2018年秋八年级数学上册作业课件：12.3 角的平分线的性质 第2课时 角的平分线的判定
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人教版八年级上册数学课件：角平分线的性质优秀课件
求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
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证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ，
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
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角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
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证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ，
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
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角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
人教版八年级数学上册1角的平分线的性质(第2课时)课件
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
P
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）
人教版
八年级 数学 上册
12.3 角的平分线的性质 （第2课时）
学习目标
进一步熟悉并掌握角平分线的 知识，并用角平分线解决问题。
理解掌握角平分线的逆定理， 并能灵活运用
复习导入
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等 D
N
证明：过点P作PD⊥AB于D，
A F
PM
结PE⊥论B：C于三E角，形PF的⊥A三C条于角F，平分线交于一点，
并且这点到三边的距离B相等. E C
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM
上∴，PD=P想E.一同想理，，P点E=PP在F. ∠A的平分线上
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为：
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
P
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知
条件 PD⊥OA于D PE⊥OB于E
角平分线的性质第2课时课件人教版八年级数学上册(完整版)
的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若
∠BAC=70°，则∠BOC= 125° .
3.判断题:
(1)如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.( × )
(2)如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分
∠AOB.( × )
当堂训练
4.如图所示，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF
讲授新知
知识点3 三角形三个内角平分线的性质
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么 结论？
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.
讲授新知
过交点分别作三角形三边的垂线，根据角平分线的性质定理 你能得出什么结论？
A
A
A
┐
边的垂线段相等
┐
C
（1）使用该判定定理的前提是这个
点必须在角的内部；
（2）角的平分线的判定定理是证明两角相
等的重要办法.
O
几何表示：
B
E PC
┐
D
A
如图所示，因为点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂
足分别为D，E，且PD=PE，所以点P在∠AOB的平分线OC上.
范例应用
例1 如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使 它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路 的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图 上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
解：因为
图上距离
500m
=
1
20000
所以图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
如图所示：P点即为所求 ;理由如下： P点在这个交叉口的角平分线上，
P
所以P点到公路与铁路的距离相等.
12.3 角的平分线的性质 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
∴∠AOC=∠BOC
求证：PE=PF
在△EOP和△FOP中
EA
∠AOC=∠BOC ∠OEP=∠OFP
PC
OP=OP
O
∴ △EOP≌△FOP（AAS)
∴ PE=PF
FB
角平分线的性质 角平分线 上的点 到角两边的距离 相等
几何语言
∵ OP是∠AOB的角平分线
PE⊥OA PF⊥OB
O
∴ PE=PF
EA P
∴ △OEC≌△OFC（SSS） ∴ ∠AOC=∠BOC 即 OC平分∠AOB
E
F
为什么？
新知学习二
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
同学能用学过的知识证明它吗?
命题证明：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的角平分线，
点P在OC上，
证明：∵ OC是∠AOB的角平分线
PF⊥OB PE⊥OA
E
∴ PD=PE=PF
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
课堂小结
内容：1. 角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 证明几何命题的步骤
应用角平分线性质的条件：1. 存在角平分线 2.涉及距离问题
布置作业
课本P51：第1、2题
配套练习前8题
感谢您的观看
人教版数学八年级上册
12.3第一课时
角平分线的性质
教材分析
情景导入
新知学习一
A
已知:∠AOB
求作∠AOB的平分线
O
B
③ ① ② 作以分射点别线以O为点O圆CM心、，N为适圆当心长，为大半于径画M弧N，为交半O径A于画点弧M，，两O弧B交于于点点NC
证明：在△OEC和△OFC中， OE=OF EC=FC OC=OC
《角的平分线的性质》示范公开课教学PPT课件【部编新人教版八年级数学上册】
三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
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思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
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情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
八年级数学上册教学课件《角的平分线的性质(第2课时)》
于点D，PC＝3 cm，当PD＝__3__cm时，点P在∠AOB
的平分线上． 3
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则
点P是∠ABC 的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点．
探究新知
12.3 角的平分线的性质
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的
距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
A
(
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
3 P
4
∴∠1＝∠3．
12
同理，∠2＝∠4．
B E DFC
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
在何处（比例尺为1︰20000）？
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离 相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分 线上根据要求取点.
