卡方分布1
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▪F=s2n1-1/s2n2-1
2021/5/27
20
概述-3
▪ 自一个正态总体中随机抽取容 量为n1及n2两样本,其方差的比 率分布为F分布,分子的自由度 为n1-1,分母的自由度为n2-1.
2021/5/27
21
概述-3
▪ 知道了同一总体不同样本的方 差比率分布,即可分析任意两样 本方差是否取自同一总体了.
由度为10这一列与分母自由度为10这一行
相交处,查得两个数值.再查2.97这一行所对
应的α为0.05,4.85所对应的α为0.01.在表
的左一列是分母自由度;左二列为α概率,F
曲线下某F值右侧的概率;最上行为分子自
由度.其他各行各列为不同分子、分母自由
度时F分布的值
2021/5/27
29
2021/5/27
8
卡方分布的临界值
2021/5/27
9
▪ 表的左列为自由度,最上一行是概率值，即不同自由
度时,某χ2值以上的概率，表中间所列数值为不同自
2021/5/27 由度及概率源自的χ2值.102021/5/27
11
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12
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13
单一总体方差的统计推断
1、χ2分布
2021/5/27
1
卡方分布
▪ 卡方分布的定义 ▪ 卡方分布的密度函数 ▪ 卡方分布的形状 ▪ 卡方分布的性质 ▪ 卡方分布的临界值 ▪ 单一总体方差的统计推断
2021/5/27
2
卡方分布的定义
▪ 设Z1, Z2, …Zυ相互独立且都为标准正态随 机变量，则称变量 所服从的分布为自由度为υ的χ2分布。
2021/5/27
24
F分布的特点-2
3. 当分子的自由度为1,分母的自由度为任意 值时,F值与分母自由度相同概率的t值(双 侧概率)的平方相等。
2021/5/27
25
F分布的特点-2
▪ 例如分子自由度为1时,分母自由度位为 20,F0.05(1,20)=4.35,F0.01(1,20)=8.10,查t值表 df=20时,t0.05=2.086, (t0.05)2=4.35,t0.01=2.845, (t0.01)2=8.10.
▪ 这样可得到无限多个χ21与χ22,每个χ2随机 变量各除以对应的自由度df之比，称为F 比率；
▪ 这无限多个F的分布称做F分布.
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16
概述-1
2 1
F
df N1 o
2 Image 2
df 2
2021/5/27
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概
述
2
(Xi X)2
2
(n
1)sn21
2
-2
2021/5/27
▪ χ2分布是一族分布,正态分布是其中一特例.
▪ 卡方分布只有一个参数即自由度，为ν。
▪ χ2分布的和也是χ2分布,即χ2分布具有可加性。
Σχ2是一个遵从df= df1+df2+…+dfk的χ2分布.
2
▪ 如果df＞2,χ2分布的平均数:μχ2=df,方差σχ2 =2df.
▪ χ2分布是连续型分布,有些离散型的分布也近似χ2分布.
▪ 这一点可以说明当组间自由度为1时(即分 子的自由度为1)F检验与t检验的结果相同.
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26
F分布表-1 ▪ 本书附表3和附表4均为F分布表.
▪ F分布表列出最常用的0.95、 0.99(指某F值左侧, F分布曲线 下的概率)或α为0.05、0.01(即 某F值右侧F分布曲线的概率,分 别为1-0.95,1-0.99)
n=4 n=10
n=20
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5
卡方分布的形状
2021/5/27
6
χ2分布的性质
▪ χ2分布曲线下的面积都是1 ▪ χ2值都是正值. ▪ χ2分布是一个正偏态分布。 ▪ 不同的自由度(n的大小)决定不同的卡方分布，n或n-1
越小,分布越偏斜.
2021/5/27
2
7
χ2分布的特点
▪ 卡方分布随着自由度增加而逐渐趋于对称，df很大时, 接近正态分布，当df→∞时, 分布即为正态分布.
