2020届河南省中原名校高三上学期第三次质量考评数学（理）试题

2020届河南省中原名校高三上学期第三次质量考评数学（理）
试题
一、单选题
1．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣10≥0}，B ＝{x |3﹣x ＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，﹣2] B ．（﹣2，3）
C ．（﹣∞，3）
D ．（﹣5，3）
【答案】B
【解析】先化简集合A ,B ,再利用运算法则直接求解即可. 【详解】
2{|3100}A x x x =--{|2x x =-或5}x ,{|3}B x x =<,
{}(){|25}3{|23}R A B x x x x x x ∴⋂=-<<⋂<=-<<,
故选:B. 【点睛】
本题考查集合的混合运算及不等式的求解,属于基础题. 2．已知复数12a i
i
-+是纯虚数，则实数a ＝（ ） A ．﹣1 B ．35
C ．2
D ．﹣2
【答案】C
【解析】先利用复数的运算法则进行化简,再利用纯虚数的定义求解. 【详解】 因为
()(12)2(21)12(12)(12)5
a i a i i a a i
i i i -----+==++-是纯虚数, 所以20a -=且210a +≠, 故实数2a =, 故选:C. 【点睛】
本题考查复数的运算法则以及纯虚数的定义,属于基础题.
3．已知向量a 与b 满足a b ⋅=1，|a b +|＝2且|b |＝1，则|a +2b |＝（ ） A ．3 B ．9
C ．2
D ．4
【答案】A
【解析】由|a b +|＝2，平方()
2
2224a b
a a
b b +=+⋅+=，再根据a b ⋅=1，且|b |＝1，
求得a ， 然后代入|a +2b |=
2244a a b b =+⋅+求解.
【详解】 因为|a b +|＝2， 所以|()
2
2224a b
a a
b b +=+⋅+=，
又因为a b ⋅=1，且|
b |＝1， 所以1a =， 所以|a +2b 22443a a b b =+⋅+=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知1
tan 3
α=-，则cos2=α（ ） A ．
35
B ．35
C ．45
-
D ．
4
5
【答案】D
【解析】利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式将cos2α化为
221tan tan 1α
α-+,再代数求解即可. 【详解】
1
tan 3
α=-,
2
2
2
2221
1cos sin 1tan 49cos 21sin cos tan 15
19
ααααααα-
--∴===
=+++, 故选:D. 【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用,属于基础题. 5．已知a ＝log 25，b ＝log 38，c ＝0.20.3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜c ＜a
【答案】A
【解析】根据对数函数的单调性有log 25> log 24=2，所以a > 2，同理1= l og 33 < l og 38 <log 39=2，所以1 <b <2，再由指数函数的单调性有c <1，得到结论.
【详解】
因为log 25> log 24=2， 所以a > 2
因为1= l og 33 < l og 38 <log 39=2， 所以1 <b <2 又因为c ＝0.20.3<1 所以 c ＜b ＜a 故选：A 【点睛】
本题主要考查了利用函数单调性比较大小，还考查了转化问题的能力，属于基础题.
6．
2
2
-⎰|1﹣x 2
|dx ＝（ ）
A ．
43
B ．4
C ．
83
D ．
163
【答案】B
【解析】根据函数2|1|x -为偶函数,将原式转化为[0,2]上的定积分,再分别转化为[0,1]和[1,2]上的定积分之和即可. 【详解】
函数2|1|y x =-为偶函数,
∴
2
2122222
332001
1211|1|2|1|2(1)2(1)2()|2()|40133x dx x dx x dx x dx x x x x --=-=-+-=-+-=⎰⎰⎰⎰, 故选:B. 【点睛】
本题考查了定积分的计算,考查了计算能力,难度不大.
