学霸培优第20讲 动点产生的平行四边形(二次函数背景下教师版)九年级中考数学

精锐教育学科教师辅导教案
学员编号：年级：初三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：任月课程主题：二次函数背景下的平行四边形授课时间：2016年
学习目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；
2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；
3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；
4.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；
5.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。

教学内容
一.二次函数知识点梳理：下图中0
a 二．平行四边形的性质：
三．平行四边形的判定：
内容回顾
知识精讲
知识点一：三个定点，一个动点产生的平行四边形
【知识梳理】
三个定点中选定两个点连接成线段，分类讨论，当这条线段为边或者为对角线，利用平行四边形的对边平行且相等或者中点坐标公式即可。

【例题精讲】
例1.已知抛物线过点，，三点。

(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。

【参考教法】：可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一．寻找题目中的已知条件和特殊条件：
1.哪些点的坐标已知？提示：，，；
2.二次函数都经过了哪些点？提示：二次函数的图像经过，，三点；二．求解二次函数的解析式和顶点坐标，挺简单的，你算算看吧！提示：二次函数经过了三点，用待定系数法即可求解。

三．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形：
1.哪些点不动？哪些点在动？提示：点不动；点在动；
2.四个点的位置怎么样？提示：点在轴上、点在轴上、点为二次函数顶点、
点在坐标平面内动。

3.你能简单的画一下图象吗？提示：让学生画图看看！
4.已知平行四边形的三个顶点，怎么确定第四个顶点？
连接此三个定点中的两个构成一条线段，分类讨论这条线段为边或者为对角线，根据平行四边形的对边平行且相等原理寻找到第四个点的位置，
5.在点的移动过程中需要分类讨论吗？提示：平行边不确定，需要。

6.怎么计算？提示：画图、用直线交点求点的坐标。

7.通过本题的求解，你有什么体会吗？说说看。

提示：让学生说说看。

【满分解答】：
（1）由题意得：解得：
∴，则
（2）∵直线的解析式是：
直线的解析式是：
直线的解析式是：
当是平行四边形的一条对角线时：直线的解析式是：
直线的解析式是：
∴
当是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴
当是平行四边形的一条对角线时：∴
∴或或
检测题1.（2012普陀）
如图，抛物线c bx x y -+=2经过直线3-=x y
与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D . （1） 求此抛物线的解析式（4分）；
（2） 点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆∶ACD S ∆=5∶4的点P 的坐标（5分）； （3） 点M 为平面直角坐标系上一点，写出使点M 、A 、B 、D 为平行四边形的点M 的坐标
（3分）.
解：（1）∵直线3-=x y 与坐标轴的两个交点A 、B ，
∴点B （0，–3），点A （3，0）. ………………………2′ 又∵抛物线c bx x y -+=2经过点A 、B ，
∴c =3. …………………………………………………1′
将点A 坐标代入抛物线的解析式c bx x y -+=2， 解得 b =–2. ……………………………………………1′ ∴抛物线的解析式是 322
--=x x y .
（2）∵抛物线的解析式是 322
--=x x y ，
可得 C （–1，0），顶点D （1，–4）.……………………………………………………2′ 因为点P 为抛物线上的一个动点，设点P （a ，322--a a ）， ∵APC S ∆∶ACD S ∆=5∶4， ∴45
442
13
2421
2=⨯⨯--⨯⨯a a .
∴322--a a =5解得 41=a ，22-=a ；
或5322-=--a a ，因为0<∆，所以无实数解.
∴满足条件的点P 的坐标为)5,4(1P ，)5,2(2-P .……………………………………3′ （3）∵点M 、A 、B 、D 为平行四边形，
∴点M 的坐标为)1,2(1M ，)7,2(2--M ，)1,4(3-M . ………………………………3′
例题2.
x y O C B D A 1 第24题
如图，抛物线与轴正半轴交于点C，与轴交于点，。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在直角坐标平面内确定点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标。

【解法点拨】：
一．寻找题目中的已知条件和特殊条件：
1.点的坐标：；
2.角度：，可得相似三角形；
二．求点的坐标和二次函数的解析式，让学生计算求解即可。

三．当以点为顶点的四边形是平行四边形时：
1.有三个点的坐标确定；
2.点在坐标平面上动；
3.连接的三个定点中的两个，分别讨论这条线段是边或者对角线。

【满分解答】：(1) ∵，∴∽
∴，∴，∴
由题意，设抛物线解析式
∴，∴
∴
（2）或或
检测题2.（2014虹口）
已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线243
y mx m =-与x 轴、y 轴分别交点A 、B ，点C 在线段AB 上，且2AOB AOC S S ∆∆=.
（1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；
（2）将△AOC 沿x 轴翻折，当点C 的对应点C '恰好落在抛物线23218
3
y x mx m =++上时，求该
抛物线的表达式；
（3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．
24．
解：（1）C 点坐标为（3，2m -） （2）抛物线的解析式为2333
1832
y x x =
--
； （3）点M 的坐标为3-3（，）或-33（，）或93（，）
知识点二：两个顶点、两个动点时 【知识梳理】
连接此两个顶点，构成一条线段，分类讨论，当这条线段为边或者为对角线，利用平行
四边形的对边平行且相等或者中点坐标公式即可。

