高中数学四定积分定积分的简单应用平面图形的面积北师大版PPT课件

= [(������ + 3) − (������2 − 2������ + 3)]d������
0
| =
3
(−������2 + 3������)d������ =
0
-
1 3
������3
+
3 2
������2
39 0 = 2.
反思本题要注意利用图形分清y=x2-2x+3的图像与y=x+3的图像 的上、下位置.
3.1 平面图形的面积
1.通过实例,进一步理解定积分的意义. 2.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.
1.平面图形的面积
一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面
图形(如图所示)的面积为 S,则 S=
������ ������
������(������)d������ −
2 0
(−3������2 + 6������)d������
=(-x3+3x2)|02
=4.
题型一 题型二 题型三
题型二 需要分割的图形的面积求解
【例 2】 求由曲线 y=
������,
������
=
2
−
������,
������
=
−
1 3
������所围成图形的面积.
分析:先画出图形,再由图形可知,在不同的区间上,上、下边界对
【做一做1】 若用S表示如图所示的阴影部分的面积,则S等于
()
������
A. ������ f(x)dx
������
B.| ������ f(x)dx|
������
������
C. ������ f(x)dx- ������ f(x)dx
D.
������ ������
f (x)dx-
������ ������
【做一做 2】
由 y=cos
������
0 ≤ ������ ≤ 3π
2
与坐标轴所围图形的面积为
.
π
3π
解析:所围成图形的面积为 S=|
2
0
cos xdx|+|
2 π
cos xdx|=
2
π
3π
π
3π
2
0
cos xdx−
2 π
cos xdx=sin ������|02 − sin ������|π2 = 1 + 2 = 3.
������
=
-
1 3
������,
得交点坐标分别
为(1,1),(0,0),(3,-1).
所以所围成图形的面积
1
S= 0
������-
-
1 3
������
3
dx+ 1
(2-������)-
������ ������
������(������)d������ = −
������ ������
������(������)d������ +
������ ������
������(������)d������.
(2)由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线x=a,x=b(a<b)所围成平面
图形的面积S.
如图④,当f(x)>g(x)>0时,
S=
������ ������
[f (x)-g(x)]dx.
如图⑤,当 f(x)>0,g(x)<0 时,
| | ������
������
������
S= ������ f(x)dx+ ������ g(x)dx = ������ [f(x)-g(x)]dx.
=
������ ������
������(������)d������.
如图②,f(x)<0,
������ ������
������(������)d������ < 0,
所以 S=|������来自������������(������)d������| = −
������ ������
������(������)d������.
的横坐标.
题型一 题型二 题型三
解: 由
������ = ������ + 3, ������ = ������2-2������ + 3,
解得 x=0,x=3.
则所求图形的面积
S=
3 0
(������ + 3)d������ −
3 0
(������2 − 2������ + 3)d������
3
应的函数不同,所以求出曲线的交点,通过分段积分求出面积.
SUCCESS
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2019/8/25
题型一 题型二 题型三
解方程组
������ ������
= +
������
������, =
2,
������ = ������,
������
=
-
1 3
������
及
������ + ������ = 2,
如图③,当 a≤x<c 时,f(x)<0,
������ ������
������(������)d������ < 0;
当 c<x≤b 时,f(x)>0,
������ ������
������(������)d������ > 0,
所以 S=|
������ ������
������(������)d������| +
题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】 求由曲线 y=2x-x2,y=2x2-4x 所围成的图形的面积. 解:
由
������ ������
= =
2������-������2, 2������2-4������,
得x1=0,x2=2.由图可知,所求图形的面积为
S=
2 0
[(2������ − ������2) − (2������2 − 4������)]d������ =
2
2
答案:3
题型一 题型二 题型三
题型一 不需要分割的图形的面积求解
【例1】 计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成图形的面积.
分析:如图,从图中可以看出所求图形的面积可以转化为梯形的 面积与1个曲边梯形的面积的差,进而可以用定积分求面积,为了 确定出被积函数和积分的上、下限,需要求出直线和曲线的交点
f (x)dx
答案:B
2.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
(1)画出图形; (2)确定围成图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定 出定积分的上、下限;
(3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数图像与x轴的上、
下位置; (4)写出平面图形面积的定积分表达式;
(5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.
������ ������
������(������)d������.
几种典型的平面图形面积的计算:
(1)由一条曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成平面图
形的面积 S.
如图①,f(x)>0,
������ ������
������(������)d������
>
0, 所以������