3.3.3点到直线的距离1111

例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
同学们再见
点到直线的距离
P
y
l
Q O x
P（x0，y0） l:Ax+By+C=0
问：怎样求点P到直线l的距离？
l:Ax+By+C=0, AB≠0, 外一点P(x0,y0), 过P作PQ⊥l 于Q, P 过P分别作x轴、y轴的平行线,
y
N (x1,y0),
交l于N (x1,y0), M (x0,y2),
∴PN=|x1-x0|
⑵.用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点 到两腰的距离之和等于一腰上的高。 证明:建立如图直角坐标系,设P (x,0),x∈( a , a ) y B(0,b) 可求得lAB:( bx ay ab 0) lCB:( bx ay ab 0) bx ab F |PE|=( ) 2 2 E a b bx ab x |PF|=( ) C(-a,0) O P A(a,0) 2 2 A到BC的距离h=(
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1 l2 Q
O
x
任意两条平行直线都 可以写成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
则两平行线l1与l2间的距离为：
PQ
y d O P(x0,y0)
点到直线的距离公式：
x
l:Ax+By+C=0
d
Ax0 By0 C A B
2 2
1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式。
(2) B(1,0)，
4.完成下列解题过程： ⑴ P在x轴上，P到直线l1: x- 3 y +7=0与直线 l2: 12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。 解：设P(x,0), 根据P到l1、 l2距离相等，列式为 x 3 0 7 12x 5 0 40 ( )=( ) 2 2 2 2 12 ( 5) 1 ( 3 ) 171 解得：(x 1 或 x ) 37 171 ,0) ) 所以P点坐标为：( (1,0) 或 ( 37
C 2 距离：
(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y 2.求下列点到直线的距离： (1) A(-2,3)， 3x+4y+3=0
3 x+y - 3 =0 (3) A(1,-2)， 4x+3y=0 3.求下列两条平行线的距离： (1) 2x+3y-8=0 ， 2x+3y+18=0 (2) 3x+4y=10 ， 3x+4y=0
例2：已知点A（1，3）， B（3，1）， C（-1，0），求△ABC的面积。
y
A h C O
B x
例3 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
| Ax0 By0 C | A PM=|y2-y0| | Ax0 By0 C | B
Q M (x ,y ), 0 2 O l
x
PQ是Rt△PMN斜边上的高，由三角形面积公式可知
PM PN PQ MN PM PN PM 2 PN 2 | Ax0 By0 C | A2 B 2
要求：
1.掌握点到直线的距离公式的推导过程； 2.能用点到直线的距离公式进行计算； 3.能求有关平行线间的距离。
探索与思考： 如果已知点到直线的距离及直线的有关 特征，怎样求直线的方程。
思考题： 直线l在两坐标轴上的截距相等，点P(4,3) 到l的距离为3 2 ，求直线l的方程。
作业：P120A组2、9、10 B组2、4、5
2ab
2
a b
a b
2
)
因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。
点到直线的距离
d Ax0 By0 C A B
2 2
1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式。