7．已知命题p ：“∃x ＞1，x 2﹣x ﹣1＞0”的否定是“∀x ≤1，x 2﹣x ﹣1≤0”；命题q ：在△ABC 中，“sinA ＞sinB ”是A ＞B ”的充分条件，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p ∧q B ．p ∨（￢q ）
C ．（￢p ）∧（￢q ）
D ．p ∨q
【答案】D
【解析】分别判定命题p ,q 的真假,再利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【详解】
命题p :“1x ∃>,210x x -->”的否定是“1x ∀>,210x x --”; 所以命题p 是假命题,p ⌝为真命题;
命题q :因为在ABC ∆中,若sin sin A B >,则2sin 2sin R A R B >,即a b >,则A B >, 所以“sin sin A B >”是A B >”的充分条件, 故命题q 为真命题,命题q ⌝是假命题; 故选:D. 【点睛】
本题主要考查复合命题之间的真假关系,根据不等式的性质分别判定命题p ,q 的真假是解决本题的关键.
8．将函数g （x ）＝﹣4sin 2（212x π+）+2图象上点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再向右平移
4π
个单位长度，得到函数f （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数f （x ）在区间[23π，
76
π
]上单调递减 B ．函数f （x ）的最小正周期为2π
C ．函数f （x ）在区间[34π，
43
π
]的最小值为D ．x 12
π
=
是函数f （x ）的一条对称轴
【答案】C
【解析】利用倍角公式降幂,再由伸缩与平移变换求得()f x 的解析式,然后逐一核对四个选项的正误即可得答案. 【详解】
2()4sin ()22[1cos2()]22cos()2122126x x g x x πππ
=-++=--++=+,
函数()g x 图象上点的横坐标缩短到原来的1
2倍(纵坐标不变),再向右平移4
π个单位长度,
得到函数()2cos[2()]2sin(2)466f x x x πππ
=-+=+,
由
273
6x
π
π,得352[,]622
x πππ+∈,可知函数()f x 在区间2[3π,7]6π上单调递增,故A 错
误;
由22T π
π=
=,可知函数()f x 的最小正周期为π,故B 错误;
由3443x ππ,得52[63x ππ+∈,17]6π,∴当5263
x ππ
+=时,()f x 有最小值为故C 正
确;
由()2sin(2)2sin 2121263f ππππ
=⨯+==,可知12x π
=不是函数()f x 的对称轴,故D
错误. 故选:C. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用,考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象与性质,考查计算能力,属于中档题.
9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（ ） A ．5.5尺 B ．4.5尺
C ．3.5尺
D ．2.5尺
【答案】A
【解析】先设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，根据题意有
14713931.5a a a a d ++=+=，9193685.5S a d =+=，然后由两式求解.
【详解】
设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ， 根据题意得
14713931.5a a a a d ++=+=， 9193685.5S a d =+=，
解得113.5,1a d ==-， 所以918 5.5a a d =+=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是对角线AC 的靠近C 点的三等分点，过点M 的直线分别与射线AB 、AD 交于EF 两点.已知AE xAB =，AF y AD =，则x +4y 的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．2【答案】A
【解析】结合已知及向量共线基本定理可得113
2
x y
+=,而
211
4(4)()
3
x y x y
x y
+=++,展开
后利用基本不等式即可求解. 【详解】
AE xAB
=,AF y AD
=,
由题意可得,
22
()
33
AM AC AB AD
==+
211
()
3
AE AF
x y
=+,
M,E,F共线,
∴
211
()1
3x y
+=,即
113
2
x y
+=,
则
211242
4(4)()(5)(54)6
333
y x
x y x y
x y x y
+=++=+++=,
当且仅当
4y x
x y
=且211
()1
3x y
+=,即2
x=,1
y=时取等号,
故选:A.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算的应用及平面向量共线定理,结合了基本不等式的应用,属于中档题.
11．已知函数f（x）
2
4
1
x
e
x
x
x
x
x
⎧
⎪⎪
=⎨
⎪≤
⎪+
⎩
，＞
，
，若关于x的方程2[f（x）]2﹣（7+2m）f（x）
+7m＝0有3个不等的实数根，则实数m的取值范围是（）
A．{m|m＞e} B．{m|m＝﹣2或0＜m＜e}
C．{m|m＝﹣2或0≤m≤e} D．{﹣2，0，e}
【答案】D
【解析】先由题意画出函数()
f x的大致图象,再由方程求出()
f x的解,将方程的根的情况转化函数图像的交点问题,则要使有3个根,就是()
f x与y m
=再有1个交点,从而得出m的值.
