一般参数下曲线的曲率、挠率和Frenet公式及其应用

关于路的并的点可区别V -全染色
马宝林,刘娟,王军涛,丁玉荣
（河南科技学院,河南新乡453003）
摘要：
根据简单图的点可区别V -全染色的概念及其染色方法,讨论了m 个长度为n 的路的顶点不交并的点可区别V -全染色,并给出全色数的结论及其证明,根据结论提出了相应的猜想,为进一步探讨其他简单图的点可区别V -全染色提供了理论证据,丰富了图的点可区别V -全染色的结果.
关键词：简单图；全色数；点可区别V -全染色；mP n
中图分类号：
O157.5文献标志码：
A 文章编号：
1008-7516（2012）03-0065-04Vertex distinguishing V -total chromatic number of mP n
Ma Baolin,Liu Juan,Wang Juntao,Ding Yurong
（Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang 453003,China ）
Abstract:According to the definition and the method of the vertex -distinguishing V -total coloring,the vertex -distinguishing V -total coloring of the vertex-disjoint union of m paths with lengths n is discussed,and the conclusion and proof of the vertex-distinguishing V -total chromatic number are given,finally,proposed a conjecture,To further explore other simple graph vertex-distinguishing V -total coloring provides a theoretical evidence that enriched the graph vertex-distinguishing V -total coloring results.
Key words:simple graph ;chromatic number ;vertex-distinguishing V -total coloring ;mP n
图的染色问题是NP 完全问题,目前已得到了很多结果[1-3],2004年,张忠辅、陈祥恩等在图的全染色的基础上提出了邻点可区别全染色[1],2008年,又在点可区别正常全染色的基础上提出了图的点可区别一般全染色[2].本文从简单图的点可区别V -全染色的定义出发,讨论mP 2、mP 3、mP 4的点可区别V -全染色,给出全色数的结论及其证明,并提出了自己的猜想.
1相关概念
在文献[1]和[2]中,对于部分简单图的点可区别正常全染色已有相对完善的结果,并给出定义,图的正常全染色是指：（1）相邻的两个顶点染色不同；（2）相邻的两条边染色不同；（3）任意的点和与之关联的边染色不同,并用表示了图的点可区别全色数.如若上述（1）～（3）条件中只满足其中一个或两个条件时就被称之为图的一般全染色.本文仅考虑只满足（2）和（3）时的情形.
定义设G 是一个简单图,k 是正整数,f 是到{1,2,3,…,k }的一个映射,对图G 的一个全染色f ,用表示点u 和它所关联的边所染的颜色组成的集合,即.若对于V （G ）中的任意两点u 和v ,都有,则称f 是图G 的点可区别V -全染色,简称为图G 的VDVT 染色.
图G 的一个VDVT 染色所需要最少颜色的数目称为图G 的点可区别V -全色数,记为.
命题对于简单图G ,有[3].
收稿日期:2012-03-08
作者简介：马宝林(1978-),男,回族,甘肃张家川人,硕士,讲师.主要从事图论及其应用研究.
()C u ={}{}()()|()f u f uv uv E G ÎU ()C u ()()C u C v ¹()()v
vt vt G G c c ≤()()V G E G U ()vt G c ()v
vt G c doi:10.3969/j.issn.1008-7516.2012.03.016
第41卷第3期413
Vol.No.河南科技学院学报
Journal of Henan Institute of Science and Technology
2012年6月2012
Jun.65
引理对于简单图G ,令n i 是度为i （）的顶点的个数,若K n 存在点可区别V -全染色,则
有.在文献[4]中图mP 2与mP 3的点可区别E -全染色做了研究,其主要结论mP 2与mP 3图的点可区别
V -全染色基本一致,本文中部分结果证明可参阅文献[4].
2若干结论
定理1对于m 条长为2的路的并的点可区别V -全染色,有
（k 为正整数）
证明略.