巩固练习
12.3 角的平分线的性质
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB
数学 八年级 上册
12.3 角的平分线的性质
12.3 角的平分线的性质 （第2课时）
导入新知
12.3 角的平分线的性质
我们知道，角的平分线上的点到角的两边 的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等 的点是否在这个角的平分线上呢？
素养目标
12.3 角的平分线的性质
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
的平分线上． 3
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则
点P是∠ABC 的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点．
探究新知
12.3 角的平分线的性质
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的
距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
A
(
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
3 P
4
∴∠1＝∠3．
12
同理，∠2＝∠4．
B E DFC
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
在何处（比例尺为1︰20000）？
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离 相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分 线上根据要求取点.
巩固练习
12.3 角的平分线的性质
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB
数学 八年级 上册
12.3 角的平分线的性质
12.3 角的平分线的性质 （第2课时）
导入新知
12.3 角的平分线的性质
我们知道，角的平分线上的点到角的两边 的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等 的点是否在这个角的平分线上呢？
素养目标
12.3 角的平分线的性质
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
人教版八年级数学上册12.3第2课时角的平分线的判定及性质的应用
上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证： 4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.
例2 如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
1 2
S梯形ABCD.
∵S梯形ABCD＝12 (CD＋AB)·BC＝12 ×13×12＝78，
∴S△AMD＝12 ×78＝39.
ห้องสมุดไป่ตู้ 练习
1．教材P50 练习第2题． 2．如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A， PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C为OA 上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为( B ) A．50° B．55° C．60° D．80°
AB平分∠CAF. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论；
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
证∴ 明D如C证·下BM：＝明过点EM：F作·BMN过E. ⊥A点D于点BE.作BM⊥AC于点M，BN⊥AF于点N.
(3) 我们能不能证明上面的结论？
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论； 3-5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上
标如出图它 12又的. 位∵置，比M例尺E为⊥1:200A00)D？ ，∠B＝90°，∴AM平分∠BAD；
∵S梯形ABCD＝ (CD＋AB)·BC＝ ×13×12＝78，∴S△AMD＝ ×78＝39.
4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.
八年级数学上全等三角形12.3角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定人教
【点拨】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.
即∠AOC＝∠BOD.
在△AOC和△BOD中， OA＝OB， ∠AOC＝∠BOD， OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD.
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确．
如图，设AC与OB交于点E. ∵∠AEO＝∠BEM，∴∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确． 作OG⊥AM于点G，OH⊥DM于点H， ∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH. ∴MO平分∠AMD，故④正确． ∵MO平分∠AMD，∴∠AMO＝∠DMO. 假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
*5.(2020·鄂州)如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC ＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°.连接AC，BD 交于点M，连接OM.下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO 平分∠AMD.其中正确的结论个数有( )个．
A．4 B．3 C．2 D．1
(1)CO平分∠ACD； 证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E. ∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE. ∵O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD. 又∵∠D＝90°，∴点O在∠ACD的平分线上， 即CO平分∠ACD.
(2)AB＋CD＝AC. 证明：∵OE⊥AC，∠B＝90°，∴∠B＝∠AEO＝90°.
证明：如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为E，
F，则∠AEP＝∠BFP＝90°.
∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBO＝180°，∴∠1＝∠PBO.
在△PAE和△PBF中， ∠ ∠A1＝EP∠＝P∠BFB，FP， PA＝PB， ∴△PAE≌△PBF(AAS)．∴PE＝PF.