【详解】
0x >时,22
(1)
()x x x e x e e x f x x x --'=
=, 所以(0,1)x ∈,()0f x '<,()f x 单调递减,
(1,)x ∈+∞,()0f x '>,()f x 单调递增,
()f x f ∴(1)1
1
e e ==;
0x ,22222
4(1)4(2)4(1)(1)
()(1)(1)x x x x x f x x x +-+-'==++,
(,1)x ∴∈-∞-,()0f x '<,()f x 单调递减, (1,0)x ∈-,()0f x '>,()f x 单调递增,
4
()(1)22
f x f -∴≥-=
=-; 函数图像如图所示:
又关于x 的方程22[()](72)()70f x m f x m -++=,解得7
()2
f x =
或()f x m =; 7
2e >,其与函数()f x 已经有两个交点,要使有3个交点只需2m =-或0或e , 故选:D. 【点睛】
本题考查方程的根的问题,考查数形结合思想,属于中档题.
12．奇函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，当x ＜0时，()f x '2
x
-＜f （x ），则使得（x 2﹣1）f （x ）＜0成立的x 的取值范围为（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C ．（﹣1，0）∪（1，+∞） D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】C
【解析】根据当x ＜0时，f
x 2
x
-＜f （x ）的结构特征，构造函数()()2h x x f x =，
求导得()()()(2)h x x xf x f x ''=+，由当x ＜0时，f x 2
x
-＜f （x ），得
()()2h x x f x =在()0-∞，
上是减函数，再根据f （x ）奇函数，则()()2h x x f x =也是奇函数，()()2
h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，又因为函数f （x ）在R 上存在导
数f x ，
所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，将（x 2﹣1）f （x ）＜0转化为(
)
2
1()0x h x -<求解. 【详解】
设()()2
h x x f x =，
所以()()()(2)h x x xf x f x ''=+， 因为当x ＜0时，f
x 2
x
-＜f （x ），
即()()20xf x f x '+>，
所以()()()(2)0h x x xf x f x ''=+<，
所以()()2
h x x f x =在()0-∞，
上是减函数. 又因为f （x ）奇函数，
所以()()2
h x x f x =也是奇函数，
所以()()2
h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，
又因为函数f （x ）在R 上存在导数f x ，
所以函数f （x ）是连续的，
所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，
所以（x 2﹣1）f （x ）＜0()2
1()0x h x ⇔-<210()0x h x ⎧->⇔⎨<⎩或2
10
()0
x h x ⎧-<⎨
>⎩ 解得1x >或10x -<< 故选：C 【点睛】
本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
二、填空题
13．已知函数f （x ）3200
x x log x x ⎧≤=⎨⎩，，＞，则f （f
（3））＝_____．
【答案】
2
【解析】从内到外，根据函数的定义域，先求f
，再求f （f
））. 【详解】
因为f
（3
）
=12331332log log -==-，
所以 f （f
（3
））
=
121222f -⎛⎫-==
⎪⎝⎭
.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值及指数，对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14．已知函数f （x ）22
(1)21
x sin x
x ++=++ax 在区间[﹣b ，b ]上的值域为[m ，n ]，则m +n ＝_____. 【答案】2.
【解析】化简函数()f x ,得22sin 2()11x x f x ax x +-=
++,令
22sin 2()1
x x
g x ax x +=++,其为奇函数,则由奇函数的性质可得max min ()()0g x g x +=,进而求得m n +. 【详解】
22212sin 22sin 2()111x x x x x
f x ax x x ++++==++++,
故22sin 2()11x x
f x ax x +-=
++, 令2
2sin 2()1
x x
g x ax x +=++,易知,函数()g x 为奇函数, ∴在区间[b -,]b 上max min ()()0g x g x +=,即110m n -+-=,故2m n +=.
故答案为:2. 【点睛】
本题考查奇函数的性质,考查化简运算能力,难度不大.