定理2对于m 条长为3的路的并的点可区别V -全染色,有
（k 为正整数）
证明：当m =1,其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,2},{2,1,3},{3,1},显然有；
当m =2,其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,2},{2,1,3},{3,1}；{3,2},{2,1,4},{4,1},显然有；当m =3,其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,2},{2,1,3},{3,1}；{3,2},{2,1,4},{4,1}；{4,3},{3,2,4},
{4,2}；显然有；
当m ≥4时,染色方案参阅文献[4].
定理3对于m 条长为4的路的并的点可区别V -全染色,有
当m =1,2时,；
当m =3,4,5时,；
当m ≥6时,（）
()v
vt G c ≥min ,11i n i i m m d ìüæöïïD íýç÷+èøïïîþ≥≤≤≤i d D ≤≤m -()2424141,121;
224144,12;2244141,
2;22414242,2 1.
22v
vt k k k m k k k m mP k k k m k k k m c ì--æöæö---ïç÷ç÷èøèøï
ï-æöæöï-ç÷ç÷ïèøèø=í+æöæöï+ç÷ç÷ïèøèøï
++ïæöæö+-ïç÷ç÷èøèøî
＜≤＜≤＜≤＜≤()3424141,121;
224144,12;2244141,
2;22414242,2 1.
22v
vt k k k m k k k m mP k k k m k k k m c ì--æöæö---ïç÷ç÷èøèøï
ï-æöæöï-ç÷ç÷ïèøèø=í+æöæöï+ç÷ç÷ïèøèøï
++ïæöæö+-ïç÷ç÷èøèøî
＜≤＜≤＜≤＜≤3(1)3v
vt P c =3(2)4v
vt P c =3(3)4v
vt P c =()45v
vt mP c =()44v
vt mP c =()4434242,21;
22424141,121;
224144,12;2244141,222v
vt k k k m k k k m mP k k k m k k k m c ì--æöæö
- -ïç÷ç÷èøèøï
ï--æöæöï- - -ç÷ç÷ïèøèø=í-æöæöï - ç÷ç÷ïèøèøï
+ïæöæö+ ïç÷ç÷èøèøî
＜≤＜≤＜≤＜≤.
2k ≥2012年河南科技学院学报(自然科学版)
66
证明：当m =1时,,其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,3},{3,2,4},{4,3,1},{1,4}；当m =2时,在前面的基础上,给出其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,3},{3,2,4},{4,3,1},{1,4}；
{3,2},{2,4,1},{1,2,3},{3,4}；有；
当m =3,4,5时,在前面的基础上,第3,4,5条路的染色方法以顶点色集合的形式表现为：{5,1},{1,2,5},
{5,3,2},{2,5}；{5,3},{3,4,5},{5,2,4},{4,5}；{2,1},{1,3,5},{5,1,4},{4,2}；显然为VDVT 全染色,且；
当m ≥6时,结论等价于
（）将本结论分4种情形讨论：
（1）当m 满足时,在前面m ≤5的VDVT 全染色的基础上,在对应的m 取值范围内,全部用染其顶点,用1,3,5,…,顺次染边,用2,4,6,…,顺次染其顶点,全部用染边,再顺次用3,5,…,染其顶点,顺次用2,4,……,染其边,最后全部用染其顶点,则该区间内所有一度点的色集合顺次为,,,,……,,（注：色集合暂时没有用）；因而所有二度点的色集合顺次为,,,
,……,,,显然该染色为VDVT 全染色；
且（）,其中；（2）当m 满足时,在前面VDV T 全染色的基础上,在对应的m 取值范围
内,全部用染其顶点,顺次用1,3,5,……,染其边,再顺次用2,4,……,染其顶点,接着用染边,再顺次用3,5,……,,1染其顶点,顺次用2,4,……,染其边,最后用染其顶点,则该区间内所有一度点的色集合顺次为,,,,……,,因而所有二度点的色集合顺次为,,,,……,,,（注：色集合暂时没有用到）；显然该染色为VDVT
全染色；且（）,其中；（3）当m 满足时,在前面V DVT 全染色的基础上,在对应的m 取值范围内,全部用染其顶点,顺次用1,3,5,……,染其边,再顺次用2,4,6,……,,1染其顶点,接着用染其边,再顺次用3,5,7,……,,1染其顶点,顺次用2,4,6,……,,染其边,最后用染其顶点,则该区间内所有一度点的色集合顺次为,,,……,,（注：色集合已用）因而所有二度点的色集合顺次为,,,,……,,,
