高考数学一轮复习 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性同步检测 文(1)

第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )．解析 将点(1,0)代入x －2y 得1－2×0＝1＞0.答案 D2．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )． A ．14 B ．16 C ．17 D ．19解析 线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16.答案 B3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，5)B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞) 解析 画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7.答案 C4．设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0， b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )．A.256B.83C.113 D ．4解析 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b 2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256. 答案 A5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，y ≤a a >1，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2D.32 解析 作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a＋a ＝2a ，所以a ＝2.答案 C6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ( )．A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析 设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0且y ∈Z ，y ≥0且y ∈Z ，目标函数z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，得B (4,4)，满足题意，所以z max＝4×300＋4×400＝2 800.答案 C二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．解析 画出可行域，如图所示，将直线y ＝3x－z 移至点A (0,1)处直线在y 轴上截距最大，z min ＝3×0－1＝－1.答案 －18．若x ，y 满足约束条件⎝ ⎛ x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x－y 的取值范围是________． 解析 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3.答案 [－3,0]9．设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则y x 的最大值是________． 解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设y x ＝t ，则y ＝tx ，求y x 的最大值，即求y ＝tx 的斜率的最大值．显然y ＝tx 过A 点时，t 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 代入y ＝tx ，得t ＝32.所以y x 的最大值为32. 答案 3210．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________． 解析 目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋z m ， ∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与z m同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2.答案 (1,1＋2)三、解答题11．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}．(1)求出x ，y 所满足的不等式；(2)画出点(x ，y )所在的平面区域．解 (1)已知条件即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >1－x －y >0，x ＋1－x －y >y >0，y ＋1－x －y >x >0，化简即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12<y <－x ＋1，0<y <12，0<x <12. (2)区域如下图．12．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧ －x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a 2<2，解得－4<a <2. 故所求a 的取值范围是(－4,2)．14．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？项目用量产品工人(名) 资金(万元) 甲4 20 乙8 5 解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ P 甲－P 乙＝0.25，1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧ P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4.(2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y . 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l 0：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，此时z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11， 得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.5.。