浅谈圆锥曲线题的几个易错点

浅谈圆锥曲线题的几个易错点
作者：赵欣
来源：《教育教学论坛·上旬》2011年第07期
摘要：我们的学生在利用常规解法求解圆锥曲线题时经常会出现错误，在此谈谈学生求解圆锥曲线题的易错点，以引起大家的注意。

关键词：易错点；圆锥曲线
纵观近几年全国各地的数学高考试题，我们可以发现：为考查圆锥曲线而设计的题目，虽然在立意上逐步创新，但总体上还是突出一些常规解法的考查。

然而我们的学生在利用常规解法求解圆锥曲线题时经常会出现错误，下面笔者通过对学生几道错解的题深入剖析，总结求解圆锥曲线题的易错点，以引起大家的注意。

易错点一：忽视圆锥曲线定义中的限制条件而导致的错误
例1：已知F1（-2，0）、F2（2，0），则在平面直角坐标系内满足|PF1|-|PF2|=4的动点P 的轨迹是（?摇?摇）。

A.双曲线
B.双曲线的左支
C.双曲线的右支
D.射线F2X
错解1：由|PF1|-|PF2|=4可得点P到两定点的距离之差为常数，符合双曲线的定义，故选A。

错解2：同上，但注意到|PF1|>|PF2|，故为双曲线右支，选C。

拨迷：此题条件中|PF1|-
|PF2|=4与双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a差异较大：①少了“外层绝对符号”，故不可能是一条完整的双曲线（最多只有一支）；②少了“2a
正解：选D，由|PF1|-|PF2|=4=|F1F2|知P点的轨迹不可能是双曲线，也不可能为双曲线一支，故排除ABC，选D。

评注：运用圆锥曲线第一定义解题时，特别要注意2a与2c的关系。

如果2a=2c，则动点轨迹肯定不是圆锥曲线。

易错点二：忽视圆锥曲线标准方程所要求的特殊位置而导致的错误
例2：动点P到直线x=5的距离与它到点F（1，0）的距离之比为■，求动点P的轨迹方程。

错解：由定义知P的轨迹是椭圆∵e=■，c=1■=5，∴a2=5，b2=a2-c2=4
故所求方程为■+■=1 评注：错解原因在于误认为椭圆的中心在原点。

正解：设P（x，y），据题意得：■=■
化简整理得■+■=1
评注：从上面的解法的分析中，我们会发现错解1有两处错误：①是遗漏直线斜率不存在的情况，仅考虑存在斜率的直线。

②方程组消元后的方程k2x2+2（k-1）x+1=0被认定为二次方程，因而由直线与抛物线只有一个公共点得出?驻=0。

事实上，方程的二次项系数为含字母的参数k2，方程不一定为二次方程。

当k=0时，方程是一次方程，此时方程组只有一解。

错解2注意了直线斜率不存在的情况，但与错解1一样，没有注意到方程k2x2+2（k-1）x+1=0中当k=0时方程为一次方程。

评注：用代数法解决直线与圆锥曲线相交问题时，勿忽视消元后一元二次方程的二次项系。

数是否为零的讨论；设直线方程时，勿漏掉直线斜率不存在的情况，利用数形结合思想解题时，勿漏掉特殊情况的讨论。

总之，要解决好圆锥曲线题，关键在于熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、方程、图形与几何性质，同时特别关注一些易错点，通过反思易错题，吸取教训，提高学习成绩。