,,显然该染色为V DVT 全染色；且,其中；{}41,42,44k k k +++{}44,43,42k k k +++41422122k k m ++æöæö
-ç÷ç÷èøèø＜≤1k ≥{}3,4,42k +{}42,5,4k +{}41,4,42k k k -+{}42,3,2k +{}1,2,42k +i z 42k +41422122k k m ++æöæö
-ç÷ç÷èøèø
＜≤41k +i w i v i e 4(1)4v
vt P c =()424v
vt P c =()45v
vt mP c =()4414242,1;
224441;22434444,1.2244454522v
vt k k k m k k k m mP k k k m k k k m c ì++æöæö
+ 2-ïç÷ç÷èøèøï
ï+2+3æöæöï+3, -12-ç÷ç÷ïèøèø=í
++æöæöï+
- 2ç÷ç÷ïèøèøï
++ïæöæö
+ , 2 ;ïç÷ç÷èøèøî
＜≤＜≤＜≤＜≤1k ≥i u 41k -4k 42k +42k +i e i l 42k +{}4,42k k +{}42,3k +{}4,42k +{}42,1k +{}2,42k +{}42,41,4k k k ++()442v
vt mP k c =+42432122k k m ++æöæö
-ç÷ç÷èøèø
＜≤43k +43k +i z i w i v i e i u i e i l 41k -42k +41k +42k +43k +{}43,3k +{}43,1k +{}2,43k +{}4,43k +{}42,43k k ++{}3,4,43k +{}43,5,4k +{}43,1,42k k ++{}43,3,2k +{}1,2,43k +{}41,42,43k k k +++{}42,43k k ++()443v
vt mP k c =+1k ≥42432122k k m ++æöæö-ç÷ç÷èøèø＜≤4344222k k m ++æöæö
ç÷ç÷èøèø
＜≤44k +44k +i z i w i v i e i u i e i l 43k +42k +43k +42k +44k +{}44,3k +{}44,1k +{}2,44k +{}4,44k +{}43,44k k ++{}3,4,44k +{}44,5,4k +{}44,3,2k +{}1,2,44k +41k +{}41,42k k ++{}41,42k k ++{}44,2,41k k ++{}43,1,44k k ++4344222k k m ++æöæöç÷ç÷èøèø
＜≤()4441v
vt mP k k c =+（≥）马宝林等院关于路的并的点可区别V -全染色
第3期
67
（4）当m 满足时,在前面V DVT 全染色的基础上,在对应的m 取值范围内全
部用染其顶点,顺次用1,3,5,……,染其边,再顺次用2,4,6,……,染其顶点,接着用染其边,再顺次用3,5,7,……,,1染其顶点,顺次用2,4,6,……,染其边,最后用染其顶点,则该区间内所有一度点的色集合顺次为,,,,……,因而所有二度点的色集合顺次为,,,,……,
,,显然该染色为VDV T 全染色；且（）,其中．
定理得证．
3一个猜想
猜想对于m 条长为n 的路的并的点可区别V -全染色,其全色数若记为,则：
（1）（[]为取整函数）（2）当时,有其中k 为一个正整数．4结束语
本文依据简单图的点可区别V -全染色定义,给出了m 条长为n 的路的并的点可区别V -全色数,
并给出了完整的证明过程,最后提出关于mP n 的点可区别V -全染色猜想,为进一步探讨其他简单图的点可区别V -全染色提供了思想方法,丰富了图的点可区别全染色的结论,为进一步解决相关实际问题提供理论依据.参考文献：
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（责任编辑：卢奇）
45k +i v i u i e 43k +42k +45k +i w i e i l 43k +44k +i z 45k +{}45,3k +{}45,1k +{}2,45k +{}4,45k +{}44,45k k ++{}3,4,45k +{}45,5,4k +{}45,3,2k +{}1,2,45k +{}45,1,44k k ++{}41,42,45k k k +++()445v
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