湘教数学九上《4.1.2余弦的概念和余弦值的求法》[吴老师]【市一等奖】优质课

第四章4.2《余弦》预、导学案设计：吴清静使用时间：第
周星期
总第
课时导学目标：1、会利用相似直角三角形探索并认识余弦的定
义。

2、会求特殊角的余弦值，理解诱导公式。

3、引导学生通过观察，提出猜想，最后证明，培养学生分析问题和解决问题的能力。

导学重点：探索并认识余弦。

导学难点:利用余弦的定义求边或角。

导学过程：流程预学材料导学预设个性补充导入同学们好，上一节我们学习了正弦，谁能说说图中角A的正弦该如何表示？（生答）这个比值的大小由谁决定呢？（生答）直角三角形中，当∠A一定时，这个角的对边与斜边的比是一个定值，那此时它的邻边与斜边的比会不会也是一个定值呢? 探究内容与交流点拨探究一：在直角三角形中，当锐角A一定时，它的邻边与斜边的比是定值吗？已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F ＝90°，∠A＝∠D＝α，求证：= 板书：余弦的定义：师:关于这一设想，书上给出了一种证明方法，现在给大家两分钟，自学教材113页下的探究部分，并思考书中每步的依据是什
么？生：师:同学们，你还能给出不同的证明方法吗？请在展示卡上写出你的过程，准备展示。

生：(借助展示卡说明步骤) 师:对于他的方法，大家还有什么疑问或是补充的吗？导学预设：（比例式的转换看不懂）师：通过刚刚的探究，我们已经证实，在直角三角形中，当锐角A一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个定值。

那我们给这一定值取名为∠A的余弦。

请同学们类比正弦的定义，说说什么叫∠A的余弦呢？（填空）你能将它改成符号语言吗？（板书定义式）关于余弦，老师要说明几点：第一：cos A与sinA一样，是一个整体，第二：cosA是角A的函数，因为它是随着角A的变化而变化的。

追问：既然它是函数，请同学们结合定义，说说角A
的范围是多少？cos A的取值范围是多少？并简述你的理由。

（此环节当堂探究。

）九年级数学组“自主导学”研究资料ACABDFDE
自学检测：1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AB=5，则
cosA=________. 2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=6，
cosB=31，BC=_______ 3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC=24，cosB=31，求AB的长为多少？过渡语言：得到了余弦的定义式，不知大家能灵活运用吗？接下来我们进入自学检测环节: 生：师:（总结第1题）通过这些变式，我们发现，直角三角形中，知道了?边，可以求锐角的余弦值，最终都是利用余弦的定义式求余弦值。

生：师:(总结第2题)直角三角形中，知道了余弦值和邻边或斜边，可以求其余边长，最后我们综合1、2题，发现定义式中，知道2个量，就可以第3个量。

过渡语:那如果把边换成对边，你还会做吗？请同学们在展示卡上写出你们的过程，准备展
示。

生: 导学预设：学生可能没讲到重点，设参数法表示边长，同时根据他的板书过程规范解题格式。

师:(总结第3题)他的方法告诉我们，设参数能表示出边的长度，再利用勾股定理建立等式，求出参数。

过渡语：如果直角三角形中，没有长度，你还能求余弦值吗？我们继续看题。

探究点二：特殊角的余弦值：观察我们的一副三角板，思考：（1）你能求出30 °、60°、45°的余弦值？（2）对比30 °、60°、45°的正弦值，你又发现了什么规律？验证猜想：探究结论：一个
锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。

（3）从30 °、45°、60°的余弦值，你发现余弦值随着锐角的增大而如何变化的？师:观察我们的一副三角板，有几个特殊角，没有已知边长，（1）你能求出这些特殊角的余弦值吗？现在开始组内讨论2分钟，然后说说你们的方法? 生：师:在我们得到了特殊角的余弦值后，大家对这3个数值有熟悉的感觉吗？生：师:我们把这三组等式单独拿出来分析，请同学们横向观察等式两边，有哪些变化，你能发现什么规律？生：角是互余，函数名不同。

师追问：对于特殊角，这三个等式成立，那改为任意锐角，还成立吗？我们以第一个为例，将60改为a，则30为？此时Sina=Cos(90-a)吗？谁能借助图形证
明？生：那同理可得，CosA又等于什么呢？现在我们观察这两个等式的特征，等式两边哪些变呢？（生答）什么不变呢？（生答）我们归纳为角变名变值不变，所以把它们称为互余两角的正、余弦切换公式。

现在我们来玩一个接龙游戏，仍然按照我们以前的流程，出题，报号，评价的顺序。

同学们，记住了吗？(抽测) 师:我们继续观察特殊角的余弦值，纵向观察，你发现余弦值随着锐角的增大而如何变化呢？生：减小师:为什么呢？请同学们结合老师给出的这个图形，说说为什么？生：师:由此我们发现，余弦值是随着锐角的增大而减小的。

这是余弦值的增减性，你会用了吗？过渡语：通过一副三角板，我们得到了特殊角的余弦值，及互余两角的正、余弦切换公式，进而又研究了余弦值的变化规律。

这些结论能帮助我们优化解
题
猜想：余弦值随着锐角的增大而减小验证：方法，不知大家能学以致用吗?请看下一题：自学检测：(说说思路) 师:通过这一题，我们知道在利用余弦值求边长时，一定要有直角三角形，若没有，需要做垂线构建直角三角形的模型，此时一定要保留特殊角度。

总结拓展最后，我们一起来回顾本节课的内容：当堂检测：见检测卡
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