华容区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

华容区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知函数，函数，其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）
A．B．C．D．
2．某程序框图如图所示，则输出的S的值为（）
A．11B．19C．26D．57
3．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
4．已知点F1，F2为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点P使得，则此椭圆的离心率的取值范围是（）
A．（0，）B．（0，]C．（，]D．[，1）
5．若函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，则实数m的取值范围是（）
A．m≥0或m＜﹣1B．m＞0或m＜﹣1C．m＞1或m≤0D．m＞1或m＜0
6． 定义运算：,,a a b
a b b a b
≤⎧*=⎨
>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A
．⎡⎢⎣ B ．[]1,1- C
．⎤⎥⎦
D
．⎡-⎢⎣7． 已知全集，，，则（
）{}1,2,3,4,5,6,7U ={}2,4,6A ={}1,3,5,7B =()U A B = ðA ．
B ．
C ．
D ．{}2,4,6{}1,3,5{}2,4,5{}
2,58． 已知函数，关于的方程（）有3个相异的实数根，则的
()x e f x x
=x 2()2()10f x af x a -+-=a R Îa 取值范围是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．21(,)21e e -+¥-21(,21e e --¥-21(0,)21e e --2121e e ìü-ïï
íý
-ïïîþ
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．
9． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
10．已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．设为虚数单位，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（ ）A ．
B ．﹣
C ．﹣
D ．
二、填空题
13．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，
则S 的最小值是 ．
14．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不
是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
15．已知点M（x，y）满足，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值是
．
16．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填
入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．
A B
C D
17．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一
一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题：
①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；
②A是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势；
③若区间A=（﹣1，1），B=R，则A和B具有相同的势．
其中正确命题的序号是 ．
18．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药
量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（）t﹣a（a为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题
19．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形中，，点、分别在边、上．点ABCD 60BAD ∠=
E F CD CB 与点、不重合，，，沿将翻折到的位置，使平面E C D EF AC ⊥EF AC O = EF CEF ∆PEF ∆PEF ⊥平面．
ABFED Ⅰ求证：平面；
BD ⊥POA Ⅱ记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且
，求此时线段的长．P ABD -1V P BDEF -2V 124
3
V V =PO 20．已知抛物线C ：x 2=2y 的焦点为F ．
（Ⅰ）设抛物线上任一点P （m ，n ）．求证：以P 为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n ；
（Ⅱ）若过动点M （x 0，0）（x 0≠0）的直线l 与抛物线C 相切，试判断直线MF 与直线l 的位置关系，并予以证明．　
21．在△ABC 中，D 为BC 边上的动点，且AD=3，B=．
（1）若cos ∠ADC=
，求AB 的值；
（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD 的周长f （θ），并求当θ取何值时，周长f （θ）取到最大值？
P
A
C
D
O E
F F
E
O D
C
A
22．已知等差数列{a n}中，a1=1，且a2+2，a3，a4﹣2成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
23．甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化•印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：
甲 83 81 93 79 78 84 88 94
乙 87 89 89 77 74 78 88 98
（Ⅰ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（Ⅱ）本次竞赛设置A、B两问题，规定：问题A的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A，B成功与否互不影响，且以训练
成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．
24．
19．已知函数f（x）=ln．
华容区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），
由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，
若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，
当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，
故当=时，h（x）=，有两个交点，
当=2时，h（x）=，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）=恰有4个根，
则满足＜＜2，解得：b∈（，4），
故选：D．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．　
2．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，k=1
k=2，S=4
不满足条件k＞3，k=3，S=11
不满足条件k＞3，k=4，S=26
满足条件k＞3，退出循环，输出S的值为26．
故选：C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的k，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
3．【答案】A
【解析】解：f（0）=d＞0，排除D，
当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，
函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，
则f′（x）=0有两个不同的正实根，
则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，
由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，
则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
故选：A
4．【答案】D
【解析】解：由题意设=2x，则2x+x=2a，
解得x=，故||=，||=，
当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得
4c2=+﹣2×××cos∠F1PF2，
由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c2=﹣cos∠F1PF2∈（，），
即＜4c2＜，∴＜＜1，即＜e2＜1，∴＜e＜1；
当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e==；
