2018学年高中数学北师大版必修五课件：第一章 数列 第3节 3-2 第2课时 精品

因此，2Tn－Tn＝1＋12＋212＋…＋2n1－1－2nn ＝2－2n1－1－2nn＝2n＋1－2nn－2 所以 Tn＝2n＋1－2nn－2.
等比数列的实际应用 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并
以此发展旅游业，根据规划，本年底投入 800 万元，以后每年投入将比上年减 少15，本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作 用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.
【精彩点拨】 第(1)问利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)后，再同除 Sn－1·Sn 转化为S1n 的等差数列即可求 Sn.
第(2)问求出{bn}的通项公式，用裂项相消求和．
【尝试解答】 (1)∵S2n＝anSn－12，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
∴S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－12，
即 2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，
错位相减法
已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝kcn－k(其中 c、k 为常数)，且 a2＝4， a6＝8a3，
(1)求 an； (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 【精彩点拨】 (1)已知 Sn，据 an 与 Sn 的关系 an＝SSn1－n＝Sn－11，n≥2 确定 an； (2)若{an}为等比数列，则{nan}是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新 数列，则可用错位相减法求和．
(2)nan＝n·2n，则 Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， 两式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， Tn＝2＋(n－1)·2n＋1.
对于由等差数列与等比数列对应项乘积得出的新数列应采用“乘公比，错 位相减法”求和，要注意要求和时的项数及运算的准确性．
【规范解答】 (1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝13n－1＋13n－2＋…＋132＋13＋1 ＝111－－1313n＝321－13n. (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝321－13＋321－132＋…＋321－13n ＝32n－341－13n＝34(2n－1)＋1413n－1.
解答等比数列应用题的基本步骤： 1．阅读理解材料，且对材料作适当处理； 2．建立等比数列模型； 3．由已知求未知量．
[再练一题] 3．(2016·亳州高二检测)国家计划在西部地区退耕还林 6 370 万亩，2015 年 底西部已退耕还林的土地面积为 515 万亩，以后每年退耕还林的面积按 12%递 增 ． 试 问 从 2015 年 底 ， 到 哪 一 年 底 西 部 地 区 才 能 完 成 退 耕 还 林 计 划 ？ (1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)
第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ入为 400×1＋14万元，…， 第 n 年旅游业收入为 400×1＋14n－1 万元，所以，n 年内的旅游业总收入为
bn＝400＋400×1＋14＋…＋400×1＋14n－1 ＝400×1＋1＋14＋1＋142＋…＋1＋14n－1 ＝1 600×54n－1.
表达式表示其规律吗？ (3)2×1 4与12－14； (4)3×1 5与13－15. 【提示】 2×1 4＝1212－14，3×1 5＝1213－15. 表达式：nn1＋2＝121n－n＋1 2.
在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2n＝anSn－12. (1)求 Sn 的表达式； (2)设 bn＝2nS＋n 1，求{bn}的前 n 项和 Tn.
(2)设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入， 因此 bn－an＞0，即 1 600×54n－1－4 000×1－45n＞0， 化简得 2×54n＋5×45n－7＞0， 令 x＝45n，代入上式得 5x2－7x＋2＞0， 解此不等式，得 x＜25或 x＞1(舍去)， 即45n＜25，由此得 n≥5. 即至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入．
【尝试解答】 (1)第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为 800×1－15万 元，…，第 n 年投入为 800×1－15n－1 万元，所以，n 年内的总投入为
an＝800＋800×1－15＋…＋800×1－15n－1 ＝800× 1＋1－15＋1－152＋…＋1－15n－1 ＝4 000×1－45n.
【解】 (1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7， 有 2a8＝4×2a7＝2a7＋2. 解得 d＝a8－a7＝2. 所以 Sn＝na1＋nn2－1d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)函数 f(x)＝2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在 x 轴上的截距为 a2－ln12. 由题意知，a2－ln12＝2－ln12，解得 a2＝2. 所以 d＝a2－a1＝1，从而 an＝n，bn＝2n. 所以 Tn＝12＋222＋233＋…＋n2－n－11 ＋2nn， 2Tn＝11＋22＋232＋…＋2nn－1.
【解】 (1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0， ∴3(anq2＋an)－10anq＝0， 即 3q2－10q＋3＝0. ∵公比 q＞1，∴q＝3. 又首项 a1＝3，∴数列{an}的通项公式为 an＝3n.
