甘肃省天水市秦安县2015届高三数学第一次模拟考试试题 理

某某省某某市秦安县2015届高三第一次模拟考试数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 试卷总分为150分. 考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的某某、考号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的.
1．已知集合 {}
{}|2,,1,0,2,3M x x xR N =<=-，则 M N =
A.{0,1,2}
B.{-1,0,1,2}
C.{-l,0,2.3 l
D.{0,l,2,3} 2.设复数z 满足(1 -i)z=2i ，则z=
A.-1+i
B.-1-i
C.1+i
D.l-i
3．等比数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，已知 321510,9S a a a =+=，则 1a = A.
13 B ． 13- C.19 D. 19
- 4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面 α， n ⊥平面 β.直线 l 满足 ,n,,l m l l l αβ⊥⊥⊄⊄, 则
A ．//αβ，且//l α B. αβ⊥，且l β⊥
C ． α与 β相交，且交线垂直于l
D ． α与β相交，且交线平行于l ， 5．已知实数x ，y 满足 (01)x
y
a a a <<<，则下列关系式恒成立的是
A.
22
1111
x y >++ B. 22
ln(1)ln(1)x y +>+ C. 3
3
x y > D. sin sin x y >
6．设函数f(x)满足 ()()cos f x f x x π+=+，当 0x π≤<时，()0f x =，则 11(
)3
f π
=
A ．
12 B ．． 1
2
-
7．若多项式 2108910018910(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+++++，则 8a = A.45 B.9 C.- 45 D.-9
8. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布2(105,10)N ，已知
(95105)0.32P ξ≤≤=，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
9．过抛物线C ：22x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段||AF =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10. 已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)f =3，且()f x 的导数()f x '在R 上恒有
()2f x '<()x R ∈，则不等式()21f x x <+的解集为（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(,1)-∞-
C ．(1,1)-
D ．(,1)-∞-∪(1,)+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.） 11．阅读右侧程序框图,输出的结果i 的值为。

12．8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲
学校至少分到两个名额的分配方案为_________（用数字作答） 13．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积
为。

14．在三角形ABC 中，已知AB=4，AC=3 ，BC=6 ，P 为BC 中
点，则三角形ABP 的周长为___________.
15．定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足：(1)(2)2()f x f x =；
（2）当42≤≤x 时， ()13f x x =--，则集合
{}()(34)S x f x f ==中的最小元素是.
三、解答题：（本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.） 16．（本题满分12分）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (∈x R ，
（第11题图）
（第16题）
0>A ，0>ω，2
0π
ϕ<
<)图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且2||=OQ ，25||=
OP ，2
13||=PQ ． （1）求函数)(x f y =的解析式；
（2）将函数)(x f y =图象向右平移1个单位后得到函数)(x g y =的图象，当]2,0[∈x 时，
求函数)()()(x g x f x h ⋅=的最大值．
17．（本小题满分12分）
如图，在几何体SABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥ 平面SCD ，AD =DC =2，BC =1，又SD =2，∠SDC=120°. （1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；
（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值. 18．（本小题满分12分）某游乐场有A 、B 两种闯关游戏，甲、
乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏
A ，丙丁两人各自独立进行游戏
B ．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为1
3
，丙、丁
两人各自闯关成功的概率均为12
．
（1）求游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关成功的人数的概率； （2）记游戏A 、B 被闯关总人数为X ，求X 的分布列和期望．
19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中,111,2,n n n a a a +=+=且 （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S 求。

20．（本小题满分13分）
已知函数21()()2
g x f x x bx =+-，函数()ln f x x a x =+在x =1处的切线l 与直线20x y +=垂直. （1）某某数a 的值；
（2）若函数()g x 存在单调递减区间，某某数b 的取值X 围；
（3）设1212()x x x x <、是函数()g x 的两个极值点，若72
b ≥，求12()()g x g x -的最小值.
S
A
B
C D
（第17题图）
21．（本小题满分14分）如图，F 1，F 2是椭圆C ：2
212
x y +=的
左、右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两个动点，且线段AB 的中点M 在直线l ：x ＝－
1
2
上． （1）若B 点坐标为(0，1)，求点M 的坐标； （2）求22F A F B ⋅的取值X 围．
高三数学（理）试题（B ）参考答案 选择题
填
空题11．712．1513．π2
914．7+
214
15、6
16．解（Ⅰ）由余弦定理得5
1|
|||2||||||cos 2
22=-+=
∠OQ OP PQ OQ OP POQ ，
∴5
2
sin =∠POQ ，得P 点坐标为)1,21
(．
∴1=A ，
6)212(42=-=ωπ
，3
π
ω=． 由1)6sin()21(=+=ϕπf ，20πϕ<<得3
π
ϕ=．
∴)(x f y =的解析式为)3
3
sin()(π
π
+
=x x f ．
（Ⅱ）x x g 3
sin
)(π
=，
x x x x x x g x f x h 3
cos 3sin 233sin 213
sin
)3
3
sin(
)()()(2π
πππ
π
π
+=
+
=⋅= 4
1)632sin(2132sin 43432cos 1+-=+-=
ππππ
x x x
． 当]2,0[∈x 时，]6
7,6[632π
πππ-∈-x ， ∴ 当2632πππ=-x ，即1=x 时4
3
)(max =x h ．
17．（本小题满分12分）
解：过点D 作DC 的垂线交SC 于E ,以D 为原点, 分别以,,DC DE DA 为,,x y z 轴建立空间上角坐标系。

