误差方程的列立.
测量误差与数据处理(3)
（3）根据改正数方程，可求得改正数为：
V P1ATK
0.5 1.0
1 1
4.8
1 2.4 2.4
0.5 1
4.8
（4）由此得高差的平差值为：
hˆ hV
即：
1.004 4.8
0.9992
1.504
2.4
103
1.5064
2.512 4.8
2.5072
h 1 0 .99 m ， h 9 2 1 2 .50 m ， h 6 3 2 4 .50 m 7
示例的解算
解：（1）此例n = 3，t = 2，故r = 1，列出 如下平差值条件方程：
H A h ˆ 1 h ˆ 2 h ˆ 3 H B 0
以代入上式，可得条件方程为：
v 1 v 2 v 3 ( H A h 1 h 2 h 3 H B ) 0
将已知高程和观测高差代入计算闭合差（ 单位mm），然后用矩阵表示如下：
1. 根据平差的具体问题，确定条件方程的个 数，列出条件方程式，条件方程的个数等于 多余观测数r；
条件方程
➢平差值条件方程：
a1 Lˆ1
a 2 Lˆ 2
a n Lˆ n
a0
0
b1 Lˆ1
b 2 Lˆ 2
b n Lˆ n
b0
0
r1 Lˆ1
r2 Lˆ 2
rn Lˆ n
r0
0
➢改正数条件方程：
0 0 p
n
1
p1
0 1 0
p2
0 0 1
pn
基于闭合差条件的条件平差
❖条件平差原理 ➢ 由于高程控制网中存在r个多余观测，就会产生r 条件方程。
➢高程控制网平差归结为以r个条件方程为基础，根 据最小二乘法求出一组高差改正数。
高程控制网计算和平差概要
ˆ h P1 1 0 0 0 h H A 1 2 ˆ h 2 s 1 0 0 0 H B h1 2 ˆ ˆ H s6 1 X 6 h3 0 s1 0 h0 1 A h ˆ ˆ 0 0 1 P1 X 2 0 B 4 A 2 ˆ h ˆ h 0 0 1 0 H X B 8 3 s 5 h7 s 3 h s 3 ˆ 0 ˆ s5 1 1 7 0 0 8 X h 4 6h 5 0 0 1 1 0 ˆ h 7 0 1 0 s 4 1 P 4 0 ˆ P3 h4 h8
昆明冶金高等专科学校测绘学院
列出各误差值方程：
ˆ X ˆ H h 1 1 A ˆ X ˆ H h 2 1 B ˆ X ˆ H h
3 4 B
0 l1 h1 X 1 HA
l 2 h2 l 3 h3 l4 h4 l5 h5 l6 h6 l7 h7 l8 h8
h1
B
s1 h3 s3
D
0 2
s2
h2
C
A
h5
l 2 h2 l 3 h3 l4 h4 l5 h5
0 1
s5
s4
h4
3、计算误差方程常数项 l
0 l1 h1 X 1 HA 0
X X 23 X H 0 X X 14 X H 0
ˆ h 1 h1 ˆ h h 2 2 ˆ h3 h3 ˆ h4 h4 h ˆ h5 5
v1 5.847 v2 3.791 v 3 9.638 m v 4 7.375 2.263 v5
高程控制网平差
i
i
i
h h V 改厕厕短的改正数， 代入上式，得：
i
i
i
V1 V2 V3 V4 W 0
W H A h1 h2 h3 h4 H B
1.附合水准路线的条件数和条件方程式组成
观测值5个，待定水准点2 个，所以条件有3个，可 以列出3个条件方程：
h1
H B h1 h2 H A 0
V 1 V 3 V 2 W a 0 V 2 V 4 V 6 W b 0 V 4 V 5 V 3 W c 0
(二)观测值权的确定：
1.各水准路线都进行了往返观测，每公里水准路线的观测中误差为 ，
则m：i
R mi2
1 4n
n i
2 i
i
式中，为测往返测高程不符值，以mm为单位；R为测段长度，以km为单位；n
H A h2 h3 h5 H D 0
H B h1 h3 h4 H C 0
一般以1个已知点为起点，其它已知点为终点，所构成的附合 水准路线为已知点数减1，这样可以列出的条件方程式为已知 水准点个数减1.
