高二数学空间向量及运算人教版知识精讲
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（2）空间中的共面条件： 共面（ 不共线）
推论：对于空间任一点 和不共线三点 、 、 ， ，则四点 、 、 、 共面
（3）空间向量分解定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量
（4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算
若 ，则：
注1：数量积不满足结合律；
注2：空间中的基底要求不共面。
2、空间向量在立体几何证明中的应用：
（1）证明 ，即证明
（2）证明 ，即证明
（3）证明 （平面）（或在面内），即证明 垂直于平面的法向量或证明 与平面内的基底共面；
（4）证明 ，即证明 平行于平面的法向量或证明 垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；
（5）证明两平面 （或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；
面直线，则 、 一定不共面；③若 、 、 三向量两两共面，则 、 、 三向量一定也共面；④已知三向量 、 、 ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示为
．其中正确命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
2．已知 ＝（2，－1，3）， ＝（－1，4，－2）， ＝（7，5，λ），若 、 、 三向量共
面，则实数λ等于（）
（2）AC’的值。
证：
【模拟试题】
基础巩固题
1.给出下列命题：
（1）a=“从南昌往正北平移6km”，b=“从北京往正北平移3km”，那么a=2b；
（2） ；
（3）把正方形ABCD平移向量m到 的轨迹所形成的几何体，叫做正方体；
（4）有直线 ，且 ，在 上有点B，若 ，则 。
其中正确的命题是（）
A.（1）（2）B.（3）（4）C.（1）（2）（4）D.（1）（2）（3）
9.在空间平移正△ABC到△A1B1C1得到如图所示的几何体。若D是AC的中点。AA1⊥平面ABC， ，则异面直线 与BD所成的角是__________。
10.设OE是以OA，OB，OC为棱的平行六面体的对角线，OE交平面ABC于M，试用向量法证明M是△ABC的重心。
【试题答案】
基础巩固题
1. C2. B3. B4. C5. B
高二数学空间向量及运算人教版
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。
2.了解空间向量基本定理。
3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。
重要知识点：
1.共线向量定理：
2.共面向量定理：
3.空间向量基本定理：
4.两空间向量的数量积：
性质：
运算律：
1、空间向量及其运算：
（1）空间中的平行（共线）条件：
2.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列关于 的表达式中错误的是（）
A. B.
C. D.
3.以下四个命题正确的是（）
A.若 ，则P、A、B三点共线
B.若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底
C. D.△ABC为直角三角形的充要条件是
4.给出下列命题
（1）已知 ，则 ；
（2）A、B、M、N为空间四点，若 不构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；
用 表示MN=.
空间向量与立体几何单元测试答题卷
三、解答证明题
10．（本题满分15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．
11.（本题满分20分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
直线 平面 （ ）的距离
转化为点 到平面 的距离
平面 与平面 （ ）的距离（ 为平面的法向量）
转化为平面 内的点到平面 的距离
异面直线 和 的距离（ 为既垂直于 也垂直于 的向量）
（ 可以用 ， ， ，即两直线上分别取一点）
空间两点 ， 的距离
坐标形式下：两点间距离公式
基底形式下：若 表示成 ，则可以得到：
又∵E平面PAD∴EF∥平面PAD．
(2)∵＝(-2a, 0, 0)∴·＝(-2a, 0, 0)·(0,b,c)＝0
∴CD⊥EF．
(3)若PDA＝45，则有2b＝2c，即b＝c，∴＝(0,b,b)，
＝(0, 0, 2b)∴cos，＝＝∴，＝45
∵⊥平面AC，∴是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为：
A． B． C． D．
3．已知 + + ＝ ，| |＝2，| |＝3，| |＝ ，则向量 与 之间的夹角 为（）
A．30°B．45°C．60°D．以上都不对
4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的
中线长为（）
A．2B．3C．4D．5
5已知i,j,k为单位正交基底，且 （）
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
12.（本题满分20分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证： 平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（III）求二面角A-DC-B的余弦值．
参考答案
BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，
D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)∵E为AB的中点，F为PC的中点
∴E(a, 0, 0)，F(a,b,c)
(1)∵＝(0,b,c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)
∴＝(＋)∴与、共面
1-5A DCBA
6． 8．0°9.
10．.(15分)解：(1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)
(2)∵＝(0,-2, 2)，＝(0, 1, 2)
∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2,
∴cos，＝＝＝．
∴AB1与ED1所成的角的余弦值为．
11．(20分)证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，
A．－15B．－5C．－3D．－1
二、填空题（每题5分共20分）
6．已知向量 ， ， ，
则向量 的坐标为.
