高一数学提高测试(二).doc

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高一数学提高测试（二）
（90分钟，满分100分）
（一）选择题（每小题5分，共30分）
1．数列｛a n ｝中，a 1＝13，a 2＝56，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 1999 等于（ ）． （A ）－56 （B ）－43 （C ）13 （D ）－13
【提示】求出数列前若干项，分析其中的规律，其数值是周期性变化．
【答案】（C ）．
2．若数列｛a n ｝前8项的值各异，且a n ＋8＝a n 对任意的n ∈N 都成立，则下列数列中可取遍｛a n ｝前8项值的数列为（ ）．
（A ）｛a 2 k ＋1｝ （B ）｛a 3 k ＋1｝ （C ）｛a 4 k ＋1｝ （D ）｛a 5 k ＋1｝
【提示】由已知，只需研究2 k ＋1、3 k ＋1、4 k ＋1、5 k ＋1被8除的余数是1到8的数．故3 k ＋1型的数符合此条件．
【答案】（B ）．
3．已知数列1，
21，21，31，31，31，41，41，41，4
1，…，则此数列前100项的和等于（ ）． （A ）13149 （B ）131411 （C ）14141 （D ）1414
3 【提示】将数列分成n 组：第一组：1，第二组：21，2
1，第三组31，31，31，…，由于第n 组中有n 个数，且求前100项和，故令1＋2＋3＋…＋n ＝100．即2
)1(+n n ＝100，估值可知n ＝13．即前13组中共有91个数，再加上第14组中前9个数，恰为100项，
【答案】（A ）．
4．等差数列｛a n ｝的前m 项和为30，前2 m 项和为100，则它的前3 m 项和为（ ）． （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260
【提示】设前m 项和V 1，m ＋1到2 m 项和V 2，2 m ＋1到3 m 项和V 3，则V 1，V 2，V 3 也成等差数列．于是V 1＝30，V 2＝70，d ＝40．∴ V 3＝110．
【答案】（C ）．
5．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30 等于（ ）．
（A ）210 （B ）215 （C ）216 （D ）2提示】设a 1·a 4·a 7·…·a 28＝x ，则a 2·a 5·a 8·…a 29＝x ·210，a 3·a 6·a 9·…·a 30＝x ·2是230＝x ·（x ·210）·（x ·2x 3·230，∴ x ＝1．
【答案】（D ）．
6．某露天剧场有28排座位，每相邻两排座位数相同，第一排有24个座位，以后每隔一排增加两个座位，则全剧场共有座位（ ）．
（A ）1036个 （B ）1428个 （C ）854个 （D ）518个
【提示】由题意知第一、二排，第三、四排，…，第二十七，二十八排的座位数组成等差数列｛a n ｝，其中a 1＝24×2，d ＝2×2，n ＝14，则S 14 可求．
【答案】（A ）．
（二）填空题（每小题5分，共25分）
7．已知a ＞b ＞0，A 是a 、b 的等差中项．G 是a 、b 的等比中项，且G ＞0，若A ＝ 2 G ．则a ︰b ＝________________．
【提示】a ＋b ＝4ab ，即b a ＋a b ＝4令b a ＝x ，则x ＋x
1＝4即x 2－4 x ＋1＝0，解得x ＝2±3而x ＝b
a ＞1，∴ x ＝2＋3． 【答案】7＋43．
8．两个等差数列，它们的前n 项和之比为1
235-+n n ，则这两个数列的第九项的比是_________． 【提示】设两数列为｛a n ｝、｛b n ｝，相应的前n 项和为S n 、T n 则
n n T S ＝1235-+n n ，99b a ＝99217217b a ⨯⨯＝)(17)(17171171b b a a ++＝1717T S ＝11723175-⨯+⨯＝3388＝3
8． 【答案】8︰3．
9．在数列｛a n ｝中，a 1＝1，S n ＝n 2a n ，则a n ＝______________．
【提示】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －（n －1）2 a n －1
∴ 1-n n a a ＝11+-n n ，从而12a a ＝31，23a a ＝42，34a a ＝53，…，21--n n a a ＝n