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组成
从一个水准点出发，经过若干水准测段，又回到该 水准点，这样的水准路线称为闭合水准路线。
V 1 V 7 V 8 W b 0
V 2 V 8 V 7 W c 0
V 3 V 5 V 8 W d 0
V 4 V 6 V 5 W e 0
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组 成
图(c)是四边形状水准网，网中有4个待定点，没有已知点， 在平差计算时，只能确定个待定水准点之间的相互关系，如 果确定一个水准点的高程，就可以确定其他点的高程。因此， 该网的必要观测是3个，观测值总数是6个，又3个多余观测， 可以列出3个条件方程。为了让所列立的条件方程式互相独 立，没个条件方程都要求有一个其他方程没有用到的观测值， 即：
(整理)测量平差
测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
27间接平差--测边网误差方程
X
0 jk
S
0 jk
xˆk
Y
0 jk
S
0 jk
yˆk
li
③两端均为已知点
k j
Si 0
xˆ j yˆ j xˆk yˆk 0
②若 j 为已知点
vSi
X
0 jk
S
0 jk
xˆk
Y
0 jk
S
0 jk
yˆk
li
k j
xˆ j yˆ j 0
若 k 为已知点
S1
S9
1
S5
S10
G
D
测边网示例图
理论
感谢聆听，批评指导
公式
思考
平差
算例
Xi’an University of Science & Technology
举一 反三
治学 严谨
Error Theory and Surveying Adjustment
逻辑
性强
主讲人：史经俭 张静 席晶
本讲内容
测边网误差方程
测边网误差方程
一、边长改正数误差方程的一般形式 二、边长改正数误差方程的几种特殊形式 三、边长改正数误差方程列立的步骤
0 jk
S
0 jk
( xˆk
xˆ j )
Y
0 jk
S
0 jk
( yˆk
yˆ j ) (Si
S
0 jk
)
X
0 jk
X
0 k
X
0 j
,
Y
0 jk
Yk0
Y
全站仪坐标导线测量的平差方法
随着全站仪在工程测量中应用的逐渐普及，采用导线作为测量的平面控制越来越广泛，导线一般多布设成单一导线。
应用全站仪观测导线，可以通过机内的微处理器，直接得到地面点的平面近似坐标，因此在成果处理时可以应用这些近似坐标直接按坐标平差（即间接平差）法进行平差。
本文主要针对采用全站仪观测导线的近似平差和严密平差方法进行探讨。
导线的近似坐标平差导线测量用于图根控制等低精度测量中，往往采用近似平差即可。
由于全站仪直接测定各导线点的近似坐标值，平差计算就不用像传统的导线近似平差计算那样，先进行角度闭合差计算和调整，然后推算方位角，再进行坐标增量闭合差的计算和调整，最后根据平差后的坐标增量计算导线点的坐标。
全站仪观测导线直接按坐标平差计算，将更为简便。
直接按坐标平差法计算步骤如下：假设有一条附合导线，由于存在观测误差，最后测得的一点（假设为C）坐标与该点已知坐标（xc，yc）不一致，其差值即为纵、横坐标增量闭合差，即（1）导线全长闭合差为f：（2）导线全长相对闭合差为：（3）此时若满足要求的精度，就可以直接根据坐标增量闭合差来计算各个导线点的坐标改正数，各导线点的坐标改正值计算公式为：（4）改正后各点坐标xi、yi为：（5）式中，∆x1、∆x2、∆x i、∆y1、∆y2、∆y i、分别为第一、第二和第i条边的近似坐标增量；x i’、y i’为各待定点坐标的观测值（即全站仪外业直接观测的导线点的坐标）。
采用坐标法进行导线近似平差，直接在已经测得导线点的坐标上进行改正，方法简单，易于掌握，避免了传统近似平差法的方位角的推算和改正，以及坐标增量的计算和改正，能大大提高工作效率，而且不易出错。
同时可以看出传统附和导线测量需要两条已知边，作为方位角的检核条件，而直接坐标法，只需要一条已知边和一个已知点即可，使导线的布网更加灵活。
导线的严密坐标平差采用全站仪观测导线的优势高等级平面控制测量对精度的要求较高，需要严密平差。
全站仪观测的导线采用严密坐标平差法较为适宜。
高程控制网平差
V5 X 1 X 2 l5 V6 X 2 X 3 l6
P5
P6
（一）按间接平差法对结点进行平差
2.法方程式的组成
可以看出，法方程系数矩阵的对角线元素是该 结点周围个水准路线高差观测值的权之和，非 对角线元素是两个结点间高差观测值得权的相 反数。如果两个结点间没有联测，则相应元素 为零。结点近似高程减去周围点计算该结点高 程的差值乘上水准路线权，然后求和，其值为 法方程常数项。
（四）平差计算步骤