7．若a=(m＋1，n－1,3)，b=(m＋3,n－3,9)且a与b平行，则m+n=．
8．设| |＝1，| |＝2，2 ＋ 与 －3 垂直， ＝4 － ，
＝7 ＋2 ，则< , >＝．
9.已知空间四边形OABC,点M,N分别是边OA,BC的中点,且OA= ,OB= ,OC= ,
【典型例题】
例1.判断题
解：（1）正确。
例2. 的值（x、y、z∈R）
解：
例3.
解：
例4.
解：
例5.
解：
例6.
证明：
同理可证∠B、∠C均为锐角。
ห้องสมุดไป่ตู้∴△ABC为锐角三角形。
例7.已知在平行六面体ABCD—A’B’C’D’中，AB=AD=3，AA’=5，∠BAD=90°，∠BAA’=∠DAA’=60°。
（1）求证AC’⊥BD；
A. B. C. D.
6.已知a，b是异面直线， ，且 ，CD=1，则a与b所成的角是（）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，M是CC1上一点且 ，N是 上一点且 ，P为 的中点，则 _______。
8.长为4的向量a与单位向量e的夹角为 ，则向量a在向量e方向上的投影向量为___________。
（6）证明两平面 ，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。
3、空间向量在立体几何求值中的应用：
异面直线 和 的成角
直线 和平面 的成角 （ 为平面的法向量）
平面 与平面 的成角 （ ， 分别为两平面的法向量）
或
（需具体分析取哪一个）
点 到平面 的距离（ 为平面的法向量）
（其中点 为平面内任意一点）
（3）已知向量 ，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
（4）已知向量 是空间的一个基底，则基向量a和b可以与向量 构成空间另一个基底。
其中正确命题的个数是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个向量的数量积？（）
6. C
提示：
适合用直角坐标系求解。
7. 8. 9. 60°
解1：设
解2：如图所示， 为所求。
10.证明：设
取BC中点D，连DA，取
即M’是△ABC重心，下面证M’与M重合
故M是△ABC的重心。
空间向量与立体几何单元测试
一、选择题（每题5分共25分）
1．在下列命题中：①若 、 共线，则 、 所在的直线平行；②若 、 所在的直线是异
推论：对于空间任一点 和不共线三点 、 、 ， ，则四点 、 、 、 共面
（3）空间向量分解定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量
（4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算
若 ，则：
注1：数量积不满足结合律；
注2：空间中的基底要求不共面。
2、空间向量在立体几何证明中的应用：
（1）证明 ，即证明
（2）证明 ，即证明
（3）证明 （平面）（或在面内），即证明 垂直于平面的法向量或证明 与平面内的基底共面；
（4）证明 ，即证明 平行于平面的法向量或证明 垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；
（5）证明两平面 （或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；
面直线，则 、 一定不共面；③若 、 、 三向量两两共面，则 、 、 三向量一定也共面；④已知三向量 、 、 ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示为
．其中正确命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
2．已知 ＝（2，－1，3）， ＝（－1，4，－2）， ＝（7，5，λ），若 、 、 三向量共
面，则实数λ等于（）
（2）AC’的值。
证：
【模拟试题】
基础巩固题
1.给出下列命题：
（1）a=“从南昌往正北平移6km”，b=“从北京往正北平移3km”，那么a=2b；
（2） ；
（3）把正方形ABCD平移向量m到 的轨迹所形成的几何体，叫做正方体；
（4）有直线 ，且 ，在 上有点B，若 ，则 。
其中正确的命题是（）
A.（1）（2）B.（3）（4）C.（1）（2）（4）D.（1）（2）（3）
9.在空间平移正△ABC到△A1B1C1得到如图所示的几何体。若D是AC的中点。AA1⊥平面ABC， ，则异面直线 与BD所成的角是__________。
10.设OE是以OA，OB，OC为棱的平行六面体的对角线，OE交平面ABC于M，试用向量法证明M是△ABC的重心。
【试题答案】
基础巩固题
1. C2. B3. B4. C5. B
高二数学空间向量及运算人教版
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。
2.了解空间向量基本定理。
3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。
重要知识点：
1.共线向量定理：
2.共面向量定理：
3.空间向量基本定理：
4.两空间向量的数量积：
性质：
运算律：
1、空间向量及其运算：
（1）空间中的平行（共线）条件：
2.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列关于 的表达式中错误的是（）
A. B.
C. D.
3.以下四个命题正确的是（）
A.若 ，则P、A、B三点共线
B.若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底
C. D.△ABC为直角三角形的充要条件是
4.给出下列命题
（1）已知 ，则 ；
（2）A、B、M、N为空间四点，若 不构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；
用 表示MN=.
