无锡外国语学校九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测(含答案解析)

一、选择题
1．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．
A ．()40012900x +=
B ．()40021900x ⨯+=
C ．()24001900x +=
D ．()()240040014001900x x ++++= 2．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）
A ．3125x x +=-
B ．31(25)x x +=--
C ．31(25)x x +=±-
D ．3125x x +=±- 3．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形
的周长是（ ）
A ．10
B ．17
C ．20
D ．17或20
4．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（ ）．
A ．-1
B ．0
C ．2
D ．3
5．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）
A ．5000（1+x ）＝6050
B ．5000（1+2x ）＝6050
C ．5000（1﹣x ）2＝6050
D ．5000（1+x ）2＝6050
6．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A ．不存在实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有一个根是x
D ．有两个相等的实数根 7．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）
A ．(1)81x x x ++=
B ．2181x x ++=
C ．1(1)81x x x +++=
D ．(1)81x x += 8．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －
12
＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜－2
B ．a ＞－2
C ．－2＜a ＜0
D ．－2≤a ＜0 9．不解方程，判断方程23620x x --=的根的情况是（ ） A ．无实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．以上说法都不正确 10．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定 11．实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=，且1mn ≠，求代数式41mn m n
++的值（ ） A ．5-
B ．5
C ．10319
- D ．10319 12．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ） A ．x ＝5 B ．x ＝1 C ．x 1＝5，x 2＝﹣5 D ．x 1＝1，x 2＝5
二、填空题
13．对于实数m ，n ，定义一种运算“*”为：*m n mn n =+．如果关于x 的方程
()**1x a x 4
=-有两个相等的实数根，则a =_______． 14．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．
15．将方程2630x x +-=化为()2
x h k +=的形式是______．
16．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，则方程2(3)2(3)30x x +++-=的解是_____．
17．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．
18．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．
19．已知1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，则2212123x x x x ++=__________． 20．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______ 三、解答题
21．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根．求m 的取值范围．
22．新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品．某商店销售一款口罩，每袋进价为12元，计划每袋售价大于12元但不超过20元，通过市场调查发现，这种口罩每袋售价为18元时，日均销售量为50袋，而当每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋． （1）在每袋售价为18元的基础上，将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是_________袋；（用含x 的代数式表示）
（2）经综合考察，要想使这种口罩每天赢利315元，该商场每袋口罩的销售价应定为多少元？
23．解下列方程：
（1）2410x x --=；
（2）(4)123x x x -=-．
24．按要求的方法解方程，否则不得分．
（1）2450x x -=+（配方法）
（2）22730x x -+=（公式法）
（3）(1)(2)24x x x ++=+（因式分解法）
25．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程()222110x
m x m --+-=两个实数根． （1）求m 取值范围；
（2）若()12210x x x -+=，求实数m 的值．
26．解下列方程：
（1）x （x －1）＝1－x
（2）(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设月平均增长率为x ，
根据题意得：400（1+x ）2=900．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
2．C
解析：C
【分析】
一元二次方程22
(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：22(31)(25)x x +=-
开方得31(25)x x +=±-，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
3．B
解析：B
【分析】
根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．
【详解】
解：∵217700x x -+=，
∴(10)(7)0x x --=，
∴110x =，27x =，
∵4610+=，无法构成三角形，
∴此三角形的周长是：46717++=．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．
4．D
解析：D
【分析】
分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到
21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．
【详解】
解：由题意得21112210,
2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．
【详解】
解：设每天的增长率为x ，
依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再利用根的判别式求出答案．
【详解】
∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，
∴()()2
1410c -+⨯-+=， 解得：3c =，
∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，
故原方程中5c =，
则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c 的值是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
平均一人传染了x 人，根据有一人患病，第一轮有（x+1）人患病，第二轮共有x+1+（x+1）x 人，即81人患病，由此列方程求解．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得，
x+1+（x+1）x=81
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 8．C
解析：C
【分析】
由关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12
＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根可得
2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭
，解不等式即可求出a 的取值范围． 【详解】
∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －
12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根， ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-
=+> ⎪⎝⎭
， 解得：a >−2，
∵a <0，
∴−2<a <0．
故选C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键． 9．C
解析：C
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=60＞0，由此即可得出结论．
【详解】
解：∵在方程23620x x --=中，△=（-6）2-4×3×（2）=60＞0，
∴方程23620x x --=有两个不相等的实数根．
故选： C
【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．
【详解】
解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．
∵k 2≥0，
∴k 2+8＞0，即△＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．
11．A
解析：A
【分析】
由219990n n ++=可得211199910n n
⋅
+⋅+=，进而可得1,m n 是方程2199910x x ++=的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解．
【详解】 解：由219990n n ++=可得211199910n n ⋅
+⋅+=， ∴1,m n
是方程2199910x x ++=的两个根， ∴19911,1919m m n n +
=-⋅=， ∴4119914451919
mn m m m n n n ++=+⋅+=-+⨯=-； 故选A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，
∴（x ﹣3）2＝4，
则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，
解得x 1＝5，x 2＝1，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.