（1）绘制水准网平差略图。 （2）水准点编号。
（3）调制已知数据和观测数据表，并按一定格式 输入到计算机。
（4）列出条件方程式和最弱点权函数，并将其系 数和闭合差输入给计算机。
（5）由计算机进行法方程组成、解算，计算高差 改正数和平差值，计算各待定结点的高程平差值， 计算单位权中误差、每千米高程中误差，计算最 弱点高程中误差。
二、高程控制网结点平差
结点平差法是由间接平差原理演变而来的一种简捷算法， 它具有算法简便、公式规律性强、结果严密等优点，便 于手算，也可编写成程序。因此，常用这种方法来平差 水准网和三角高程网。
间接平差以待定点近似高程的改正数为未知参数，以两 个高程点之间的高差为观测值，在观测值和未知值之间 列立误差方程式， 而后由误差方程式直接组成 并结算法方程。
二、高程控制网结点平差 1.按间接平差法对结点进行平差 2.按单一水准路线条件平差对各种水准路线进行平差 3.水准网结点平差算例 4.三角高程网结点平差
一、水准网条件平差
（一）水准网条件方程式的数目和组成
水准网的条件方程式个数等于多余观测的个数。用n表示水准网 中高差观测值个数，t表示必要观测值个数。在有已知水准点的 水准网，必要观测值个数等于待定点个数，在无已知水准点的 水准网中，必要观测的个数等于水准点个数减1,；用r表示多余 观测的个数，则有：
误差基本知识及中误差计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二.偶然误差（accident error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2.特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一.中误差方差——某量的真误差，[]——求和符号。
规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值），n为观测值个数。
2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。
V——最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：二.相对误差1.相对中误差=2.往返测较差率K=三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
即：。
§3误差传播定律一.误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二.权（weight）的概念1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…mn，则有：权其中，为任意大小的常数。
当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m，故有：。
GPS测量数据处理
第27页/共90页
定位结果的表示方法
单点定位确定的是点在WGS-84坐标系中的位置。大地测量中点的位置常用大地纬度B，大地经度L和大地高H表示，也常用三维直角坐标X，Y，Z表示。 相对定位确定的是点之间的相对位置，因而可以用直角坐标差ΔX，ΔY，ΔZ表示，也可以用大地坐标差ΔB、ΔL和ΔH表示。
GP S测量原理及应用
第33页/共90页
基线向量网的无约束平差
进行三维无约束平差时，需要引入位置基准，引入的位置基准不应引起观测值的变形和改正。引入位置基准的方法有三种，一种是网中有高级的GPS点时，将高级GPS点的坐标（属WGS-84坐标系）作为网平差时的位置基准；第二种方法是网中无高级GPS点时，取网中任一点的伪距定位坐标作为固定网点坐标的起算数据；第三种方法是引入合适的近似坐标系统下的亏秩自由网基准。一般采用前两种方法。 1. 误差方程的列立(1/2)
GP S测量原理及应用
第24页/共90页
4. 双差固定解与双差实数解
理论上整周未知数N是一整数，但平差解算得的是一实数，称为双差实数解。将实数确定为整数在进一步平差时不作为未知数求解时，这样的结果称为双差固定解。短基线情况下可以精确确定整周未知数，因而其解算结果优于实数解，但两者之间的基线向量坐标应符合良好（通常要求其差小于5cm）。当双差固定解与实数解的向量坐标差达分米级时，则处理结果可能有疑，其中原因多为观测值质量不佳。基线长度较长时，通常以双差实数解为佳。
GP S测量原理及应用
第12页/共90页
权的确定(1/8)
如果同一历元，还同步观测了另一颗卫星Sk，则同理可得：
在上面的法方程式中权P应如何确定?各观测量是相互独立还是相关？是我们必须关注的问题。 1） 单差观测量的相关性 由单差的定义可知：观测站T1、T2，与历元t同步观测卫星Sj的观测量之差为：