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 第1课时 角平分线的性质课件
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质12.3.2角平分线的判定教案
第十二章全等三角形12。
3角的平分线的性质课时2 角的平分线的判定【知识与技能】掌握角的平分线的判定，能灵活运用角的平分线的判定解题.【过程与方法】通过学生自主探索、操作、领会和感悟角的平分线的判定，并能体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度与价值观】通过认识的升华,使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学.角的平分线的判定.灵活运用角的平分线的判定解题.多媒体课件。
教师出示教材P49思考:如图12—3—4,要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m。
这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000）？学生先自主思考，教师对学生的回答进行简单的点评,再将这个问题作为本节课开始的一个悬念.探究1:角的平分线的判定教师提出问题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?探究新知让学生以四人为一个小组合作学习，动手操作、探究,获得问题的结论.从实践中可知:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,将条件和结论互换:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.教师指出条件和结论，学生叙述证明过程，教师板演:已知：如图12-3—5，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E,PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明：经过点P作射线OC，如图12-3—5.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)，∴∠DOP=∠EOP，即∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线。
∴点P在∠AOB的平分线上.然后教师解决情境导入中的那个问题，让学生根据上面的结论,确定这个集贸市场应该建于何处.学生分组讨论后回答。
接着师生共同探究角的平分线的性质与判定的区别与联系：角的平分线的性质说明了角的平分线上的点的纯粹性,即只要是角的平分线上的点，它到此角的两边一定等距离,而无一例外；角的平分线的判定反映了角的平分线的完备性,即只要是到角的两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等(角的平分线）。
2018年秋八年级数学上册作业课件：12.3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质
12．如图，在平面直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的 坐标是(0，－3)，AB的长是10，则△ABD的面积为____ 15 ．
13．(习题变式 )如图，BD 平分∠ABC，AB＝BC，点 P 在BD上，PM⊥AD，
PN⊥CD，M，N为垂足．求证：PM＝PN.
解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD和△CBD中，∵AB＝ CB ， ∠ ABD ＝∠ CBD ， BD ＝ BD ， ∴△ ABD≌△CBD(SAS) ， ∴∠ ADB ＝
16．(阿凡题
1070224)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平
分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.
知识点1：角平分线的定义及作法 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在∠AOB的边OA， OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合， 得到∠AOB的平分线OP，此做法用到三角形全等的判定方法是( B A．SAS B．SSS C．ASA D．HL )
2．如图，已知△ABC，AB＝AC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD
交BC于点D，不写作法，但保留作图痕迹，并猜想D在BC的什么位置． 解：作图略，点D在BC的中点处
知识点2：角平分线的性质 3．(2016·怀化)如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB， 垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( B ) A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
知识点3：命题的证明
两个三角形全等 7．“全等三角形对应边上的中线相等”这个命题的已知是____________ ， 结论是______________________ 对应边上的中线相等 ．
[初中数学++]角的平分线的性质++课件+人教版数学八年级上册2
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01
证一证 命题证明：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
已知：OC是∠AO01B的角平分线， 证明：
点P在OC上，
∵PD⊥OA,PE⊥OB
PD⊥OA, PE⊥OB,
∴∠ODP=∠OEP=90o
∵ OC是∠AOB的角平分线
求证：PD=PE. 不用证全∴等∠A啦OP=！∠！BOP！！！
在△DOP和△EOPOP
∴ △DOP≌△EOP（AAS)
总结归纳 几何命题的证明步骤
讲一讲 3.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且 BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
A
E
F
B
D
C
例题精讲 例. 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交 于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距 离相等。
A
D
NP
F
M
B
E
C
例题精讲 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于
A
AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
D
NP
F
M
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， PD⊥AB，PE⊥BC
∴ PD=PE
B
E
12.3 角的平分线的性质
观看视频，你能用所学知识解释说明平分角的仪器的原理吗？ 你从中受到哪些启发？如何用尺规作一个角的平分线？
A
D
B
C E
画一画
角平分线的画法 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线.
量一量
任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC，在OC 上 任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足 为D,E，测量PD,PE,并作比较，你得到什么结论？
证一证 命题证明：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
已知：OC是∠AO01B的角平分线， 证明：
点P在OC上，
∵PD⊥OA,PE⊥OB
PD⊥OA, PE⊥OB,
∴∠ODP=∠OEP=90o
∵ OC是∠AOB的角平分线
求证：PD=PE. 不用证全∴等∠A啦OP=！∠！BOP！！！
在△DOP和△EOPOP
∴ △DOP≌△EOP（AAS)
总结归纳 几何命题的证明步骤
讲一讲 3.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且 BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
A
E
F
B
D
C
例题精讲 例. 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交 于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距 离相等。
A
D
NP
F
M
B
E
C
例题精讲 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于
A
AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
D
NP
F
M
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， PD⊥AB，PE⊥BC
∴ PD=PE
B
E
12.3 角的平分线的性质
观看视频，你能用所学知识解释说明平分角的仪器的原理吗？ 你从中受到哪些启发？如何用尺规作一个角的平分线？
A
D
B
C E
画一画
角平分线的画法 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线.