空间向量与立体几何单元测试答题卷
三、解答证明题
10．（本题满分15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．
11.（本题满分20分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
直线 平面 （ ）的距离
转化为点 到平面 的距离
平面 与平面 （ ）的距离（ 为平面的法向量）
转化为平面 内的点到平面 的距离
异面直线 和 的距离（ 为既垂直于 也垂直于 的向量）
（ 可以用 ， ， ，即两直线上分别取一点）
空间两点 ， 的距离
坐标形式下：两点间距离公式
基底形式下：若 表示成 ，则可以得到：
又∵E平面PAD∴EF∥平面PAD．
(2)∵＝(-2a, 0, 0)∴·＝(-2a, 0, 0)·(0,b,c)＝0
∴CD⊥EF．
(3)若PDA＝45，则有2b＝2c，即b＝c，∴＝(0,b,b)，
＝(0, 0, 2b)∴cos，＝＝∴，＝45
∵⊥平面AC，∴是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为：
A． B． C． D．
3．已知 + + ＝ ，| |＝2，| |＝3，| |＝ ，则向量 与 之间的夹角 为（）
A．30°B．45°C．60°D．以上都不对
4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的
中线长为（）
A．2B．3C．4D．5
5已知i,j,k为单位正交基底，且 （）
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
12.（本题满分20分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证： 平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（III）求二面角A-DC-B的余弦值．
参考答案
BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，
D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)∵E为AB的中点，F为PC的中点
∴E(a, 0, 0)，F(a,b,c)
(1)∵＝(0,b,c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)
∴＝(＋)∴与、共面
1-5A DCBA
6． 8．0°9.
10．.(15分)解：(1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)
(2)∵＝(0,-2, 2)，＝(0, 1, 2)
∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2,
∴cos，＝＝＝．
∴AB1与ED1所成的角的余弦值为．
11．(20分)证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，
A．－15B．－5C．－3D．－1
二、填空题（每题5分共20分）
6．已知向量 ， ， ，
则向量 的坐标为.
7．若a=(m＋1，n－1,3)，b=(m＋3,n－3,9)且a与b平行，则m+n=．
8．设| |＝1，| |＝2，2 ＋ 与 －3 垂直， ＝4 － ，
＝7 ＋2 ，则< , >＝．
9.已知空间四边形OABC,点M,N分别是边OA,BC的中点,且OA= ,OB= ,OC= ,
【典型例题】
例1.判断题
解：（1）正确。
例2. 的值（x、y、z∈R）
解：
例3.
解：
例4.
解：
例5.
解：
例6.
证明：
同理可证∠B、∠C均为锐角。
ห้องสมุดไป่ตู้∴△ABC为锐角三角形。
例7.已知在平行六面体ABCD—A’B’C’D’中，AB=AD=3，AA’=5，∠BAD=90°，∠BAA’=∠DAA’=60°。
（1）求证AC’⊥BD；
A. B. C. D.
6.已知a，b是异面直线， ，且 ，CD=1，则a与b所成的角是（）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，M是CC1上一点且 ，N是 上一点且 ，P为 的中点，则 _______。
8.长为4的向量a与单位向量e的夹角为 ，则向量a在向量e方向上的投影向量为___________。
（6）证明两平面 ，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。
3、空间向量在立体几何求值中的应用：
异面直线 和 的成角
直线 和平面 的成角 （ 为平面的法向量）
平面 与平面 的成角 （ ， 分别为两平面的法向量）
或
（需具体分析取哪一个）
点 到平面 的距离（ 为平面的法向量）
（其中点 为平面内任意一点）
（3）已知向量 ，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
（4）已知向量 是空间的一个基底，则基向量a和b可以与向量 构成空间另一个基底。
其中正确命题的个数是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个向量的数量积？（）
6. C
提示：
适合用直角坐标系求解。
7. 8. 9. 60°
解1：设
解2：如图所示， 为所求。
10.证明：设
取BC中点D，连DA，取
即M’是△ABC重心，下面证M’与M重合
故M是△ABC的重心。
空间向量与立体几何单元测试
一、选择题（每题5分共25分）
1．在下列命题中：①若 、 共线，则 、 所在的直线平行；②若 、 所在的直线是异