第18讲误差方程式
【例4-2】如下图所示水准网中，已知水准点A、B、C的高程分别为HA=11.000，HB=11.500m，HC=12.008m，为求待定点P1、P2的高程，进行了水准测量，高差观测值及水准路线见下表，试列立该水准网的误差方程。
解：（1）根据题意得：必要观测数为t=2
则误差方程为：
综上所述，对于角度观测的三角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为参数时，列误差方程的步骤为：
（1）计算各待定点的近似坐标 ；
（2）由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角 和近似边长 ；
（3）列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数；
（4）列出各观测角误差方程式，算出误差方程的系数和常数项。
（2）选取待定点P1、P2的高程为未知参数 ，选取未知参数的近似值为
（3）列平差值方程
故误差方程为：
列立水准网误差方程的步骤：
（1）根据具体平差问题，确定必要观测数t；
（2）选取t个待定点高程作为未知参数，确定未知参数的近似值；
（3）列立平差值方程和误差方程。
2测角网误差方程
测角网按照间接平差法平差，在待定点之间不存在已知关系情况下，通常选择待定点的的纵、横坐标作为参数。
下图所示任一角度观测值Li，j、k、h均为待定点。
设其坐标 为未知参数，则
其中
故
j、k、h是待定点，它们的近似坐标为 。根据这些近似坐标可以计算j、k和j、h两点间的近似坐标方位角 和近似边长 。设这三点的近似坐标改正数为 ，即
由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正数为 ，即
其中：
泰勒级数展开，得：
本小节介绍未知参数的确定，典型观测值误差方程的列立，是间接平差方法应用的基础。
方程的数值解法及其误差分析
方程的数值解法及其误差分析随着计算机技术的不断发展，数值解法在科学计算中得到了广泛的应用。
方程的解是科学研究、工程设计及经济决策中常常要求得到的重要信息之一。
而大多数方程无法通过解析方法求得精确解，因此需要使用数值解法进行计算，得到近似解。
数值解法的误差分析是研究数值解法精度和可靠性的重要方法，本文将介绍方程的数值解法及其误差分析。
一、数值解法数值解法是一种用数值计算的方法寻找或逼近某一方程或系统的解。
数值解法可以分为直接方法和迭代方法两种。
直接方法是通过运用一些固定的算法来直接求出答案，但代价是计算程度较高。
例如，高斯消元法、LU分解法就是常见的直接方法。
迭代方法是通过从一个开始值开始一直进行计算的方式，来逼近方程数值解的方法。
迭代方法计算量相对比较小，常常被用于大规模数据的计算。
常见的迭代方法有牛顿迭代法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
数值解法的误差分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于采用数值计算方法得出的结果和真实结果的差值所引入的误差。
舍入误差是由于计算机进行计算时，因为计算机对数据所能表示的精度有限，导致近似值和真实值的差值所引入的误差。
二、误差分析误差分析对于确保数值解计算精度、保证计算结果可靠非常重要。
误差分析的基本方法有理论分析法和实验分析法两种。
实验分析法是通过实验数据分析误差特征、精度评定得出误差估计结果的方法。
这种方法相对比较直接，但是实验数据的质量和数量很大程度上影响了误差的分析精度。
而理论分析法通过推导计算或数学模型，直接得出误差算式或误差范围，从而得到误差估计值。
这类方法应用非常广泛，是基本的误差分析方法之一。
误差分析方法对于保证数值解法的精度和可靠性有重要意义。
不同的误差分析方法在实际应用中需要根据具体情况进行选择，以提高误差估计的准确性和精度。
三、数值解法应用数值解法应用广泛，例如在工程设计中，常常需要通过数值解法来求解大规模非线性方程组。
第七章 间接平差
其中:
0 l1 L1 F1 X 10 , X 2 , , X t0 0 l 2 L2 F2 X 10 , X 2 , , X t0 0 l n Ln Fn X 10 , X 2 , , X t0
令:
3、计算误差方程常数项 l
l1 h1 X 10 H A 0 0 23 l2 h2 X 10 X 2 0 l3 h3 X 2 H A 0 0 0 14 l4 h4 X 2 X3 0 l5 h5 X 3 H A 0
第七章 间接平差 6、求观测值改正数 、观测值平差值和高程平差值。
