《菱形的性质与判定》特殊平行四边形PPT(第2课时)
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相交于点 E、O、F，求证：四边形 AFCE 是菱形．
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥FC， ∴∠1=∠2. ∵EF 垂直平分 AC， ∴AO = OC .
A1
E
D
O
B
F
2
C
又∠AOE =∠COF， ∴△AOE ≌ △COF， ∴EO = FO. ∴四边形 AFCE 是平行四边形.
平行四边形
一组邻边相等
菱形
新知学习
怎样判定一个平行四边形是菱形？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
∵四边形ABCD 是平行四边形，且AB = AD，
∴四边形ABCD 是菱形. B
A
C
你还能想到 其他的判定 方法吗？
D
探究
如图所示，小唯唯在一长一短两根木棍的中点处固定一个小钉， 以小木棍作为四边形的对角线，四周围上一根橡皮筋，转动小 木棍，探究什么时候橡皮筋所构成的四边形为菱形.
我们发现当两根木棍互相 垂直时，构成的四边形为 菱形，你能证明它吗？
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交
于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ ABCD 是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC.
B
O
A
C
D
∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
北师大版九年级上册数学同步课件
菱形的性质与判定
第2课时
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
学习目标
1. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. 重点 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 难点
新课引入
菱形的定义是什么？性质有哪些？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
E
CD
B
2.如图，在△ABC 中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 6cm，BC ＝ 8cm.将 △ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm，得到 △DEF，A，B，C 的对应点分别是 D ，E，F，连接 AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形．
证明：由平移变换的性质得 CF = AD = 10cm，DF＝AC. ∵∠B = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm， ∴ AC = AB2 BC 2 = 62 82= 10(cm) ∴AC = DF = AD = CF = 10cm， ∴四边形 ACFD 是菱形．
B
A
C
D
归纳
定理 四条边都相等的四边形是菱形.
A
A
D AB边形ABCD
B
C
菱形ABCD
∵在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
针对训练
1.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，
且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形.
证明：在△AOB中，
∵ AB = 5 ，OA = 2，OB = 1，
D
∴AB2 AO2 OB2，
A
O
C
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB是直角， B
∴ AC⊥BD.
∴□ ABCD 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
2.如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD、AC 、BC
证明： ∵ ∠1 =∠2， 又∵AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD ≌ △AED (SAS). 同理 △ACF ≌ △AEF (SAS). ∴CD = ED，CF = EF.
A
21 F
E
CD
B
又∵EF = ED， ∴CD = ED = CF = EF， ∴四边形 ABCD 是菱形.
A
21 F
又∵EF⊥AC，
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
A1
E
D
O
B
F
2
C
你还会用其他办法解答此题吗？
议一议 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使
AC为菱形的一条对角线吗？
分别以 A 和 C 为圆心,以大于 1 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于
2
点 B 和点 D，依次连接 A、B、C、D 四点.
课堂小结
定义法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的判定
判定定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
∴ BA = BC.
∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）.
归纳
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
D
AC⊥BD
B
C
□ABCD
A
D
B
C
菱形 ABCD
∵在 □ABCD 中 AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形.
针对训练
1.如图，在□ABCD 中，对角线 AC与BD 相交于点 O，AB = 5 ，AO =2，BO = 1. 求证：□ ABCD 是菱形.
B
这时构成的四边形
A
C
是否也是菱形呢？
D
已知：如图，四边形 ABCD 中,AB = BC = CD = AD. 求证四边形 ABCD
是菱形.
证明：∵AB = BC = CD = AD; ∴AB = CD , BC = AD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵AB = BC, ∴四边形 ABCD 是菱形.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥FC， ∴∠1=∠2. ∵EF 垂直平分 AC， ∴AO = OC .
A1
E
D
O
B
F
2
C
又∠AOE =∠COF， ∴△AOE ≌ △COF， ∴EO = FO. ∴四边形 AFCE 是平行四边形.
平行四边形
一组邻边相等
菱形
新知学习
怎样判定一个平行四边形是菱形？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
∵四边形ABCD 是平行四边形，且AB = AD，
∴四边形ABCD 是菱形. B
A
C
你还能想到 其他的判定 方法吗？
D
探究
如图所示，小唯唯在一长一短两根木棍的中点处固定一个小钉， 以小木棍作为四边形的对角线，四周围上一根橡皮筋，转动小 木棍，探究什么时候橡皮筋所构成的四边形为菱形.
我们发现当两根木棍互相 垂直时，构成的四边形为 菱形，你能证明它吗？
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交
于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ ABCD 是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC.
B
O
A
C
D
∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
北师大版九年级上册数学同步课件
菱形的性质与判定
第2课时
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
学习目标
1. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. 重点 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 难点
新课引入
菱形的定义是什么？性质有哪些？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
E
CD
B
2.如图，在△ABC 中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 6cm，BC ＝ 8cm.将 △ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm，得到 △DEF，A，B，C 的对应点分别是 D ，E，F，连接 AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形．
证明：由平移变换的性质得 CF = AD = 10cm，DF＝AC. ∵∠B = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm， ∴ AC = AB2 BC 2 = 62 82= 10(cm) ∴AC = DF = AD = CF = 10cm， ∴四边形 ACFD 是菱形．
B
A
C
D
归纳
定理 四条边都相等的四边形是菱形.
A
A
D AB边形ABCD
B
C
菱形ABCD
∵在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
针对训练
1.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，
且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形.
证明：在△AOB中，
∵ AB = 5 ，OA = 2，OB = 1，
D
∴AB2 AO2 OB2，
A
O
C
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB是直角， B
∴ AC⊥BD.
∴□ ABCD 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
2.如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD、AC 、BC
证明： ∵ ∠1 =∠2， 又∵AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD ≌ △AED (SAS). 同理 △ACF ≌ △AEF (SAS). ∴CD = ED，CF = EF.
A
21 F
E
CD
B
又∵EF = ED， ∴CD = ED = CF = EF， ∴四边形 ABCD 是菱形.
A
21 F
又∵EF⊥AC，
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
A1
E
D
O
B
F
2
C
你还会用其他办法解答此题吗？
议一议 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使
AC为菱形的一条对角线吗？
分别以 A 和 C 为圆心,以大于 1 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于
2
点 B 和点 D，依次连接 A、B、C、D 四点.
课堂小结
定义法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的判定
判定定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
∴ BA = BC.
∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）.
归纳
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
D
AC⊥BD
B
C
□ABCD
A
D
B
C
菱形 ABCD
∵在 □ABCD 中 AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形.
针对训练
1.如图，在□ABCD 中，对角线 AC与BD 相交于点 O，AB = 5 ，AO =2，BO = 1. 求证：□ ABCD 是菱形.
B
这时构成的四边形
A
C
是否也是菱形呢？
D
已知：如图，四边形 ABCD 中,AB = BC = CD = AD. 求证四边形 ABCD
是菱形.
证明：∵AB = BC = CD = AD; ∴AB = CD , BC = AD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵AB = BC, ∴四边形 ABCD 是菱形.