(2)∵bn＋13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列， ∴bn＋13an＝1＋2(n－1)，即{bn}的通项公式为 bn＝2n－1－3n－1， Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋(1＋3＋…＋(2n－1)] ＝－12(3n－1)＋n2.
【解】 设从 2015 年底起以后每年的退耕还林的土地依次为 a1，a2，a3，…， an，…万亩．
则 a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…， an＝515(1＋12%)n，…. Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝5151＋10－.121.112－1.12n＝6 370－515， ∴515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12， 即 1.12n＝2.218. 又 n∈N＋，当 n＝7 时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划，∴n＝8. 故到 2023 年底西部地区才能完成退耕还林计划．
分组转化求和法的应用条件和解题步骤： 1．应用条件． 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通 项公式相加组成．
2．解题步骤．
[再练一题] 1．已知等比数列{an}中，首项 a1＝3，公比 q＞1，且 3(an＋2＋an)－10an＋1＝ 0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＋13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列{bn}的通项公式和 前 n 项和 Sn.
(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元， 写出 an，bn 的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
【精彩点拨】 分别列出第一年投入(与收入)，第二年投入(与收入)，一直 到第五年投入(与收入)，显然构成一个等比数列，故可利用等比数列的前 n 项和 公式求解．
[再练一题] 2．(2014·四川高考)设等差数列{an}的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)＝2x 的图象上(n∈N*)． (1)若 a1＝－2，点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上，求数列{an}的前 n 项和 Sn； (2)若 a1＝1，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2－ln12， 求数列abnn的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)当 n>1 时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)， 则 a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)， aa63＝cc63－－cc52＝c3＝8， ∴c＝2. ∵a2＝4，即 k(c2－c)＝4，解得 k＝2， ∴an＝2n. 当 n＝1 时，a1＝S1＝2. 综上所述，an＝2n(n∈N＋)．
阶
阶
段
段
一
三
第 2 课时 数列求和
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．熟练掌握等差、等比数列的通项公式，前 n 项和公式并能解决简单问题． 2．能利用等差、等比数列的性质，前 n 项和的性质解决简单问题． 3．掌握数列求和的基本方法．
教材整理 数列求和
[基础·初探]
阅读教材 P15～P16 例 7 以上及 P26～P27 例 5 以上部分，完成下列问题． 常见数列求和方法
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前 n 项和时应用 Sn＝na12＋an较
为合理．( )
(2)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1＋n＋1 1.(
)
(3)数列{an}是周期为 k 的周期数列，那么 Skm＝mSk(m，k 为大于 1 的正整
数)．( )
1．公式法
(1)等差数列的前 n 项和公式：
nn－1d
na1＋an
Sn＝ 2 ＝na1＋ 2
.
(2)等比数列前 n 项和公式：
Sn＝
＝a11－－aqnq，q≠1，
na1，q＝1.
(3)前 n 个正整数平方和： 12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1.
2．分组求和法 一个数列的每一项如果可以平分成两个或多个等差数列或等比数列，那么 可以通过适当分组，进而利用等差、等比数列求和公式分别求和，从而得出原 数列的和． 3．裂项相消法 数列中的每一项可以平分成前后可以相互抵消的两项之差的求和方法． 4．错位相减法 由一个等差与一个等比数列对应项乘积构成的数列，可以利用错位相减法 转化成等比数列求和．
分组求和法
[小组合作型]
已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…若数列：a1，(a2－a1)，…， (an－an－1)，…是首项为 1，公比为13的等比数列. 【导学号：67940021】
(1)求数列{an}的通项； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【精彩点拨】 (1)利用等比数列的概念及等比数列的求和公式求解． (2)利用分组求和求 Sn.
①
由题意 Sn－1·Sn≠0，
①式两边同除以 Sn－1·Sn，得S1n－Sn1－1＝2，
∴数列S1n是首项为S11＝a11＝1，公差为 2 的等差数列，
∴S1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝2n1－1.
【解析】 (1)根据公式特点可知应用 Sn＝na12＋an较为合理． (2)n2－1 1＝n＋11n－1＝12n－1 1－n＋1 1. (3)在每一个周期内，k 项的和为一定值，故有 Skm＝mSk. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
[探究共研型] 裂项求和
探究 1 观察下列两组代数式，会发现什么特点？你能给出一般式吗？
(1)2×1 3与12－13； (2)3×1 4与13－14. 【提示】 2×1 3＝12－13，3×1 4＝13－14. 一般式：nn1＋1＝1n－n＋1 1.
探究 2 观察下列两组代数式，你能发现它们之间的关系吗？你能用一个