v1 1 v 1 2 v3 0 v4 0 0 v5 0 1 1 1 0 0 0 12 ˆ1 23 9 x 0 ˆ 2 0 2 m m 0 x ˆ x 1 14 3 9 1 0 7
第七章 间接平差
4、列误差方程，确定观测值的权：
ˆ1 v1 x ˆ1 x ˆ2 v2 x v3 v4 v5
p1 0 P0 0 0
ˆ2 x ˆ2 x ˆ3 x ˆ3 x
0 p2 0 0 0 0
令c=10，则由定权公式
0 0 0 p4 0 0 p3 0 0
误差方程的列立.
§9.6 误差方程的列立按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。
为此，要确定平差问题中未知参数的个数，参数的选择以及误差方程的建立等。
9.6.1 未知数个数的确定在间接平差中，未知数个数就等于必要观测个数，在第四章中，已经对确定必要观测个数问题作了讨论，这里不再重复。
9.6.2 未知数的选取在水准网中，即可以选取待定点高程作为未知数，也可选取高差作为未知数，但一般实用上是选取待定点高程作为未知数的。
平面控制网参数平差总是选择未知点的坐标为平差参数。
9.6.3 测角网坐标平差误差方程列立这里讨论测角网中选择待定点坐标为未知数时，误差方程列立及线性化问题。
如图（9-44）为某一测角网的任一角h k j L i ,,.为三个待定点，它们的近似坐标为00000,;,;,h h k k j j y x y x y x 改正数为h h k k j j y x y x y x δδδδδδ,;,;,，则平差值分别为⎪⎭⎪⎬⎫+=+=j j j j j j y y y x x x δδ00 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=k k k k k k y y y x x x δδ00 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=h h h h h h y y y x x x δδ00 由图（9-44）可得iL ˆ的平差值方程为 （9-44） 令 jk jk jk δααα+=0ˆ jh jh jh δααα+=0ˆ误差方程为i jh jk i L l --=00αα （9-45）现求坐标改正数与坐标位角改正数的线性关系 由图可知（9-46）jhjkiLααˆˆˆ-=i jh jk i jh jk jh jk i l L v +-=--+-=δαδαααδαδα)(00)()(ˆj k j k jk x x y y arctg --=α将式右端按台公式展开得（9-47）k kjk k k jkj j jk j j jkjk y y x x y y x x δαδαδαδαδα0000ˆˆˆˆ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= （9-48） k jk jkk jk jkj jk jkj jk jkjky s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ200200200200)()()()(∆''+∆''-∆''-∆''='' （9-49）或k jkjkk jkjkj jkjkj jkjkjky s x s y s x s δαρδαρδαρδαραδ00000000cos sin cos sin ''+''-''-''='' （9-50）同理 h jh jhh jh jhj jh jhj jh jhjhy s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ200200200200)()()()(∆''+∆''-∆''-∆''='' （9-51）或h jhjhh jhjhj jhjhj jhjhjhy s x s y s x s δαρδαρδαρδαραδ00000000cos sin cos sin ''+''-''-''='' （9-52）上式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系，称为坐标方位角改正数方程，其中δα以秒为单位。
第18讲误差方程式
得
同理得
将 的单位由弧度转化为秒，得：
则，误差方程：
即
则，误差方程的一般形式为：
即
在实际平差计算时，可根据观测角的3个端点是已知点还是待定点而灵活应用。
将测角网坐标平差误差方程的特点总结如下：
（1）若测站点j为已知点，则 ，Li的误差方程为：
（2）若两照准点均为已知点，则 ，于是误差方程为：
（3）若有一个照准点为已知点，则或 ，Li的误差方程为：
或 ，则误差方程为：
（4）若j、k、h均为待定点，Li的误差方程为：
