73两个正态总体均值或方差的比较

1
F0.005 (9,
9)
1 6.54
0.153,
因为 s12 3.325,
s22 2.225,
所以
s12 s22
1.49,
0.153
s12 s22
1.49
6.54,
故接受 H0 , 认为两总体方差相等.
两总体方差相等也称两总体具有方差齐性.
例4 两台车床加工同一零件, 分别取6件和9件测量直径, 得:
要点回顾
1. (1) 显著性水平
当样本容量固定时, 选定后, 数 k 就可以确 定, 然后按照统计
量 Z x 0 的观察值的绝对值大于等于 k 还是小于k 来作决定. / n
如果z
x 0 / n
k, 则称x 与0的差异是显著的,则我们拒绝H0 ,
反之, 如果z
x 0 / n
k, 则称x 与0的差异是不显著的, 则我们接受H0 ,
上述关于 x 与 0 有无显著差异的判断是在显 著性水平 之下作出的.
数 称为显著性水平.
(2). 检验统计量
统计量 Z X 0 称为检验统计量.
(3). 原假设与备择假设
/ n
假设检验问题通常叙述为:
在显著性水平下,
检验假设 H0 : 0, H1 : 0.
或称为“在显著性水平下,针对 H1检验 H0”.
故接受
H0,
认为
2 x
y2.
再验证 x y , 假设 H0 : x y , H1 : x y .
取统计量
t
X Y
Sw
取显著性水平为. 来检验假设 3）
引入 t 统计量作为检验统计量:
t
(X Y )
Sw
11 n1 n2
, 其中 Sw2
(n1 1)S12 (n2 1)S22 . n1 n2 2
当H0为真时, X Y是1 （2 0）的无偏估计，
因而X Y的观察值应落在0 的附近，即t 的观察值应在0附近；
分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差:
n1 10, x 76.23, s12 3.325, n2 10, y 79.43,s22 2.225,
且
sw 2
(10
1)s12 (10 1)s22 10 10 2
2.775,
查表可知 t0.05(18) 1.7341,
查表7.4知其拒绝域为
假定零件直径服s从x2正态0分.34布5,,能sy否2 据 此0.断35定7.
x2 y2 .( 0.05)
解 本题为方差齐性检验:
H0
:
2 x
y2,
H1
:
2 x
y2.
F0.025(5, 8) 4.82, F0.975(5, 8) 0.148,
取统计量 F
sx2 sy2
0.345 0.357
s/ n
H1
H
的拒绝
0
域
0 0 0
0
0 0
t t (n 1) t t (n 1)
| t | t / 2 (n 1)
3.方差的检验
设总体 X ~ N (, 2 ), , 2均为未知, X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的样本,
(1) 要求检验假设:
H0
所以其拒绝域的形式为
t k
又有第5章5.4节定理4知，
当H
为
0
真时,
t (X Y )
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2).
对于给定的显著性水平 ，确定k ,使
P{ H0
为真 ,
拒绝
H0
}
PH 0
( Sw
X Y 1 n1
) 1 n2
k
得 k t / 2(n1 n2 2).
解 根据题中条件, 首先应检验方差的齐性.
( 0.05)
假设 H0 : x2 y2 , H1 : x2 y2 . F0.025(9, 9) 4.03,
F0.975 (9,
9) 0.248, 取统计量F
sx2 sy2
2.67 2.12, 1.21
0.248 F 2.12 4.03,
t t (n1 n2 2).
因为
t
sw
x y 11 10 10
4.295
t0.05(18) 1.7341,
所以拒绝 H0 ,即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.
例2有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台机床加工的产 品中随机地抽取若干件, 测得产品直径(单位:mm)为
机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著差异? 假定两 台机床加工的产品直径都服从正态分布, 且总体方差相等.
且
sw 2
(8 1)s12 (7 1)s22 872
0.547,
查表可知 t0.025(13) 2.160,
| t | x y 0.265 2.160, 所以接受 H0 ,
sw
11 87
即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异.
2.两总体方差的比较
设
X1,
X2 ,
,
Xn
为来自正态总体
(1
,
2 1
)
和
N
( 2
,
2 2
),
1
,
2
,
2 1
,
2 2均 为 未 知,
试对上述数据检验假设
H0
:
2 1
2 2
,
H1
:
2 1
22
.
(取 0.01)
解
n1 n2 10,
s1 2 s22
F0.005(10 1,
10 1) 6.54
或
s1 2 s22
F10.005(10 1,
10 1)
3.1 2 为已知, 关于 的检验( Z 检验)
Z检验 检验统计量的观察值 z x 0 / n
H0
0 0 0
H1
0 0 0
H
的拒绝域
0
z z
z z | z | z / 2
(2). 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
t 检验 H0
检验统计量的观察值t x 0
H1
:
2
2 0
,
拒绝域为
2
(n 1)s2
02
2
1
(
n
1).
7.3 两个正态总体均值或方差的 比较
1. 两总体均值的比较 2. 两总体方差的比较 3. 基于成对数据的假设检验（t 检验） 4. 小结
1. 两总体均值的比较
利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设.
