分类讨论思想【学生版】

解题思想数学
“分类讨论思想”
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分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

【试题来源】
【题目】设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log
a (1－x)|与|log
a
(1＋x)|的大小。

【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①. C⊂A∪B且C中含有3个元素；②. C∩A≠φ。

【难度系数】3
【试题来源】95年全国理
【题目】设{a
n }是由正数组成的等比数列，S
n
是前n项和。

①. 证明：
lg lg
S S
n n
+
+2
2
<lgS
n+1
；②.
是否存在常数c>0，使得lg()lg()
S c S c
n n
-+-
+2
2
＝lg（S
n+1
－c）成立？并证明结论。

【难度系数】3
【试题来源】
【题目】设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。

【难度系数】3
【试题来源】
【题目】解不等式()()
x a x a
a
+-
+
46
21
>0 (a为常数，a≠－
1
2
)
【难度系数】4
【试题来源】90年全国高考
【题目】设a≥0,在复数集C中，解方程：z2＋2|z|＝a 。

【难度系数】4
【试题来源】
【题目】在xoy平面上给定曲线y2＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求
f(a)的函数表达式。

【难度系数】4
【试题来源】
【题目】集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A⊇B，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1
B. a≤1
C. a<1
D. 0<a<1
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】若a>0且a≠1，p＝log
a (a3＋a＋1)，q＝log
a
(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

A. p＝q
B. p<q
C. p>q
D.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q 【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】函数y ＝sin |sin |x x ＋cos |cos |x x ＋tgx tgx ||＋||ctgx ctgx
的值域是_________。

【难度系数】3
【试题来源】
【题目】若θ∈(0, π2
)，则lim n →∞cos sin cos sin n n n n
θθ
θ＋θ-的值为_____。

A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】函数y ＝x ＋
1
x
的值域是_____。

A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2] 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。

A.
89
3 B.
49
3 C.
29
3 D.
49
3或
89
3
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x －2y ＝0
B. x ＋y －5＝0
C. 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0
D.不能确定 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值域是（ ）
(A)[]1,1- (B) ,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
(C) 1,2⎡-⎢⎣⎦ (D)
1,2⎡--⎢⎣⎦
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知a 是实数，函数2
()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范
围．
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】设函数2
()ln()f x x a x =++．
（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2
． 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】在数列{}n a 中，1
112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中λ＞0．求数列{}n a 的前n 项和n S
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 【难度系数】4。