00120,30SDC SDE ∠=∴∠=,又2SD =,则点S 到y 轴的距离为1,到x 轴的距离
为3。

则有(0,0,0)D ,(1,3,0)S -,(0,0,2)A ,(2,0,0)C ,(2,0,1)B 。

（4分） （1）设平面SAB 的法向量为(,,)n x y z =，
(2,01),(1,3,2)AB AS =-=--．
则有20320
x z x y z -=⎧⎪
⎨-+-=⎪⎩，取3x =，得(3,5,23)n =，又(3,3,0)SC =-，
18、解：(1)2
1211137
233233436
P ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭。

4分
（2）X 可取0，1，2，3，4
221140)=332236
P X ==
⋅⋅⋅（，
112212112211121)+=3322332236
P X C C ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（，
112211111211221113
2)++=33223322332236
P X C C ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（，
11221211111163)+=3322332236
P X C C ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（，
11111
4)=
332236P X ==⋅⋅⋅（。

8分
X 的分布列为：
∴41213615
0123436363636363
EX =⨯⨯⨯⨯⨯++++=．
，。

12分
19、解：（1）n n n a a 21=++ ………………………………………………. ①
∴1212+++=+n n n a a ………………………………………..…②
②-①得n n n a a 22=-+
又 11=a 12=∴a ……………………………………….1分 故：当n 为奇数时
113422)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
122242++++=-- n n 3
1
231+⨯=n …………………………………………………..4分 当n 为偶数时 224422)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
1222242++++=-- n n 3
1231-⨯=n 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯+⨯=3123
13
1231n n n a 分为偶数为奇数
7.............................n n
（2）3
1231312313123131231212212-⨯++⨯++-⨯++⨯=
-n n n S )2222(3
1
2122n n ++++=-
分12.....................................................).........12(3
22-=
n
20. 解：∵()ln f x x a x =+，∴()1a
f x x
'=+.…………1分
∵l 与直线20x y +=垂直，∴112x k y a ='==+=，∴1a =.…………3分
（2）
()()()()()221
111
ln 1,12x b x g x x x b x g x x b x x
--+'=+--∴=+--=
由题知()0g x '<在()0,+∞上有解，0x >设()()211u x x b x =--+，则()010u =>，所以只
需()210123140
b b b b -⎧
>>⎧⎪⇒⎨⎨
>⎩⎪∆=-->⎩
或b<-1故b 的取值X 围是
()3,+∞. ………8分
()21115
01,41740,0,2ln 2448
t t t t h t h ⎛⎫<<∴-+≥∴<≤≥=- ⎪⎝⎭，
故所求的最小值是
15
2ln 28
-…………13分 21．(Ⅰ) 因为点M 是AB 的中点，所以可设点A ),1(m -.
代入椭圆方程2
212x y +=，得22-=m 或2
2=m ，
则A 点坐标为)2
2
,1(-
-或)22,1(-，所以M 点坐标为 )422,21(--或)4
2
2,21(+-．
，，，，，，4分 (Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－
1
2
，此时 22F A F B ⋅＝
118
．，，，，5分 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M (－
1
2
，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由 2
21122221,2
1,
2
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得
(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)12
12
y y x x -⋅-＝0， 则
－1＋4mk ＝0， 故
于是
22F A F B ⋅＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2
＝x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1
＝x 1x 2＋y 1y 2＋2
＝x 1x 2＋(14m x 1＋2818m m +)(14m x 2＋281
8m m +)＋2
＝ 2223(81)8
8(18)
m m +++．………………12分
令t ＝1＋8m 2
，则1＜t ＜8，于是
22F A F B ⋅＝238
8t t
+ ＝18(3t ＋8
t
)． 所以，22F A F B ⋅的取值X 围为6
2
，258）．………..14分。