2021/5/27
28
F分布表-3：附表4
▪ 上8F自.00.述由025(可4度10.2,写为130)常作1=02写F,.分90.作70母1.(F2F的,090.).0=0自518((21.由,090,)12=度0.4)例=.也24如6.为8.同51,即0理,α分,上=子0述.0的5
时F=2.97;α=0.01时F=4.85.查F表,分子自
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F分布密度曲线
m=10，n=∞ m=10，n=50 m=10，n=10 m=10，n=4
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23
F分布的特点-1
1. F分布形态是一个正偏态分布，它的分布 曲线随分子、分母的自由度不同而不同， 随df1与df2的增加而渐趋正态分布。
2. F总为正值,因为F为两个方差之比率.
卡方分布 (χ2分布)是概率论与统计学中常用 的一种概率分布。卡方分布常用于假设检 验和置信区间的计算。
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3
卡方分布的密度函数
▪ 定义：如果随机变量U的概率密度函数 f(u)为
▪ 则称随机变数 U 服 从 自 由 度 为 n 的卡方分 配，记
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4
χ2分布密度曲线
n=1
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F分布表-2：附表4
▪ 该表左一列为分母的自由度。表的左二列为α概 率:0.05与0.01即F曲线下某F值之右侧的概率,表 的最上行为分子的自由度,其值与分母自由度的 值相似。表中其他各行各列的数值为0.05与 0.01概率时,不同分子、分母自由度F分布的值. 例 数,字d4f1.=226、和d8f.20=29.4查.2F6表对第应二的栏α 第=0九.0行5,8得.0到2对两应个的 α=0.01。即在分子自由度为2,分母自由度为9的 F分布曲线下, F为4.26时,该F值右侧的概率为 0.05, F为8.02时其右侧的概率为0.01,还可进一 步理解:取自同一个正态总体的两个样本n1、n2 之方差的比值F,只有5﹪的样本可能比4.26大,只 有1﹪的样本可能比8.02大.
▪ 从一个标准差为σ的正态分布中取n个样本
▪ 分布在统计分析中应用： 计数数据的假设检验 样本方差与总体方差差异是否显著的检验
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14
2、F分布
2021/5/27
15
概述-1
▪ 设有两个正态分布的总体,其平均数与方 差分别为:μ1、σ21 及μ2、σ22,从这两个 总体中分别随机抽取容量为n1及n2的样本, 每个样本都可计算出χ2值；
18
概 述
代入
F
2 1
df 1
2 2
df 2
( n1
1)
s
2 n1
1
2 1
( n1
1)
(n2
1)
s
2 n2
1
2 2
(n2
1)
-2
s2 n1 1
12
s2 n2 1
2 2
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19
概述-2
▪ 据以上可理解F比率为样本方差 各除以其总体方差的比率.
▪ 如果令σ21= σ22 .即从一个总 体中抽样,其F比率可写作:
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20
概述-3
▪ 自一个正态总体中随机抽取容 量为n1及n2两样本,其方差的比 率分布为F分布,分子的自由度 为n1-1,分母的自由度为n2-1.
2021/5/27
21
概述-3
▪ 知道了同一总体不同样本的方 差比率分布,即可分析任意两样 本方差是否取自同一总体了.
由度为10这一列与分母自由度为10这一行
相交处,查得两个数值.再查2.97这一行所对
应的α为0.05,4.85所对应的α为0.01.在表
的左一列是分母自由度;左二列为α概率,F
曲线下某F值右侧的概率;最上行为分子自
由度.其他各行各列为不同分子、分母自由
度时F分布的值
2021/5/27
29
2021/5/27
8
卡方分布的临界值
2021/5/27
9
▪ 表的左列为自由度,最上一行是概率值，即不同自由
度时,某χ2值以上的概率，表中间所列数值为不同自
2021/5/27 由度及概率源自的χ2值.102021/5/27
11
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单一总体方差的统计推断
1、χ2分布
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1
卡方分布
▪ 卡方分布的定义 ▪ 卡方分布的密度函数 ▪ 卡方分布的形状 ▪ 卡方分布的性质 ▪ 卡方分布的临界值 ▪ 单一总体方差的统计推断
2021/5/27
2
卡方分布的定义
▪ 设Z1, Z2, …Zυ相互独立且都为标准正态随 机变量，则称变量 所服从的分布为自由度为υ的χ2分布。
2021/5/27
24
F分布的特点-2
3. 当分子的自由度为1,分母的自由度为任意 值时,F值与分母自由度相同概率的t值(双 侧概率)的平方相等。
2021/5/27
25
F分布的特点-2
▪ 例如分子自由度为1时,分母自由度位为 20,F0.05(1,20)=4.35,F0.01(1,20)=8.10,查t值表 df=20时,t0.05=2.086, (t0.05)2=4.35,t0.01=2.845, (t0.01)2=8.10.
▪ 这样可得到无限多个χ21与χ22,每个χ2随机 变量各除以对应的自由度df之比，称为F 比率；
▪ 这无限多个F的分布称做F分布.
