1,..., 0,..., 0]T
S2(k) e2 [0,1, 0,..., 0]T
....................................... 14
收敛快、目标函数复杂时不能用
5-2 坐标轮换法 （降维法）
一、基本思想 9
x2
二 维 问 题
X*
X (3) 0
X (2) 2
X (2) 0
X (1) 2
X (2) 1
X (0)
X (1) 0
X (1) 1
O
x1
一轮搜索： X (0)
[ x10 , x20 ]T
X (1) 1
[
x (1) 1
,
x20 ]T