（5）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，即
于是得：
根据这一性质，实际计算时，对每条待定边只是计算一个坐标方位角改正数方程即可。
（6）坐标方位角改正数方程的其他表示形式：
将 代入，则
设 则
坐标改正数 与 的系数， 与 的系数，它们的数值相等，符号相反。因此，实际计算时，对每一条边，只需求 和 ，代入上式即可得该边的坐标方位角改正数方程。
最后是列出平差值方程和线性误差方程：选定未知参数后根据未知参数与观测值平差值间应满足的几何或物理关系，即可列出平差值方程和误差方程。当误差方程中常数项有效数字位数较多时，会导致计算不便。为了简化计算，可以引入未知数近似值 。
注意：在整个平差过程中应采用同一组近似值，否则将得不到正确结果。
1水准网误差方程
L3=354.862m。已知点A、B、C的起算数据列于表4-5，试列出误差方程。
解：(1)根据题意知：n=3，t=2，选取D点的坐标 为未知参数，下图中，设h为△ABC底边AB上的高，l为L1在AB边上的投影，则有
则有待定点D的近似坐标为：
(2)计算误差方程的系数和常数项，见表4-6，并组成误差方程
测量中误差计算公式(很有用哦)
测量中误差计算公式(很有用哦)测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一、系统误差（system error）1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二、偶然误差（accident error）1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2、特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一、中误差方差某量的真误差，[]求和符号。
规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1、用真误差（true error）来确定中误差适用于观测量真值已知时。
真误差Δ观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n为观测值个数。
2、用改正数来确定中误差（白塞尔公式）适用于观测量真值未知时。
V最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：二、相对误差1、相对中误差=2、往返测较差率K=三、极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
即：。
3误差传播定律一、误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二、权（weight）的概念1、定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…mn，则有：权其中，为任意大小的常数。
当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m0，故有：。
误差计算公式
扰动误差的传递函数：We (s)
3.6 稳 态 误 差
W2 (s) W2 (s)N (s) X c (s) We (s)N (s) N (s) 1 W1 (s)W2 (s)W f (s) 1 WK (s)
根据终值定理，扰动作用下的稳态误差为：
ess e lim xc (t )
1 ev () Kv 1 1 ev () Kv K K 1 ev () 0 Kv
13
③ 单位抛物线函数输入
1 2 1 xr t t X r ( s ) 3 2 s
s 1 1 1 ess ea () lim 3 lim 2 s 0 1 W ( s) s s 0 s W ( s ) Ka K K
1 1 1 2 e t L E ( s ) L X r ( s ) sX r ( s ) s X r (s ) k1 k2 k0 1 1 1 xr t xr t xr t k0 k1 k2
1 1
取极限求稳态误差值：
j 1 i 1 n N
m
e p ()
1 0 1 K p
11
东北大学《自动控制原理》课程组
3.6 稳 态 误 差
1 xr t t X r ( s) 2 s 1 2 1 s ess ev () lim sE s lim s lim s 0 s 0 1 W ( s ) s 0 sW ( s ) K K
3.6 稳 态 误 差
例3-12 一单位反馈系统的开环传递函数为
10(1 s) WK ( s ) 2 s (1 5s)
10
0型系统，N = 0，则位置稳态误差系数
误差方程名词解释
误差方程名词解释