n 2-，1-n n a a ＝11+-n n ，将以上n －1个等式相乘，得1a a n ＝)
1(2+n n ． 【答案】a n ＝)
1(2+n n ． 10．已知数列1，（1＋21），（1＋21＋41），（1＋21＋41＋81），…，（1＋21＋41＋…＋1
21-n ）．则此数列的前n 项和S n ＝______________． 【提示】∵ a n ＝1＋21＋41＋…＋121-n ＝2－12
1-n ∴ S n ＝2 n －（1＋21＋41＋…＋12
1-n ）． 【答案】S n ＝2 n －2＋12
1-n ． 11．设n 个数成等比数列，P 是这n 个数的乘积，S 是这n 个数的和，S ′是这n 个数的倒数和，那么P 等于______________．
【提示】P ＝a 1n ·2)
1(-n n q ，S ＝1
)1(1--q q a n ． S ′＝11a ·q q n
111
1--＝11a ·)1()1(1---q q q n n ． ∴ S S '
＝a 12q n －1，2)(n S S '＝2121)(n n q a -＝a 1n ·2)1(-n n q ＝P ． 【答案】P ＝2)(n
S S '
． （三）解答题（第12小题12分，第13至15题每小题11分，共45分）
12．已知数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，且S n ＋1＝4 a n ＋2，（n ∈N ），a 1＝1．
（1）设b n ＝a n ＋1－2 a n ，（n ∈N ），求证：数列｛b n ｝是等比数列；
（2）设c n ＝2
n a ，（n ∈N ），求证：数列｛c n ｝是等差数列． 【提示】（1）由题意，得S n ＋2－S n ＋1＝4 a n ＋1－4 a n ，
即 a n ＋2＝4 a n ＋1－4 a n ，变形得a n ＋2－2 a n ＋1＝2（a n ＋1－2 a n ），
即 b n ＋1＝2 b n ，再由已知，b n ＝3·2n －1
（2）由c n ＝n n a 2，得c n ＋1－c n ＝12+n n b ，又 b n ＝3·2n －1，故c n ＋1－c n ＝4
3． 13．已知二次函数f （x ）＝x 2－2（10－3 n ）x ＋9 n 2－61 n ＋100（n ∈N ）
（1）设函数y ＝f （x ）图象的顶点的横坐标组成数列｛a n ｝，求数列｛a n ｝的通项公式a n ．
（2）设函数y ＝f （x ）图象的顶点到y 轴的距离构成数列｛b n ｝，求数列｛b n ｝的前n 项和．
【提示】（1）a n ＝10－3 n ．
（2）b n ＝|a n |＝|10－3 n |＝⎩
⎨⎧≥-≤-)4(103)3(310n n n n 当n ≤3时，S n ＝2
)]310(7[n n -+＝21732n n +-； 当n ≥4时，S n ＝S 3＋b 4＋…＋b n ＝25127+-＋2
)]103(2)[3(-+-n n ＝2
481732+-n n ． 14．已知等差数列｛a n ｝的首项为a 1＝21，公差d ＝－4．
（1）若|a 1|＋|a 2|＋…＋|a K |＝102，求k 的值；
（2）设｛a n ｝的前n 项和为S n ，试问数列｛S n ｝是否存在相同的两项，若存在，求出这样的两项，若不存在，说明理由．
【提示】（1）易知a n ＝25－4 n ，令a n ≥0，则n ≤6，即前6项为正数，从第7项开始为负数．
∴ |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝（a 1＋a 2＋…＋a 6）－（a 7＋a 8＋…＋a k ） ＝2 k 2－23 k ＋132＝102．
解得 k ＝10或
2
3（舍去） （2）假设存在m ，n （m ，n ∈N ），使S m ＝S n （m ≠n ）．则可以推出2 m ＋2 n ＝23，对于m ，n ∈N ，此式不可被成立，故｛S n ｝不存在相同的两项．
【答案】（1）k ＝10；（2）不存在相同的两项．
15．已知数列｛a n ｝的通项公式，a n ＝（n ＋1）n )109(，问n 取何值时，a n 取最大值． 【提示】方法一：不妨设a n 最大，则⎩⎨⎧≥≥+-1
1n n n n a a a a ，由此解得n ＝8或9．
方法二：先分析｛a n ｝的单调性，a n ＋1－a n ＝n )109(·108n -，再对n 分三类讨论，即n ＜8时；n ＝8时，a n 增函数，n ＞8时，a n 是减函数，进而得出结论．。