广西壮族自治区钦州市第七中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区钦州市第七中学2020年高一数学理下
学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （3分）下列函数在上是增函数的是（）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=cos2x D．y=sin2x
参考答案：
C
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据正弦函数，余弦函数的图象，以及增函数的定义即可判断各选项的函数在上的单调性，从而找出正确选项．
解答：根据正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx的图象知这两个函数在上是减函数；
∵，∴2x∈；
而根据正余弦函数的图象知道只有余弦函数y=cosx在是增函数；
∴y=cos2x在上是增函数．
故选C．
点评：考查对正弦函数，余弦函数的图象的掌握，根据图象判断函数的单调性，以及根据单调性定义判断函数的单调性．
2. 已知函数 ,其中对恒成立，且，则的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
3. 设向量，，，且，则实数的值是
（）
A、5
B、4
C、3
D、
参考答案：
A
略
4. 已知向量，则下列结论正确的是
A. B. C. 与垂直 D.
参考答案：
C
【分析】
可按各选择支计算．
【详解】由题意，，A错；
，B错；，∴，C正确；
∵不存在实数，使得，∴不正确，D错，
故选C．
【点睛】本题考查向量的数量积、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等知识，属于基础题．
5. 三棱锥中，，是等腰直角三角形，
.若为中点，则与平面所成的角的大小等于( )
A.
B. C.
D.
参考答案：
B
6. 是的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
7. 从1，2，3，4，5这5个数字中，不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
8.
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
9. 直线a、b和平面α，下面推论错误的是（）
A．若a⊥α，b?α，则a⊥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α
C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a?αD．若a∥α，b?α，则a∥b
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A，由线面垂直的性质定理可判断；
B，由线面垂直的判定定理可判断；
C，由线面、线线垂直的判定定理可判断；
D，若a∥α，b?α，则a∥b或异面
【解答】解：对于A，若a⊥α，b?α，则a⊥b，由线面垂直的性质定理可判断A正确；对于B，若a⊥α，a∥b，则b⊥α，由线面垂直的判定定理可判断B正确；
对于C，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a?α，由线面、线线垂直的判定定理可判断C正确对于D，若a∥α，b?α，则a∥b或异面，故D错；
故选：D．
10. 已知集合，，则（）．A．B．C．
D．
参考答案：
D
，，，
，
∵，
∴．．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若cosα=，tanα＜0，则sinα= ．
参考答案：
﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值．
【解答】解：∵cosα=，tanα＜0，则sinα＜0，且sinα=﹣=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
12. 求函数是上的增函数，那么的取值范围是。

参考答案：
略
13. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝(a＋1)n2＋a，某三角形三边之比为a2∶a3∶a4，则该三角形的最大角为________．
参考答案：
14. 已知，则函数的解析式为.
参考答案：
15. 已知的最小值是5，则z的最大值是______.
参考答案：
10
由，则，因为的最小值为5，所以，做出不等式对应的可行域，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最
小，所以直线CD的直线方程为，由，解得，代入直线得即直线方程为，平移直线，当直
线经过点D时，直线的截距最大，此时有最大值，由，得，即D(3，1),代入直线得。

16. 已知集合，集合.若令，那么从
到的映射有个.
参考答案：
25
17. （5分）已知，x∈（π，2π），则
tanx=．
参考答案：
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：计算题．
分析：先把已知的等式利用诱导公式化简，得到cosx的值，然后根据x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值．
解答：∵cos（π+x）=﹣cosx=，
∴cosx=﹣，又x∈（π，2π），
∴sinx=﹣=﹣，
则tanx===．
故答案为：
点评：此题考查了诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键．同时在求sinx值时注意x的范围．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
参考答案：
(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a<c，故．
因此，
所以，
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
19. 若集合,.
(1)若，全集，试求；
(2)若?，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）；（2）；（3）.
试题解析：
，．
（1）若，则，所以，所以
．
（2）若，则，或，解得，或，所以实数的取值范围为．
（3）若，则，
所以解得．
所以实数的取值范围为．
考点：集合运算．
20. 设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足关系式：3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t（t＞0，
n=2，3，4…）
（1）求证：数列{a n}是等比数列；
（2）设数列{a n}的公比为f（t），作数列{b n}，使
，求数列{b n}的通项b n；
（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．
【分析】（1）通过3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t与3tS n﹣1﹣（2t+3）S n﹣2=3t作差、整理得（n=2，3，…），进而可得结论；
（2）通过（1）可知b n=f+b n﹣1，即数列{b n}是一个首项为1、公差为的等差数列，进而即得结论；
（3）通过b n=可知数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和、公差均为的等差数列，并项取公因式，计算即得结论．
【解答】（1）证明：∵a1=S1=1，S2=1+a2，
∴a2=
又3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t ①
∴3tS n﹣1﹣（2t+3）S n﹣2=3t ②
①﹣②得：3ta n﹣（2t+3）a n﹣1=0，
∴，（n=2，3，…）
∴{a n}是一个首项为1、公比为的等比数列；
（2）解：∵f（t）=，
∴b n=f+b n﹣1．
∴数列{b n}是一个首项为1、公差为的等差数列．
∴b n=1+（n﹣1）=；
（3）解：∵b n=，
∴数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，
于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1
=b2（b1﹣b3）+b4（b3﹣b5）+b6（b5﹣b7）+…+b2n（b2n﹣1+b2n+1）
=﹣（b2+b4+…+b2n）
=﹣
=﹣（2n2+3n）．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．
21. 在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温
度是，经过一定时间后，温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期．现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡，放在75F的房间内，如果咖啡降到105F需要20分钟，问降温到95F需要多少分钟？（F为华氏温度单位，答案精确到0.1.参考数据：，）
参考答案：
解：依题意，可令，，，代入式子得：
解得
又若代入式子得
则
∴
答：降温到95F约需要25.9分钟.
22. 某网店经营的一种商品进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P（件）与单价x（元）之间的关系如图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．（I）根据周销量图写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式；
（Ⅱ）写出周利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（I）根据函数图象，求出解析式，即可写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式；
（Ⅱ）分段求出最值，即可得出结论．
【解答】解：（I）当x∈[12，20]时，P=k1x+b1，代入点（12，26），（20，10）得k1=﹣2，b1=50，∴P=﹣2x+50；
同理x∈（20，28]时，P=﹣x+30，
∴周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式P=；
（Ⅱ）y=P（x﹣10）﹣25=，
当x∈[12，20]时，y=，x=时，y max=；
x∈（20，28]时，y=﹣（x﹣20）2+75，函数单调递减，∴y＜75，
综上所述，x=时，y max=．。