误差方程是一个用于描述测量结果与真值之间差异或误差的数学方程。
它通常用于实验或观测过程中对测量误差或不确定性进行分析和评估。
误差方程通常包含了多个因素，包括系统误差、随机误差、环境因素等。
它可以用于预测或估计测量结果的误差范围，或者用于校正和调整测量结果。
误差方程可以是简单的代数表达式，也可以是更复杂的统计模型。
它的形式和具体参数取决于所研究的测量系统和误差来源。
通过使用误差方程，可以帮助我们了解和解释测量结果的可靠性、准确性和精度，并对测量结果进行有效的比较、分析和解释。
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§9.6 误差方程的列立按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。
为此，要确定平差问题中未知参数的个数，参数的选择以及误差方程的建立等。
9.6.1 未知数个数的确定在间接平差中，未知数个数就等于必要观测个数，在第四章中，已经对确定必要观测个数问题作了讨论，这里不再重复。
9.6.2 未知数的选取在水准网中，即可以选取待定点高程作为未知数，也可选取高差作为未知数，但一般实用上是选取待定点高程作为未知数的。
平面控制网参数平差总是选择未知点的坐标为平差参数。
9.6.3 测角网坐标平差误差方程列立这里讨论测角网中选择待定点坐标为未知数时，误差方程列立及线性化问题。
如图（9-44）为某一测角网的任一角h k j L i ,,.为三个待定点，它们的近似坐标为00000,;,;,h h k k j j y x y x y x 改正数为h h k k j j y x y x y x δδδδδδ,;,;,，则平差值分别为⎪⎭⎪⎬⎫+=+=j j j j j j y y y x x x δδ00 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=k k k k k k y y y x x x δδ00 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=h h h h h h y y y x x x δδ00 由图（9-44）可得iL ˆ的平差值方程为 （9-44） 令 jk jk jk δααα+=0ˆ jh jh jh δααα+=0ˆ误差方程为i jh jk i L l --=00αα （9-45）现求坐标改正数与坐标位角改正数的线性关系 由图可知（9-46）jhjkiLααˆˆˆ-=i jh jk i jh jk jh jk i l L v +-=--+-=δαδαααδαδα)(00)()(ˆj k j k jk x x y y arctg --=α将式右端按台公式展开得（9-47）k kjk k k jkj j jk j j jkjk y y x x y y x x δαδαδαδαδα0000ˆˆˆˆ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= （9-48） k jk jkk jk jkj jk jkj jk jkjky s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ200200200200)()()()(∆''+∆''-∆''-∆''='' （9-49）或k jkjkk jkjkj jkjkj jkjkjky s x s y s x s δαρδαρδαρδαραδ00000000cos sin cos sin ''+''-''-''='' （9-50）同理 h jh jhh jh jhj jh jhj jh jhjhy s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ200200200200)()()()(∆''+∆''-∆''-∆''='' （9-51）或h jhjhh jhjhj jhjhj jhjhjhy s x s y s x s δαρδαρδαρδαραδ00000000cos sin cos sin ''+''-''-''='' （9-52）上式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系，称为坐标方位角改正数方程，其中δα以秒为单位。
平差计算时，可按不同的情况灵活运用。
讨论： （1）若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐标方位角改正数间的关系就是（9-51）式，此时 与k x δ前的系数是绝对值相等，符号相反； 与k y δ前的系数也是绝对值相等，符号相反。