例3.（2013松江）
已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （0, 1）、B (4, 3)． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求tan ABO ∠的值；
（3）过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标.
24. 解：（1）∵抛物线c bx x y ++-=2经过点A （0，1)，B (4，3).
所以⎩
⎨
⎧=++-=34161
c b c …………………………………………………………1分 解得⎪⎩⎪
⎨⎧==1
29c b …………………………………………………………………1分 ∴抛物线的解析式为12
9
2
++
-=x x y …………………………………………1分 (2)过点B 作y 轴的垂线，垂足为H ，过点A 作AG ⊥BO ，垂足为G
∵A （0，1)，B (4，3)，∴OA =1,OB =5 ………………………………………1分
∵BH AO AG BO S ABO ⋅⋅=⋅⋅=∆2121，∴412
1
521⨯⨯=⨯⨯AG ，∴AG=54 ……1分
∴OG=53，∴BG=
5
22
…………………………………………………1分 ∴tan ∠ABO=
11
2
=BG AG ……………………………………1分 （3）∵设直线AB 的解析式为)0(≠'+=k b kx y
将A （0，1)，B (4，3)代入得 //
1
43b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
解得⎪⎩
⎪
⎨
⎧==121/b k ， ∴直线AB 的解析式为12
1
+=
x y ……………………………………………………1分 设M )129,(2++-m m m ，N )121,(+m m ，MN =)12
1(1292
+-++-m m m ………1分
∵四边形MNCB 为平行四边形，∴MN =BC =3，∴
)12
1(1292
+-++-m m m =3 解得3,121==m m …………………………………………………………………1分
∵抛物线的对称轴为直线4
9
=x ，直线MN 在抛物线对称轴的左侧 …………1分
∴1=m ，∴M )2
9
,1(…………………………………………………………………1分
检测题3、
已知：直角坐标平面内有点()1,2A -，过原点O 的直线l OA ⊥，且与过点A 、O 的抛物线相交于第一象限的B 点，若2OB OA =． （1）求抛物线的解析式；
（2）作BC x ⊥轴于点C ，设有直线()0x m m =>交直线l 于P ，交抛物线于点Q ，若B 、C 、
P 、Q 组成的四边形是平行四边形，求m 的值．
（1）解：过点A 作AH x ⊥轴于点H ，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，
由点()1,2A -可得2AH =，1OH =
由直线OB OA ⊥，可得△AHO ∽△OCB ， (2分) ∴ OB OA
BC OH OC AH =
=， ∵2OB OA =，
∴4OC =，2BC = ，
∴()4,2B (1分) 设经过点A 、O 、B 的抛物线解析式为
)0(2≠++=a c bx ax y
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧==++=+-024162c c b a c b a (2分) 解得21=a ，23-=b ∴抛物线解析式为：x x y 2
3
212-= (2分)
（2）解：设直线l 的解析式为)0(≠=k kx y
∵ 直线l 经过点B （4，2），
∴ 直线l 的解析式为x y 2
1
=
(1分) ∵ 直线()0x m m =>交直线l 于，交抛物线于点Q ，
∴ 设P 点坐标为1,2m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点Q 坐标为21
3,2
2m m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (1分)
∵由B 、C 、P 、Q 四点组成的四边形是平行四边形， ∴ PQ //BC 且PQ BC =
即：2)2
3
21(212=--m m m ， (1分)
解得222±=m 或2=m ， ∵0m >
∴222+=m 或2 (2分)
例4.（2013年静安）
如图，点A （2，6）和点B （点B 在点A 的右侧）在反比例函数的图像上，点C 在y 轴上，BC //x 轴，2tan =∠ACB ，二次函数的图像经过A 、B 、C 三点． （1） 求反比例函数和二次函数的解析式；
（2） 如果点D 在x 轴的正半轴上，点E 在反比例函数的图像上，四边形ACDE 是平行
四边形，求边CD 的长．
25．解：（1）设反比例函数的解析式为kx y =． ∵点A （2，6）在反比例函数的图像上，∴6=2
k ，
A
C B
O
x
y
检测题4
如图，在平面直角座标系中，二次函数2y ax bx c =++的图像经过()3,0A 、()1,0B 、()0,3C 三点，设该二次函数图像的顶点为G 。

（★★★★）
(1)求这个二次函数的解析式及其图像的顶点G 的坐标；
(2)二次函数图像上有一点P ，x 轴上有点E ，问是否存在以A 、G 、E 、P 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存存，请说明理由。

【满分解答】：
解：（1）由题意得93003a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得143a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
∴二次函数的解析式为243y x x =-+
顶点G 的坐标是()2,1-
(3) (Ⅰ)如AG 为边，则作1PP x ⊥轴，垂足为1P ，作1GG x ⊥轴，垂足为1G 根据题意，可得：1PEP ∆≌1GAG ∆ ∴11PP GG =
因为点P 只能在x 轴上方，所以设点P 的坐标为(),1m ，且点P 在二次函数图像上 ∴2431m m -+=，解得： 22m =± ∴()
22,1P ± (Ⅱ)如AG 为对角线，不可能
综上所述，点P 的坐标为()
22,1±。

