高考数学复习考点知识与题型专题讲解29---指数与指数函数

2
分析：利用指数运算性质解题.
解析： (a + 3 a2b) ÷ (b + 3 ab2 ) −1 − 1 = a − b + 3 a2b − 3 ab2 − 1
3 a−3b
3 b ( 3 a − 3 b )(b + 3 ab2 ) 3 b
( 3 a − 3 b )( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) + 3 ab( 3 a − 3 b )
中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的
形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的 基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中 有加强考查的趋势.
知识点精讲
一、指数的运算性质
当 a>0，b>0 时，有 (1)aman=am+n(m,n∈R)； (3)(am)n=amn(m,n∈R)； (5) a− p = 1 (p∈Q)
=
−
1
( 3 a − 3 b )(b + 3 ab2 )
3b
( 3 a + 3 b)2 1
=
−=
( 3 a + 3 b)2
− 1 = 3a .
(b + 3 ab2 ) 3 b 3 b2 ( 3 a + 3 b ) 3 b 3 b2
当 a=2，b=4，原式 = 3 2 = 3 2 = 1 . 3 16 23 2 2
y>1⇔x<0
题型归纳及思路提示 题型 23 指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示 利用指数的运算性质解题.对于形如 a f (x) = b ， a f (x) > b ， a f (x) < b 的形式常用“化同底”转 化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如 a2x+Bax+C=0 或 a2x+Bax+C≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算 例 2.48 化简并求值.
[1,2]上是增函数，其最小值是 1+m，所以 1+m>1，即 m>0.
所以实数 m 的取值范围是{m|m>0}.
变式 1
已知对任意
x∈R，不等式
1 2x2 +x
> (1)2x2 −mx+m+4 恒成立，求 m 的取值范围.
y=ax
a>1
0<a<1
图
象
(1)定义域：R
(1)定义域：R
(2)值域：(0,+∞)
(2)值域：(0,+∞)
(3)过定点(0,1)
(3)过定点(0,1)
(4)在 R 上是增函 (4)在 R 上是减函
值
数.
数.
域 (5)0<y<1⇔x<0
(5)0<y<1⇔x>0
y=1⇔x=0
y=1⇔x=0
y>1⇔x>0
ab
3 / 10
A. 10
B. 10
C. 20
D. 100
二、指数方程
例 2.49 解下列方程 (1)9x-4⋅3x+3=0；(2) (2)x ⋅ (9)x = 64 ；
3 8 27 分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于 (2)x ⋅ (9)x ，对其底进行化
38 简运算.
解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令 t=3x(t>0)，则原方程变形为 t2-4t+3=0，
得 t1=1，t2=3，即 3x1 = 1 或 3x2 = 3 ，故 x1=0，x2=1.故原方程的解为 x1=0，x2=1.
(2)由
(2)x 3
⋅ (9)x 8
=
64 27
(2)先对所给条件作等价变形：
x
+
x−1
=
1
(x2
+
−
x
1 2
)2
−2
= 32
−2
=7，
3
x2
+
−3
x2
1
= (x2
+
−1
x 2 )(x
+
x−1
− 1)
= 3× 6 = 18 ，
x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.
3
−3
故
x2 x2
+ +
x2 x−2
−3 −2
=
18 47
− −
3 2
2 5−a
三、指数不等式
例 2.50 若对 x∈[1,2]，不等式 2x+m > 2 恒成立，求实数 m 的取值范围.
分析：利用指数函数的单调性转化不等式. 解析：因为函数 y=2x 是 R 上的增函数，又因为 x∈[1,2]，不等式 2x+m > 2 恒成立，即对
∀x∈[1,2]，不等式 x+m>1 恒成立⇔函数 y=x+m 在[1,2]上的最小值大于 1，而 y=x+m 在
高考数学复习考点知识与题型专题讲解
指数与指数函数
考纲解读 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质. 3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型.
命题趋势探究 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考
=
1 3
.
1
−1
1
−1
(3)因为 a = 2014n
− 2014
n
，所以1 + a2
2014 n =(
+ 2014
n
)2 ，
2
2
所以
12
+ a2
1
− a = 2014n
−1
+ 2014 n
1
2014 n −
−1
− 2014 n
−1
= 2014 n .
2
2
所以 ( 1 + a2 − a)n = 2014−1 . 变式 1 设 2a=5b=m，且 1 + 1 = 2 ，则 m=( ).
2 / 10
(1)若 a=2，b=4， (a + 3 a2b) ÷ (b + 3 ab2 ) −1 − 1 的值；
3a−3b
3b
(2)若
1
x2
+
−1
x2
=3
，
3
x2
+ +
−3
x2 x−2
−3 −2
的值；
1
−1
(3)设 a = 2014n − 2014 n (n∈N+)，求 ( 1 + a2 − a)n 的值.
ap
(2) am = am−n ( m,n∈R)
an
(4)(ab)m=ambm(m∈R)；
m
(6) a n = n am (m,n∈N+)
二、指数函数 (1)一般地，形如 y=ax(a>0 且 a≠1)的函数叫做指数函数；
1 / 10
(2)指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图像和性质如表 2-6 所示.
，可得
(2 3
×
9)x 8
=
43 33
即 (3)x 4
=
(4)3 ，所以 (3)x
3
4
=
( 3 )−3 4
，得
x=-3.
故原方程的解为 x=-3. 变式 1 方程 9x-6⋅3x-7=0 的解是________. 变式 2 关于 x 的方程 (3)x = 2 + 3a 有负实数根，则 a 的取值范围是__________.