（2）若测站点j 为已知点时，则j x δ=j y δ=0有，得若照准点k 为已知点，则有k x δ=k y δ=0 ，得（3）若某边的两个端点均为已知点，则j x δ=j y δ=k x δ=k y δ=0 ， 0=''jkαδ （4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系也一样。
jkjk k kjk k k jk j j jk j j jk j k j k jk y y x x y y x x x x y y arctg δααδαδαδαδαα+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--=000000000ˆˆˆˆ)()(ˆj x δj y δkjk jkk jk jkjky s x x s y δρδραδ200200)()(∆''+∆''-=''j jk jk j jk jk jk y s x x s y δρδραδ200200)()(∆''-∆''+=''即 kj jkαδαδ''='' 因为：顾及据此，实际计算时，只要对每条待定边计算一个方向的坐标方位角改正数方程即可。
9.6.4 测边网坐标平差的误差方程列立这里讨论测边网中，选待定点坐标为未知数时，误差方程列立及线性化问题。
如图（9-8）为某一测边网中的任意一条边，j ，k 为两个待定点，它们的近似坐标为000,;,k k j j y x y x ，改正数为k k j j y x y x δδδδ,;, 则j ，k 的坐标平差值为00k jk jkk jk jk j jk jk j jk jk jky s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ200200200200)()()()(∆''+∆''-∆''-∆''=''⎪⎭⎪⎬⎫∆-=∆∆-=∆0000kj jk kj jk y y x x jkj kj j kj kj k kj kj k kj kj kjy s x x s y y s x x s y δρδρδρδραδ200200200200)()()()(∆''+∆''-∆''-∆''=''按台劳公式展开， 得k j i k ji j k i j ki jkjki i y y s x x s y y sx xsy y x x v s δδδδ0000200200ˆˆˆˆ)()(⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-+-=+（9-54）式中 00200200000)()()(ˆjkjk jk j kj k j is x y y x x x x x s ∆-=-+---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂同理： 000000000ˆˆˆjk jk ki jk jk ki jk jk j is y y ss x x ss y y s ∆=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 将以上公式代入（9-54） 式得测边网边长误差方程为 i k jkjk k jkjk j jkjk j jkjk i l y s y x s x y s y x s x v +∆+∆+∆-∆-=δδδδ00000000 （9-55）20020000)()()(jk j k jki jk i y y x x ss s l -+-=-=（9-55）就是测边网坐标平差的一般形式，它是假定两端点都是待定点的情况下导出的。
具体计算时，可按不同情况灵活运用。
讨论：1、若某边的两端均为待定点，则（9-55）就是该边的误差方程式。
式中j x δ与k x δ的系数是绝对值相等，符号相反。
j y δ与k y δ的系数也是绝对值相等，符相反。
2、若j 为已知点，则0==j j y x δδ若k 为已知点，则 0==k k y x δδ i j jkjk j jkjk i l y s y x s x v +∆-∆-=δδ00003、若j ，k 均为知点，==j j y x δδ0==k k y x δδ则该边为固定边，不需要列误差方程。
4、某边的误差方程，按jk 方向列立与按kj 方向列立结果完全相同。
若按jk 方向，则i k jkjk k jkjk i l y s y x s x v +∆+∆=δδ0000i k jk jkk jk jk j l y s y x s x y +∆+∆+δδ0000 i j kjkj j kjkj k kjk kji l y s y x s x y s s +∆+∆+δδ000000顾及⎪⎭⎪⎬⎫∆-=∆∆-=∆kj jk kj jk y y x x。