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概述-1
2 1
F
df N1 o
2 Image 2
df 2
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概
述
2
(Xi X)2
2
(n
1)sn21
2
-2
2021/5/27
▪ χ2分布是一族分布,正态分布是其中一特例.
▪ 卡方分布只有一个参数即自由度，为ν。
▪ χ2分布的和也是χ2分布,即χ2分布具有可加性。
Σχ2是一个遵从df= df1+df2+…+dfk的χ2分布.
2
▪ 如果df＞2,χ2分布的平均数:μχ2=df,方差σχ2 =2df.
▪ χ2分布是连续型分布,有些离散型的分布也近似χ2分布.
▪ 这一点可以说明当组间自由度为1时(即分 子的自由度为1)F检验与t检验的结果相同.
2021/5/27
26
F分布表-1 ▪ 本书附表3和附表4均为F分布表.
▪ F分布表列出最常用的0.95、 0.99(指某F值左侧, F分布曲线 下的概率)或α为0.05、0.01(即 某F值右侧F分布曲线的概率,分 别为1-0.95,1-0.99)
n=4 n=10
n=20
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5
卡方分布的形状
2021/5/27
6
χ2分布的性质
▪ χ2分布曲线下的面积都是1 ▪ χ2值都是正值. ▪ χ2分布是一个正偏态分布。 ▪ 不同的自由度(n的大小)决定不同的卡方分布，n或n-1
越小,分布越偏斜.
2021/5/27
2
7
χ2分布的特点
▪ 卡方分布随着自由度增加而逐渐趋于对称，df很大时, 接近正态分布，当df→∞时, 分布即为正态分布.
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F分布表-3：附表4
▪ 上8F自.00.述由025(可4度10.2,写为130)常作1=02写F,.分90.作70母1.(F2F的,090.).0=0自518((21.由,090,)12=度0.4)例=.也24如6.为8.同51,即0理,α分,上=子0述.0的5
时F=2.97;α=0.01时F=4.85.查F表,分子自
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22
F分布密度曲线
m=10，n=∞ m=10，n=50 m=10，n=10 m=10，n=4
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F分布的特点-1
1. F分布形态是一个正偏态分布，它的分布 曲线随分子、分母的自由度不同而不同， 随df1与df2的增加而渐趋正态分布。
2. F总为正值,因为F为两个方差之比率.
卡方分布 (χ2分布)是概率论与统计学中常用 的一种概率分布。卡方分布常用于假设检 验和置信区间的计算。
2021/5/27
3
卡方分布的密度函数
▪ 定义：如果随机变量U的概率密度函数 f(u)为
▪ 则称随机变数 U 服 从 自 由 度 为 n 的卡方分 配，记
2021/5/27
4
χ2分布密度曲线
n=1
2021/5/27
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F分布表-2：附表4
▪ 该表左一列为分母的自由度。表的左二列为α概 率:0.05与0.01即F曲线下某F值之右侧的概率,表 的最上行为分子的自由度,其值与分母自由度的 值相似。表中其他各行各列的数值为0.05与 0.01概率时,不同分子、分母自由度F分布的值. 例 数,字d4f1.=226、和d8f.20=29.4查.2F6表对第应二的栏α 第=0九.0行5,8得.0到2对两应个的 α=0.01。即在分子自由度为2,分母自由度为9的 F分布曲线下, F为4.26时,该F值右侧的概率为 0.05, F为8.02时其右侧的概率为0.01,还可进一 步理解:取自同一个正态总体的两个样本n1、n2 之方差的比值F,只有5﹪的样本可能比4.26大,只 有1﹪的样本可能比8.02大.
▪ 从一个标准差为σ的正态分布中取n个样本
▪ 分布在统计分析中应用： 计数数据的假设检验 样本方差与总体方差差异是否显著的检验
2021/5/27
14
2、F分布
2021/5/27
15
概述-1
▪ 设有两个正态分布的总体,其平均数与方 差分别为:μ1、σ21 及μ2、σ22,从这两个 总体中分别随机抽取容量为n1及n2的样本, 每个样本都可计算出χ2值；
18
概 述
代入
F
2 1
df 1
2 2
df 2
( n1
1)
s
2 n1
1
2 1
( n1
1)
(n2
1)
s
2 n2
1
2 2
(n2
1)
-2
s2 n1 1
12
s2 n2 1
2 2
2021/5/27
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概述-2
▪ 据以上可理解F比率为样本方差 各除以其总体方差的比率.
▪ 如果令σ21= σ22 .即从一个总 体中抽样,其F比率可写作: