高一数学二次函数培优教材试题

一中高一数学二次函数培优教材
一、
根底知识：
1． 二次函数的解析式
〔1〕一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ 〔2〕顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k 〔3〕两根式：12()()()f x a x x x x =-- 〔4〕三点式：132312321313221231213()()()()()()
()()()()()()()()()()
x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x ------=
++------
2．二次函数的图像和性质
〔1〕2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是2
4(,)24b ac b a a
--，对称轴方程为
2b
x a
=-
，开口与a 有关。

〔2〕单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上为减函数，在[,)2b
a
-+∞上为增函数；0a <时相反。

〔3〕奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数；假设()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，那么x a =为()f x 的对称轴。

〔4〕最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a -，当[,],[,]2b
x m n m n a
∈-∈时，()f x 的最值可从
(),(),()2b f m f n f a -
中选取；当[,],[,]2b
x m n m n a
∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。

常依轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。

3．三个二次之间的关联及根的分布理论：
二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。

二、
综合应用：
例1：二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --，求()f x 的解析式。

例2：2()3f x x ax a =++-，假设[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

例3：集合2{(,)|2}A x y y x mx ==++，{(,)|10,02}B x y x y x =-+=≤≤且，假设A B ≠∅，务实数m 的取值范围。

例4：设2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：〔1〕当x R ∈时，(4)(2)()f x f x f x x -=-≥且，〔2〕
当2
1(0,2),()2x x f x +⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭
时， 〔3〕()f x 在R 上的最小值为0。

①求()f x 的解析式；②求最大
的(1)m m >使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈就有()f x t x +≤。

例5：务实数a 的取值范围，使得对于任意实数x 和任意实数[0,]2
π
θ∈，恒有
2(32sin cos )x θθ+++21(sin cos )8
x a a θθ++≥。

例6：函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两根是12211,,x x x x a
->且，又假设10t x <<，试比拟1()f t x 与的大小。

例7：设2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足121
0x x a
<<<，〔1〕当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；〔2〕设()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明1
02
x x < 三、
强化训练：
1． 二次函数()y f x =满足(3)(3)f x f x +=-，且()0f x =又两个实根12,x x ，那么12x x +等于〔 〕 A . 0 B 3 C. 6 D. 12
2．()()()2()f x x a x b a b =---<，并且,αβ是方程()0f x =的两根，那么实数,,,a b αβ的大小关系可能是〔 〕 ....A a b B a b
C a b
D a b αβ
αβαβ
αβ<<<<<<<<<<<<
3．函数223,[0,]y x x x m =-+∈上有最大值3，最小值2，那么m 的取值范围是〔 〕 .[1,)
.[0,2]
.[1,2]
.(,2]A B C D +∞-∞
4．设函数2()(0)f x x x a a =++>，假设()0,f m <那么(1)f m +的值的符号是________________ 5．2()(lg 2)lg ,(1)2,()2f x x m x n f f x x =+++-=-≥且对于一实在数x 都成立，那么m n +=______ 6．2()lg(21)f x ax x =++的值域是R ，那么实数a 的取值范围是______________________
7．函数20.3()log ()f x x ax a =--的递增区间为(,1-∞，那么实数a 的值是______________
8．设实数,,a b c 满足222870
660a bc a b c bc a ⎧--+=⎨++-+=⎩
，那么实数a ∈_____________________
9．假设函数2113
()22
f x x =-+
在区间[,]a b 上的最大值为2b ，最小值为2a ，求区间[,]a b 。

10．设2()1(0)f x ax bx a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x ，假设1224x x <<<，设()y f x =的对称轴为0x x =，求证01x >- 11．2(),[0,1],02
a
f x x ax x a =-+
∈>，求()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值。

12．是否存在二次函数()f x ，同时满足： 〔1〕(1)0f -=； 〔2〕对于一切x R ∈都有
21
()(1)2
x f x x ≤≤
+？假设存在，写出满足条件的函数的解析式；假设不存在，说明理由。

13．设2()(0)f x ax bx c a =++≠,当[0,1]x ∈时，|()|1f x ≤，求证：合适b A ≤的最小实数A 的值是8。

14．假设0a <，求证：方程21110x x a x a ++=++，〔1〕有两个异号实根；〔2〕正根必小于23a
-
，负根必大于2
23
a -
参考答案
例1：()2(1)( 2.5)f x x x =+-
例2： min ()()072f x g a a =≥⇒-≤≤； 其中
273(4)()3(44)
47(4)
a a a g a a a a a ->⎧⎪⎪
=---≤≤⎨⎪
+<-⎪⎩ 例3：2(1)10,[0,2]x m x x +-+=∈，(2)012f m ∆≥⎧⎪∴≤⇒≤-⎨<⎪⎩0
或m-1
0<-2 例4：〔1〕由①②得：1(1)1(1)1f f ≤≤⇒=；21
()(1)4
f x x =+ 〔2〕结合图像可以知道：m 为方程
21
(1)4
x t x ++=的两根，从而1,9t m =-= 例5
：设sin cos ,t t θθ=+∈，原不等式化为：2221
(2)()8
x t x at ++++≥
恒成立 记22
2
()(2)()f x x t x at =++++，那么min 1()8f x ≤ ， 22222
()(2),()22a b t at a b f x -+-+≥∴≥
22221(2)2230225082t at t at t at +-∴≤⇒-+≥-+≤或， 35
22a t a t t t
∴≤+≥+或
min max 357
7
1();()222
2t t t a a t t ≤≤∴+
=+=∴≤≥
例6：提示：22111111()()()()[()]f t x f t f x at bt c ax bx c a t x a t x b -=-=++---=-++ 1()f t x >
例7：方法同例6，此题使97年全国高考理可题。

强化训练：
1．C 2. A 3. C 4. 正 5. 110 6. [0,1] 7. 2a = 8. [1,9] 9．分析对称轴：〔1〕()201,3()2f a b b a a b f b a =⎧>≥⇒⇒==⎨=⎩， 〔2〕()20()2f a a a b f b b
=⎧<≤⇒⇒⎨
=⎩无解 〔
3〕13202()2b a b f a a
⎧
=⎪<<⇒⎨⎪=⎩13213224()2b a b f b a
⎧
=
⎪⇒=-=⎨
⎪=⎩ 10．构造2
(2)0
()()(1)1,(4)0g g x f x x ax b x g <⎧=-=+++⎨
>⎩
可以推出结论。

11．同例2解法 12．2111
()424
f x x x =
++
13．
1111
(1)
(1)4444
113
(0)()(1)(0)
2444 1111
()()
242242
f a b c
f a b c
b
f c f f f
b b
f a c f a c
⎧=++
⎪=++
⎪
=⇒⇒-=+
⎨
⎪
⎪=++=++
⎩
11
4()(1)3(0)||4|()||(1)|3|(0)|8 22
b f f f b f f f
∴=--⇒≤++=，所以A的最小值为8
14．略
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

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功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

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常说口里顺，常做手不笨。

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敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

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“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

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乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。