设 X1, X 2 , , X n 为 来 自 正 态 总 体N (1, 2 ) 的 样 本, Y1,Y2 , ,Yn 为 来 自 正 态 总 体N (2 , 2 )的 样 本, 且 设 两 样 本
,
H1
:
2 1
2 2
,
现在来检验假设
2)
H0
:
2 1
2 2
,
H1
:
2 1
2 2
,
采 用F
S12 S22
作 为 检 验 统 计 量.
当 H0 为真时, E( S12 ) 12 22 E( S22 ),
当 故
H1
为真时,
E( S12
)
2 1
拒 绝 域 的 形 式 为s12 s22
k,
22 E(
H(4)0.称拒为绝原域与假临设界或点零假设, H1 称为备择假设.
当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假设H0, 则称区域 C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点.
(5). 两类错误及记号
真实情况 (未知)
H0 为真 H0 不真
所作决策
接受 H0 正确
拒绝 H0 犯第I类错误
犯第II类错误
正确
犯第一类错误的概率为
当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误
的概率往往增大.
若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.
(6). 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第二类错 误的概率的检验, 称为显著性检验.
(7). 双边备择假设与双边假设检验 在 H0 : 0 和 H1 : 0 中, 备 择 假 设H1 表 示
独 立. 注 意 两 总 体 的 方 差 相 等. 又 设 X ,Y 分 别 是 总 体 的 样 本 均 值, S12 , S22是 样 本 方 差,
1, 2 , 2均 为 未 知, 求检验问题 1) H0 : 1 2 , H1 : 1 2 2) H0 : 1 2 , H1 : 1 2 3) H0 : 1 2 , H1 : 1 2
右边检验与左边检验统称为单边检验.
2. 假设检验的一般步骤
1). 根据实际问题的要求, 提出原假设H0 及备择 假设 H1 ;
2). 给定显著性水平 以及样本容量n ;
3). 确定检验统计量以及拒绝域形式;
4). 按 P{ H0 为真拒绝 H0 } 求出拒绝域;
5). 取样, 根据样本观察值确定接受还是拒绝H0 .
N
(
1
,
2 1
)的样本,
Y1,Y2 ,
,Yn
为来自正态总体
N (2,
2 2
)
的样本,
且设两样本独立, 其样本方差为 S12 , S22 .
又设
1
,
2
,
2 1
,
22均为未知,
需要检验假设:
1)
H0
:
2 1
2 2
,
2)
H0
:
2 1
2 2
,
3)
H0
:
2 1
2 2
,
H1 :12 22 ,
H1
:
2 1
2 2
79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相 互独立, 且分别来自正态总体
N (1, 2 )和 N (2 , 2 ), 1, 2 , 2均为未知,
问建议的新操作方法能否提高得率?
(取 0.05)
解 需要检验假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法:
79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相 互独立, 且分别来自正态总体
N
( 0.05)
解 依题意, 两总体 X 和Y 分别服从正态分布
N (1, 2 )和N (2 , 2 ), 1, 2, 2均为未知,
需要检验假设 H0 : 1 2, H1 : 1 2.
n1 8, x 19.925, s12 0.216,
n2 7, y 20.000, s22 0.397,
0.9644,
0.148 F 4.82,
故接受
H0,
认为
2 x
y2.
例5 分别用两个不同的计算机系统检索10个资料, 测得平均检索时间及方差(单位:
秒)如下:
x 3.097, y 3.179, sx2 2.67, sy2 1.21,
假定检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资料有无明显差别?
即得拒绝域为
| t | ( x y)
sw
11 n1 n2
t / 2 (n1 n2 2)
单边检验问题的拒绝域列在P169表7.4
例1 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加 钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法 外, 其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然后用建议 的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为(1)标准 方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法:
k .
根据第5章5.4定理4知
S12
2 1
S22
2 2
~ F (n1 1,
n2 1).
即 k F1 (n1 1, n2 1).
检验问题的拒绝域为
F
s12 s22
F1 (n1 1,
n2 1).
另外两个检验的拒绝域在书上表7.5列出.
上述检验法称为 F 检验法.
例3 (续例1） (1)标准方法:
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
,
其中
0
为已知常数.
(n 1)s2
2 0
2 1
/
2
(n
1)
或
(n 1)s2
02
2 / 2(n 1).
(2)单边检验问题的拒绝域
(设显著水平为 )
右边假设检验:
H0 : 2 02,
H1
:
2
2 0
,
2
(n 1)s2
02
2 (n 1).
左边检验问题:
H0 : 2 02,
此处 k
S2
2
),观
察
值
S12 S22
有偏
的值由下式确定 :
小
的
趋
势,
P{ H0 为真, 拒绝 H0 }
Hale Waihona Puke P2 12
2
S1 S2
2 2
k
P
2 1
2 2
S1
1
2 2
S22
22
k,
(
因
为
2 1
22 1)
要使
P{ H0
为真, 拒绝
H0
},
只需令
P
2 1
2 2
S12
2 1
S22
2 2
可 能 大 于0 , 也 可 能 小 于0 , 称 为 双 边 备 择 假 设, 形 如 H0 : 0 , H1 : 0 的 假 设 检 验 称 为 双 边 假设 检 验. (8). 右边检验与左边检验
形如 H0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为右边检验. 形如 H0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为左边检验.