综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[，1）
故选：D
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．
5．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，
∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，
∵﹣|x﹣1|≤0，
∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，
∴﹣m≤0或﹣m＞1，
解得m≥0或m＞﹣1
故选：A．
6．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
7．【答案】A
考点：集合交集，并集和补集．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
8．【答案】
D
第Ⅱ卷（共90分）
9．【答案】C
【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中
命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；
命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，
直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
10．【答案】C
【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；
否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；
逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；
综上，以上3个命题中真命题的个数是2．
故选：C
11．【答案】C
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】
故答案为：C
12．【答案】D
【解析】解：将y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个奇函数y=cos=cos（2x+φ﹣
）的图象，
∴φ﹣=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，则φ的一个可能值为，
故选：D．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S==，（0＜x＜
1）
令3﹣x=t，t∈（2，3），
∴S===，当且仅当t=即t=2时等号成立；
故答案为：．
14．【答案】　10　cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，
则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，
∴A′B==10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
15．【答案】　4　．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A（3，4），
显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，
当且仅当3a=4b时“=”成立，
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
16．【答案】　27　
【解析】解：若A方格填3，则排法有2×32=18种，
若A方格填2，则排法有1×32=9种，
根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．
故答案为：27．
【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．
17．【答案】　①③　．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；
对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确；
对③，给出对应法则y=tan x ，对于A ，B 两集合可形成f ：A →B 的一一映射，则A 、B 具有相同的势；
∴③正确．故选：①③
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．
18．【答案】0.6
【解析】解：当t ＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0a=0.1
由题意可得y ≤0.25=，即（
）t ﹣0.1≤，
即t ﹣0.1≥解得t ≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】Ⅰ证明：在菱形中，ABCD ∵，∴． BD AC ⊥BD AO ⊥∵，∴，
EF AC ⊥PO EF ⊥∵平面⊥平面，平面平面，且平面，PEF ABFED PEF ABFED EF =PO ⊂PEF ∴平面，
PO ⊥ABFED ∵平面，∴．BD ⊂ABFED PO BD ⊥∵，∴平面．
AO PO O = BD ⊥POA Ⅱ设．由Ⅰ知，平面， AO BD H = PO ⊥ABFED ∴为三棱锥及四棱锥的高，
PO P ABD -P BDEF -∴，∵，
1211
,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形1243
V V =
∴，∴， 3344ABD CBD BFED S S S ∆∆=
=梯形1
4
CEF CBD S S ∆∆=∵，
,BD AC EF AC ⊥⊥∴，∴∽． ∴， //EF BD CEF ∆CBD ∆21
(
)4
CEF CBD S CO CH S ∆∆==∴
∴．
111
222
CO CH AH ===⨯=PO OC ==20．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C ：x 2=2y 得，y=x 2，则y ′=x ，∴在点P （m ，n ）切线的斜率k=m ，∴切线方程是y ﹣n=m （x ﹣m ），即y ﹣n=mx ﹣m 2，又点P （m ，n ）是抛物线上一点，∴m 2=2n ，
∴切线方程是mx ﹣2n=y ﹣n ，即mx=y+n …（Ⅱ）直线MF 与直线l 位置关系是垂直．
由（Ⅰ）得，设切点为P （m ，n ），则切线l 方程为mx=y+n ，∴切线l 的斜率k=m ，点
M （，0
），又点F （0，），此时，k MF =
=== …
∴k •k MF =m ×（）=﹣1，
∴直线MF
⊥直线
l
…
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．　
21．【答案】
【解析】（本小题满分12分）解：（1
）∵，
∴，
∴…2分（注：先算∴sin ∠ADC 给1分）∵
，…3分
∴，…5分
（2）∵∠BAD=θ，
∴， (6)
由正弦定理有，…7分
∴，…8分
∴，…10分
=，…11分
当，即时f（θ）取到最大值9．…12分
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）由a2+2，a3，a4﹣2成等比数列，
∴=（a2+2）（a4﹣2），
（1+2d）2=（3+d）（﹣1+3d），
d2﹣4d+4=0，解得：d=2，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；
（2）b n===（﹣），
S n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
=（1﹣），
=，
数列{b n}的前n项和S n，S n=．
23．【答案】
【解析】解：（I）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为、，方差分别为、．
，．…
，
．…
因为，，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．…（II）记事件C表示为“甲回答问题A成功”，事件D表示为“甲回答问题B成功”，则P（C）=，P（D）=，
且事件C与事件D相互独立．…
记甲按AB顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0，100，400．
P（ξ=0）=P（）=，P（ξ=100）=P（）=，P（ξ=400）=P（CD）=．
即ξ的分布列为：
ξ0100400
P
所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望．…
记甲按BA顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0，300，400．
P（η=0）=P（）=，P（η=300）=P（）=，P（η=400）=P（DC）=，
即η的分布列为：
η0300400
P
所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望．…
因为Eξ＞Eη，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高．…
【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣mx=﹣f（x）=﹣（﹣x2+2x）
从而m=2．
（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，
则﹣1≤a﹣2≤1
∴1≤a≤3
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．。