二、填空题
13．0【分析】由于定义一种运算*为：m*n=mn+n 所以关于x 的方程x*（a*x ）=变为（a+1）x2+（a+1）x+=0而此方程有两个相等的实数根所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关
解析：0
【分析】
由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+n ，所以关于x 的方程x*（a*x ）=14-
变为（a+1）x 2+（a+1）x+14
=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a 的关系式，即可解决问题．
【详解】
解：由x*（a*x ）=14
-
得（a+1）x 2+（a+1）x+14=0， 依题意有a+1≠0，
△=（a+1）2-（a+1）=0，
解得，a=0，或a=-1（舍去）．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查了新定义，一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x 的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题． 14．3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得：即∴∴故答案是：3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法 解析：3
【分析】
首先把常数项移到等号右边，经配方，h 和k 即可求得，进而通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意，移项得223x x -=，
配方得：22131x x -+=+，即2
(1)4x -=，
∴1h =-，4k =
∴143h k +=-+=
故答案是：3．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解． 15．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数 解析：()2
312x +=
【分析】
将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．
∵2630x x +-=
∴263x x +=
∴26939x x+++=
∴()2
312x+= 故答案为：()2
312x+=
【点睛】
考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 16．【分析】把（x+3）看成一个整体另一个方程和已知方程的结构形式完全相同所以x+3与已知方程的解也相同根据此题意解题即可【详解】解：∵是已知方程的解由于另一个方程与已知方程的形式完全相同∴x+3=1或
解析：122,6x x =-=-
【分析】
把（x+3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以x+3与已知方程的解也相同，根据此题意解题即可．
【详解】
解：∵ 1213x x ==-，是已知方程2230x x +-=的解，
由于另一个方程()()2
32330x x +++-=与已知方程的形式完全相同，
∴x+3=1或x+3=﹣3，
解得：1226x x =-=-，．
故答案为：1226x x =-=-，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1和x+3=-3是解此题的关键，此题属于换元法解方程． 17．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝
解析：2016．
【分析】
将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．
【详解】
解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，
即a +b ＝2016．
故答案是2016．
本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 18．【分析】利用因式分解法解一元二次方程提取公因式【详解】解：故答案是：【点睛】本题考查解一元二次方程解题的关键是掌握一元二次方程的解法 解析：114
x =
，22x =- 【分析】
利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式()2x +．
【详解】
解：()422x x x +=+ ()()4220x x x +-+=
()()4120x x -+=
114
x =，22x =-． 故答案是：114x =
，22x =-． 【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
19．—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系解题的关键是根据公式正确计算
解析：—1
【分析】
根据根与系数之间的关系解题即可.
【详解】
∵1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，
∴122x x +=，125x x =，
∴()()2
222112*********x x x x x x x x ++++=+-=-=， 故答案为：-1
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是根据公式正确计算. 20．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知：即有：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的 解析：6-
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．
【详解】
因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2，
由二次方程根与系数的关系可知：128x x +=-，即有：
228x -+=-
解得：26x =-．
故答案为：6-．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果方程2
0x px q ++=的两个根是 1x ，2x ，那么12x x p +=-， 12·
x x q =，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
三、解答题
21．m<2．
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根列得4-4（m-1）>0，求解即可．
【详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴4-4（m-1）>0，
解得m<2．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式：当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．
22．（1）505x -；（2）19元．
【分析】
（1）销售量=原来销售量－下降销售量，据此列式即可；
（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元，根据销售量×每袋利润=总利润列出方程求解即可．
【详解】
（1）∵每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋，
∴每天销量减少5x 袋，
∵售价为18元时，日均销售量为50袋，
∴将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是：505x -．
故答案为：505x -
（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元，
根据题意得：(1812)(505)315x x +--=，
化简得：2430x x -+=，
解得：121,3x x ==，
当11x =时，每袋售价是：18119+=（元）；
当23x =时，每袋售价是：18321+=（元）；
∵计划每袋售价大于12元但不超过20元，
∴23x =舍去．
∴当1x =时，每袋售价是19元．
答：该商场每袋口罩的售价应定为19元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
23．（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-
【分析】
（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程.
【详解】
（1）2410x x --=
2445x x +=-
2(2)5x -=
则2x -=
解得12x =22x =
（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，
(4)(3)0x x -+=，
则40x -=或30x +=，
解得x 4=或x 3=-.
【点睛】
此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
24．（1）1215x x ==-，；（2）12132
x x ==
，；（3）1221x x ，=-=． 【分析】
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）方程整理后利用因式分解法解方程即可．
【详解】
（1）2450x x -=+，
移项得：245x x +=，
配方得：24454x x ++=+，即()2
29x +=，
直接开平方得：23x +=±，
∴1215x x ==-，；
（2）22730x x -+=，
∵2a =，7b =-，3c =， ()2247423250b ac =-=--⨯⨯=>，
∴775224
x ±±==⨯， ∴12132
x x ==
，； （3）(1)(2)24x x x ++=+， 整理得：23224x x x ++=+，即220x x +-=，
因式分解得：()()210x x +-=，
∴20x +=或10x -=，
∴1221x x ，=-=．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是会用配方法、公式法、因式分解法解方程． 25．（1）54
m ≤
；（2）0m = 【分析】
（1）利用根的判别式，因为方程有两个实数根，所以0∆≥，列式求出m 取值范围；
（2）利用韦达定理公式得1221x x m +=-，2121x x m ⋅=-，代入原式得到与m 有关的一元二次方程，解出m 的值．
【详解】
（1）∵()222110x m x m --+-=有两个实数根，
∴24b ac ∆=- ()()222141m m =----⎡⎤⎣⎦
2244144m m m =-+-+
45m =-+，
∴450m -+≥
45m -≥-
54
m ≤； （2）∵()222110x m m --+-=，
∴1221b x x m a
+=-=-，2121x x m ⋅=-， ()12210x x x -+=
11220x x x x -⋅+=
()12120x x x x +-⋅=，
()22110m m ---=
22110m m --+=
220m m -+=
()20m m --=，
∴0m =或2m =，
∵由①知，54m ≤
， ∴0m =．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式和根于系数的关系式，解题的关键是熟练运用这两个知识点去解决问题．
26．（1）12x 1x -1==，；（2）12x 12x 1=-=，．
【分析】
（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据因式分解法，可得答案．
【详解】
解：（1）x （x －1）＝1－x
方程整理，得，x （x ﹣1）+（x ﹣1）＝0，
因式分解，得，（x ﹣1）（x +1）＝0
于是，得，x ﹣1＝0或x +1＝0，
解得x 1＝1，x 2＝﹣1；
（2）(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)
方程整理，得，x 2+11x ﹣12＝0
因式分解，得，（x +12）（x ﹣1）＝0
于是，得，x +12＝0或x ﹣1＝0，
解得x 1＝﹣12，x 2＝1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．。