正交表实例

1 正交表及其用法
正交表是一种特制的表格．这里先介绍表的记号、特点及用法．下面以L。

(3‘)为例来说明．这个正交表的格式如表1．
表1 正交表L9(34)
列号
1 2 3 4
试验号
1 1 1 1 1
2 1 2 2 2
3 1 3 3 3
4 2 1 2 3
5 2 2 3 1
6 2 3 1 2
7 3 1 3 2
8 3 2 1 3
9 3 3 2 1
L9(34)是什么意思呢?字母L表示正交表；数字9表示这张表共有9行，说明用这张表来安排试验要做9次试验；数字4表示这张表共有4列，说明用这张表最多可安排4个因素；数字3表示在表中主体部分只出现1，2，3三个数字，它们分别代表因素的3个水平，说明各因素都是3个水平的．一般的正交表记为Ln(m k)，n是表的行数，也就是要安排的试验次数；k是表中列数，表示因素的个数；m是各因素的水平数。

常见的正交表如下：
（1）2水平正交表——L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等。

这几张表中的数字2表示各因素都是2水平的；试验要做的次数分别为4，8，12，16；最多可安排的因素分别为3，7，11，15。

（2）3水平的正交表——L9(34)，L27(313)。

这两张表中的数字3表示各因素都是3水平的，要做的试验次数分别为9，27；最多可安排的因素分别为4，13。

（3）4水平的正交表——L14(45)。

（4）5水平的正交表——L25(56)。

正交表有下面两条重要性质：
(1)每列中不同数字出现的次数是相等的，如L9(34)，每列中不同的数字是1，2，3，它们各出现3次；
(2)在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如L9(34)，有序数对共有9个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，它们各出现一次。

由于正交表有这两条性质，用它来安排试验时，各因素的各种水平的搭配是均衡的，这是正交表的优点。

下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。

例1某炼铁厂为了提高铁水温度，需要通过试验选择最好的生产方案。

经初步分析，主要有3个因素影响铁水温度，它们是焦比、风压和底焦高度，每个因素都考虑3个水平，具体情况如表2。

问对这3个因素的3个水平如何安排，才能获得最高的铁水温度?
表2 实验因素与水平
因素水平
A B C
焦比风压/133Pa 底焦高度/m
1 2 3 1:16 170 1.2 1:18 230 1.5 1:14 200 1.3
解: 正交表L9(34)
列号
A B C
试验号
1 1 1 1
2 1 2 2
3 1 3 3
4 2 1 2
5 2 2 3
6 2 3 1
7 3 1 3
8 3 2 1
9 3 3 2
这九个实验代表了全部27个实验。

按照9个实验方案进行实验，结果见表3。

表3 按实验方案实验结果
试验编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
铁水温度/℃1365 1395 1385 1390 1395 1380 1390 1390 1410
为了便于分析，将结果与正交表合编，以便利于计算。

由于铁水温度数值较大，可把每一个铁水温度的值减去1350，得到9个较小的数，这样使计算简单（表4）。

表4
因
素试验号A B C 铁水温度/℃
铁水温度值减去
1350
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1
1 2 2
1 3 3
2 1 2
2 2 3
2 3 1
3 1 3
3 2 1
3 3 2
1365
1395
1385
1390
1395
1380
1390
1390
1410
15
45
35
40
45
30
40
40
60
K1 K2 K3
95 95 85
115 130 145
140 125
120
K1=K 1/3
K2=K 2/3
K3=K 3/3
31.7 31.7 28.3
38.3 43.3 48.3
46.7 41.7 40.0
极差15.0 11.6
20.0
优方案
A3 B2 C2
表4中下面的8行是分析计算过程中需要分析的内容。

K1这一行的3个数，分别是因素A，B，C的第1水平所在的试验中对应的铁水温度(减去1350以后)之和。

比如对因素A(第1列)，它的第l水平安排在第1，2，3号试验中，对应的铁水温度值(减去1350以后)分别为15，45，35，其和为95，记在K1这一行的第1列中。