15．已知()f x '是函数y ＝f （x ）的导函数，定义()f x ''为()f x '的导函数，若方程()f x ''＝0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y ＝f （x ）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设f （x ）＝x 3﹣3x 2﹣3x +6，则f （12019）+f （22019）+……+f （4037
2019
）＝_____．
【答案】4037
【解析】对f （x ）＝x 3﹣3x 2﹣3x +6，求导得()f x '
＝3x 2﹣6x ﹣3＝3（x 2﹣2x ﹣1），再对
()f x '求导得()f x ''＝6x ﹣6，并令()f x ''＝6x ﹣6＝0，求得对称中心，再利用对称性
求解. 【详解】
∵f （x ）＝x 3﹣3x 2﹣3x +6，
∴()f x '＝3x 2﹣6x ﹣3＝3（x 2﹣2x ﹣1），()f x ''＝6x ﹣6， 由()f x ''＝6x ﹣6＝0可得x ＝1，而f （1）＝1， 根据已知定义可知，f （x ）的对称中心（1，1）， 从而有f （2﹣x ）+f （x ）＝2， 所以f （
12019）+f （22019）+……+f （40372019）＝24037
2
⨯
=4037． 故答案为：4037 【点睛】
本题主要考查了函数的对称性及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．已知S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝4，6S n ＝a n 2+3a n +λ（n ∈N ，λ∈R ），设b n ＝（n ﹣μ）a n ，若b 2是数列{b n }中唯一的最小项，则实数μ的取值范围是_____. 【答案】（
103，16
3
） 【解析】先根据数列满足14a =,2
63(*,)n n
n S a a n N R λλ=++∈∈,求出其通项公式,进而求出()n n b n a μ=-的通项公式,再结合2b 是数列{}n b 中唯一的最小项,即可求出实数μ的取值范围. 【详解】
∵S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且满足a 1=4,6S n =a n 2+3a n +λ(n ∈N ,λ∈R ), ∴6×4=42+3×4+λ⇒λ=﹣4, ∴6S n =a n 2+3a n ﹣4,① 6S n ﹣1=a n ﹣12+3a n ﹣1﹣4,②
①﹣②⇒6a n =a n 2+3a n ﹣4﹣(a n ﹣12+3a n ﹣1﹣4)⇒(a n +a n ﹣1)(a n ﹣a n ﹣1﹣3)=0,
∵a n >0⇒a n ﹣a n ﹣1﹣3=0⇒数列{a n }是首项为4,公差为3的等差数列,
∴a n =4+3(n ﹣1)=3n +1,
∴b n =(n ﹣μ)a n =(n ﹣μ)(3n +1)=3n 2+(1﹣3μ)n ﹣μ;
∵b 2是数列{b n }中唯一的最小项,
∴其对称轴1323μ--⨯∈(32,52)⇒101633
μ＜＜. 故答案为:(
103,163
). 【点睛】 本题主要考查数列通项公式的求法以及二次函数性质的应用,属于中档题.
三、解答题
17．已知公差不为零的等差数列{a n }前5项的和为35，且a 1，a 2，a 6成等比数列，数列{b n }满足2n a
n b =．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列{b n }的前n 项和S n ． 【答案】（1）a n ＝3n ﹣2；（2）S n 312277
n +=-． 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由()12111545352()5d a a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩
求解.
（2）根据2n a n b =得322n n b -=，有31
31322282
n n n n b b ++-===，所以数列{b n }是等比数列，再利用等比数列前n 项和公式求解.
【详解】
（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，()12111545352()5d a a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩
，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴a n ＝1+3（n ﹣1）＝3n ﹣2；
（2）∵3222n a n n b -==，3112n n b ++=
∴31
31322282
n n n n b b ++-===，又b 1＝2， ∴数列{b n }是以2为首项，以8为公比的等比数列，
则数列{b n }的前n 项和S n ()31218221877n n +-=
=--． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的定义及前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ． （1）求A ；
（2）若△ABC
a 的最小值．
【答案】（1）A 3π
=．（2）a 的最小值为2．
【解析】（1）由正弦定理将（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，转化为（2sin B ﹣sin C ）
cos A ＝sin A cos C ，再利用两角和的正弦公式求解.
（2）根据A 3π
=和△ABC
12=bc sin
A 4
=bc ，求得bc ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，再利用基本不等式求解.