量一量
任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC，在OC 上 任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足 为D,E，测量PD,PE,并作比较，你得到什么结论？
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三边的距离相等 2．三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到_______________．
练习1：如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC＝QD，
则∠AOQ＝________ 35° ．
知识点1：角的平分线的判定
1 ．如图， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， PE⊥AB 于点 E ， PF⊥CD 于点 F ， 若 PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为( A ) A．65° B．60° C．45° D．30°
10 ．(2016·永州 ) 如图 ，在四边形 ABCD 中 ， AB＝ CD ， BA 和 CD 的延长线 D 交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P( ) A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的平分线 D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
11 ．如图，O是△ABC内的一点 ，且O到△ABC的三边 AB，BC ，CA 的距
解：过点 D 分别作 DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 E，G ，F， 又∵BD平分∠ABC，CD 平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF，∴DE＝DG，
∴AD平分∠EAC.即AD是∠BAC的外角平分线
15 ． ( 易错题 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， BD ＝ DC ， ∠ 1 ＝∠ 2 ， 求证： AD 平分
4 ．如图，在△ABC中，D 是BC的中点 ，DF⊥AC于 F ，DE⊥AB于E，
且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC. 解：易证 Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ， ∴ DE ＝ DF ， 故点 D 在∠ BAC 的平 分线上，即AD平分∠BAC
知识点2：角的平分线的性质与判定的综合运用 5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB外角的平分线相交于点 F，连 接AF，则下列结论正确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
1 ×180°＝90°，∴OA⊥OC 2 ＝AE，同理t△AEO，∴AB
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝ CE，∴AB＋CD＝AC
为BD的中点，且OA平分∠BAC. (1)求证：OC平分∠ACD； (2)求证：OA⊥OC； (3)求证：AB＋CD＝AC.
解：(1)过点O作OE⊥AC于E，∵∠B＝90°，OA平分∠BAC.∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∵∠D＝90°，∴OC平分 ∠ACD (2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，∵AO＝AO，OB＝OE， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)，∴∠AOB＝∠AOE.同理，∠COD＝∠COE，
2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等
的点应是( A ) A．点M B．点N C．点P D．点Q
3 ． 如图 ， 点 P 在∠ AOB 内部 ， PC⊥OA 于点 C ， PD⊥OB 于点 D ， PC ＝ 3
cm，当PD＝____ 3 cm时，P点在∠AOB的平分线上．
125° ． 离OF＝OD＝OE，若∠A＝70°，则∠BOC＝_________
12．直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路 ，现在拟建一个货物中转 站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____ 4 处．
13．(习题变式)如图，BD＝CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E.求证：点
∠BAC.
解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，在△BED 和 ∠BED＝∠CFD＝90°， △CFD 中 ， ∠1＝∠2， ∴ △ BED ≌ △ BD＝CD， CFD(AAS)，∴DE＝DF，又 DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD 平分 ∠BAC
16．(阿凡题
1070225)如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，点O
6 ． 如 图 ， DE⊥AB 于 E ， DF⊥BC 于 F ， 若 DE ＝ DF ， AB ＝ BC ， 则
CD____AD.( 填“＞”“＜”或“＝”) ＝
知识点3：角的平分线的性质与判定的实际应用
7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，
试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应 建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
解：图略．提示：作∠AOB的角平分线，与AB的交点即为点M的位置
8．某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，
供人们休息，而且要使小亭子中心到三条公路的距离相等 ，试确定小亭子的 中心位置． 解：图略．提示：小亭中心在△ABC的内角平分线的交点处
9．(2016·莆田)如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA， OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( ) D A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
D在∠BAC的角平分线上．
解：∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，又∵∠EDB ＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)，∴ED＝DF，∴点D在∠BAC
的角平分线上
14．如图，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.
求证：AD是∠BAC的外角平分线．
八年级上册人教版数学
第十二章 全等三角形
12．3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线的判定
相等 1．角的内部到角的两边的距离_______的点在角的平分线上．用数学语言表 ⊥OA于E，DF⊥OB于F，且DE＝OF，则OD平分∠AOB ． 示为(如图)：ED ______________________________________________________ 2．三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到_______________ 三边的距离相等．