对于因素B(第2列)，它的第1水平安排在第1，4，7号试验中，对应的铁水温度值(减去1350以后)分别为15，40，40，其和为95，记在K1这一行的第2列中。

对于因素C(第3列)，它的第l水平安排在第1，6，8号试验中，对应的铁水温度值(减去1350以后)分别为15，30，40，其和为85，记在K1这一行的第3列中。

类似地，K2这一行的3个数，分别是因素A，B，C的第2水平所在的试验中对应的铁水温度(减去1350以后)之和。

K3这一行的3个数，分别是因素A，B，C的第3水平所在的试验中对应的铁水温度(减去1350以后)之和．
K1，k2，k3这3行的3个数，分别是K1，K2，K3这3行中的3个数除以3所得的结果，也就是各水平所对应的平均值.
同一列中，K1，k2，k3这3个数中的最大者减去最小者所得的差叫做极差。

一般地说，各列的极差是不同的，这说明各因素的水平改变时对试验指标的影响是不同的。

极差越大，说明这个因素的水平改变时对试验指标的影响越大。

极差最大的那一列，则那个因素的水平改变时对试验指标的影响就最大，那个因素就是我们要考虑的主要因素。

这里算出3列的极差分别为15.0，11.6，20.0，显然第3列即因素C的极差20.0最大。

这说明因素C的水平改变时对试验指标的影响最大，因此因素C是我们要考虑的主要因素。

它的3个水平所对应的铁水温度(减去1350以后)平均值分别为28.3，48.3，40.O，第2水平所对应的数值48.3最大，所以取它的第2水平最好。

第1列即因素A的极差为15.0，仅次于因素C，它的3个水平所对应的数值分别为31．7，38.3，46.7，第3水平所对应的数值46.7最大，所以取它的第3水平最好。

第2列即因素B的极差为11.6，是3个因素中极差最小的，说明它的水平改变时对试验指标的影响最小，它的3个水平所对应的数值分别为31.7，43.3，41.7，第2水平所对应的数值43.3最大，所以取它的第2水平最好。

从以上分析可以得出结论：各因素对试验指标(铁水温度)的影响按大小次序来说应当是C(底焦高度)A(焦比)B(风压)；最好的方案应当是C2A3B2，即
C2：底焦高度，第2水平，1.5，
A3：焦比，第3水平，1:14，
B2：风压，第2水平，230。

可以看出，这里分析出来的最好方案在已经做过的9次试验中没有出现，与它比较接近的是第9号试验．在第9号试验中只有风压B不是处在最好水平，而且风压对铁水温度的影响是3个因素中最小的。

从实际做出的结果看出，第9号试验中的铁水温度是1410℃，是9次试验中最高的，这也说明我们找出的最好方案是符合实际的。

为了最终确定上面找出的试验方案C2A3B2是否为最好方案，可以按这个方案再试验一次，看是否会得出比第9号试验更好的结果。

若比第9号试验的效果好，就确定上述方案为
最好方案，若不比第9号试验的效果好，可以取第9号试验为最好方案。

如果出现后一种情况，说明我们的理论分析与实践有一些差距，最终还是要接受实践的检验。

现将利用正交表安排试验并分析试验结果的步骤归纳如下：
(1)明确试验目的，确定要考核的试验指标。

(2)根据试验目的，确定要考察的因素和各因素的水平。

要通过对实际问题的具体分析选出主要因素，略去次要因素，这样可使因素个数少些。

如果对问题不太了解，因素个数可适当地多取一些，经过对试验结果的初步分析，再选出主要因素。

因素被确定后，随之确定各因素的水平数。

以上两条主要靠实践来决定，不是数学方法所能解决的。

(3)选用合适的正交表，安排试验计划。

首先根据各因素的水平选择相应水平的正交表。

同水平的正交表有好几个，究竟选哪一个要看因素的个数。

一般只要正交表中因素的个数比试验要考察的因素的个数稍大或相等就行了。

这样既能保证达到试验目的，又使试验的次数不至于太多，省工省时。

(4)根据安排的计划进行试验，测定各试验指标。

(5)对试验结果进行计算分析，得出合理的结论。

上述方法一般称为直观分析法．这种方法比较简单，计算量不大，是一种很实用的分析方法。

最后再说明一点，这种方法的主要工具是正交表，而在因素及其水平都确定的情况下，正交表并不是惟一的。