广东省佛山市高明区高中数学 第二章 随机变量及其分布

2.1.2 离散型随机变量的分布列
第2课时 两点分布与超几何分布
【学习目标】
1．加深对离散型随机变量分布列的理解和应用；
2．通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导过程，并能运用公式解决简单问题． 【重点难点】
重 点:加深对离散型随机变量分布列的理解和应用；
难 点: 通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导过程，并能运用公式解决简单问题． 【学习过程】 一．课前预习 1. 两个特殊分布
（1）两点分布：如果随机变量X 的分布列为：
则称离散型随机变量X 服从两点分布 ，称(1)p P X ==为成功概率 ．
注意：两点分布的随机变量X 只能取0和1，否则，只取两个值的分布不是两点分布. （2）超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件
次品，则()k n k M N M
n
N
C C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中min{,}m M n =，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，
称分布列为超几何分布列 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布 . 二．课堂学习与研讨
【典例1】一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记
X
=⎩
⎪⎨
⎪⎧
0 (两球全红)，1 (两球非全红)，求X 的分布列．
【归纳升华】（1）两点分布又称0～1分布，须注意并不是只取两个值的随机变量才服从两点分布，如随机变量ξ的分布列如下表
它就不是两点分布，但经过适当变换后，它可以变为两点分布．如令0(2)
1(3)
Y ξξ=⎧=⎨=⎩，
则随机变量Y 服从两点分布，分布列为：
（2）用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以研究其它一些随机事件的概率分布．如在有多个结果的随机试验中，我们经常只关心某个随机事件是否发生，这时就可以用两点分布来研究它．
【典例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的概率分布； （2）他能及格的概率．
【归纳升华】（1）处理概率分布问题首先应该明确分布类型．若是我们熟悉的分布问题，可直接运用相关公式或结论求解．
（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．【典例3】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的分布列．
【归纳升华】此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键．
【当堂检测】
1.在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．
2.设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．
3.交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
【课堂小结】
1. 两点分布的几个特点：（1）两点分布的变量X 只取0和1；（2）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；（3）由对立事件概率的求法可知，已知(0)P X =与
(1)P X =中的一个即可求出另一个.
2．解决超几何分布问题的两个关键点：（1）超几何分布是一种重要的概率分布，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解；（2）超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率()P X k =，从而求出X 的分布列.
【课后作业】
1．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X =⎩⎪⎨⎪⎧
1 取出白球0 取出红球
D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
2．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以7
10
为概率的事件是（ ）
A ．都不是一等品
B ．恰有一件一等品
C ．至少有一件一等品
D ．至多有一件一等品
3．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X 表示1次投篮的命中次数，则
(1)P X ==________.
4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为
5．已知离散型随机变量X 的分布列()15
k
P X k ==，1k =、2、3、4、5，令22Y X =-，则(0)P Y >=________.
6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．
（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列； （2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X 的分布列．
7. 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？。