、平行四边形的性质：
边：对边平行且相等，邻边相交； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：对角线互相平分
二、平行四边形的判定：
边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行切相等的四边形是平行四变形 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形
三、中点坐标公式
线段中点的坐标等于两端端点坐标之和的一半
1.已知一个二次函数的图像经过()0,3A 、()4,3B 、()1,0C 三点。

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点D 在x 轴上，点E 在（1）中所求出的二次函数的图像上，且以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 、E 的坐标。

【满分解答】：（1）设所求的二次函数的解析式为()20y ax bx c a =++≠． 因为抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A (0，3)、B (4，3)、C (1，0)三点，
课后作业
总结回顾
所以316430c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩。

解这个方程组， 得143a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
．
所以，所求的二次函数的解析式为243y x x =-+．
（2）分两种情况讨论：
①如图1所示，若AC 是以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形的一边。

由于点D 在x 轴上，那么CD 必定也是这个平行四边形的一条边． 由此可知AE ∥CD ，
因此点E 应该在过点A 且平行于x 轴的直线上， 由此可知点E 与点B (4，3)重合． 因为4AB =，
所以4AE AB ==．
因为四边形ACDE 是平行四边形，
所以4CD AE ==，5OD OC CD =+=．
故可得1D (5，0)，E (4，3) ． ②如图2所示，
若AC 是以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形的一条对角线， 由于点D 在x 轴上，
那么CD 依然还是这个平行四边形的一条边，
因此依然可以过点A 作x 轴的平行线，交抛物线于点E ， 容易发现这里的点E 依然是与点B (4，3)重合，联结CE ， 过点A 作CE 的平行线，交x 轴于点D . ∵四边形ADCE 是平行四边形，
∴4CD AE ==,413OD CD OC =-=-=.
故可得2D （-3，0），E (4，3)．
综上所述，点D 、E 的坐标是1D (5，0)，E (4，3)或2D （-3，0），E (4，3)。

（图1） （图2）
2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为25的⊙C 与x 轴交于()1,0A -、()3,0B 两点，且
点C 在x 轴的上方。

（★★★★）
（1）求圆心C 的坐标；
（2）已知一个二次函数的图像经过点A 、B 、C ，求这二次函数的解析式；
（3）设点P 在y 轴上，点M 在（2）的二次函数图像上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M 的坐标。

【满分解答】：
解：（1） 联结AC ，过点C 作CH AB ⊥，垂直为H ，
由垂径定理得：AH =1
2
AB ＝2，
则OH ＝1．
由勾股定理得：CH ＝4．
又点C 在x 轴的上方，∴点C 的坐标为()1,4．
（2）设二次函数的解析式为()20y ax bx c a =++≠
由题意，得0,
093,4.a b c a b c a b c =-+⎧⎪
=++⎨
⎪=++⎩
解这个方程组，得
1,2,3.a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴ 这二次函数的解析式为y =－x 2+2x ＋3．
（3）如下图示，可求得点M 的坐标为()2,3或(45)，-或(421)-，-
3.如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A和点B分别
在轴的正、负半轴上），。

（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于轴的直线与抛物线交于点E、F（点F在点E的左边），如果四边形OBFE是平行四边形，求点E的坐标。

【参考教法】：可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一．寻找题目中的已知条件和特殊条件：
1.哪些点的坐标已知？提示：点坐标已知；
2.哪些点的坐标可求？提示：点的坐标可求；（让学生计算）
3.二次函数经过哪些点？提示：二次函数经过了三点
二.求解二次函数的解析式，挺简单的，你计算一下吧！（如果学生不会，提问学生二次函数经过了哪些点）
三.当四边形OBFE是平行四边形时：
1.哪些点不动？哪些点在动？提示：点不动，点在动；
2.四个点的位置怎么样？提示：点在轴上、点为二次函数上的动点，且。

3.你能简单的画一下图象吗？提示：引导让学生画图看看！
4.通过前面的分析和图象你能求解吗？提示：因为，则，利用二次函数
的对称性可求得点的横坐标，继而求解。

5.在计算过程中注意“二次函数的对称性”和“平行四边形的对称性”。

6.通过本题的求解你有什么收获吗？说说看！
【满分解答】：（1）由题意，得
在中，∵
∴∴
∵点在抛物线上，∴
解得
∴抛物线的解析式是
（2）∵抛物线
的对称轴是直线
又
∴点
∵四边形
是平行四边形
∴ ，∴点的横坐标为
设点
∴
∴点
（2012浦东）24．(本题满分12分，每小题4分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x x c =-++过点()1,0A -；直线l ：3
34
y x =-+与x
轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ；抛物线的顶点为D ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）过点A 作AP l ⊥于点P ，P 为垂足，求点P 的坐标．
（3）若N 为直线 l 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ．问：是否存在这样的点N ，使得点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．
24．
解：（1）将点()1,0-代入22y x x c =-++，得
012c =--+，
∴3c =。