【详解】
（1）∵（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，
∴由正弦定理可得：（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，
∴2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ＝sin （A +C ）＝sin B ，
∵sin B ≠0，
∴cos A 12
=， ∵A ∈（0，π），
∴A 3π
=．
（2）∵A 3π=
，△ABC
的面积为12=bc sin
A =bc ， ∴bc ＝4， ∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ＝bc ＝4，
解得a ≥2，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立，
∴a 的最小值为2．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣2m ）x 1
2m -在（0，+∞）上单调递增，g （x ）＝x 2﹣4x +t . （1）求实数m 的值；
（2）当x ∈[1，9]时，记f （x ），g （x ）的值域分别为集合A ，B ，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）m ＝1（2）﹣42≤t ≤5
【解析】(1)利用幂函数的性质即可求解;
(2)先求出()f x ,()g x 的值域A ,B ,再利用命题q 是命题p 的必要不充分条件可以推出“A ⫋B ,”,由此即可求解.
【详解】
(1)∵f (x )=(3m 2﹣2m )x 12m -为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增; ∴2321102m m m ⎧-=⎪⎨-⎪⎩
＞⇒m =1; (2)由(1)可得12()f x x =,
当x ∈[1,9]时,f (x )值域为:[1,3],
g (x )=x 2﹣4x +t 的值域为:[t ﹣4,t +45],
∴A =[1,3],B =[t ﹣4,t +45];
∵命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,且命题q 是命题p 的必要不充分条件,
∴A ⫋B ,
∴41453
t t -≤⎧⎨+≥⎩425t ⇒-≤≤, 故实数t 的取值范围为[42,5]-.
【点睛】
本题考查了幂函数的性质以及条件的充分性与必要性,考查学生分析与推理能力,属于中档题.
20．已知函数f （x ）2121
x x +=-，g （x ）()21f x =+-1． （1）若f （a ）＝2，求实数a 的值；
（2）判断f （x ）的单调性，并证明；
（3）设函数h （x ）＝g （x ）()
1g x +（x ＞0），若h （2t ）+mh （t ）+4＞0对任意的正实数t 恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）a ＝log 23；（2）函数f （x ）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，证明见解析（3）[﹣3，+∞）．
【解析】（1）根据f （a ）＝2，代入解析式求解.
（2）函数f （x ）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，用单调性的定义证明.
（3）化简得到()()1202
x x h x x =+＞，将()()22112422422t t t t h t mh t m ⎛⎫++=+
+++ ⎪⎝⎭＞0对任意的正实数t 恒成立，通过换元()1202
t t t μ=+＞，μ∈（2，+∞），转化为μ2+m μ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立，即2m μμ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭＞对任意μ∈（2，+∞）恒成立，再求解2y μμ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭最大值即可.
【详解】
（1）∵()21221
a a f a +==-， ∴2a ＝3，
∴a ＝log 23；
（2）函数f （x ）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，
证明如下：
函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
因为f （-x ）()21212121
x x x x f x --++==-=--- 所以f （x ）是奇函数
任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <
()212212121
x x x f x -+==+--，
()()()()()
21121212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫-=+-+= ⎪----⎝⎭ 因为()12,0,x x ∈+∞
所以12210,210x x
->->
因为12x x <
所以21220x x ->
所以()()120f x f x ->
所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减，
又因为f （x ）是奇函数
故函数f （x ）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减； （3）()()212021121
x x x g x x =+=≠+--，()()1202x x h x x =+＞， ∴()()22112422422t t t t h t mh t m ⎛⎫++=+
+++ ⎪⎝⎭＞0对任意的正实数t 恒成立， 令()1202t t
t μ=+＞，则μ∈（2，+∞）， ∴μ2+m μ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立， 即2m μμ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
＞对任意μ∈（2，+∞）恒成立， 又2y μμ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭在（2，+∞）上单调递减，故23μμ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜， 则m ≥﹣3，即实数m 的取值范围为[﹣3，+∞）．
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性及不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）．
（1）求f （x ）的单调区间；
（2）设g （x ）＝lnx 344x x
-+，若对任意的x 1∈（0，+∞），存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）＜g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）当a ≤0时，f （x ）单调递增区间是（0，+∞）；当a ＞0时，f （x ）单调递
增区间是（0，1a ），单调递减在区间是（1a ，+∞）.（2）a ． 【解析】（1）函数求导得()11'ax f x a x x
-=
-=，然后分a ≤0和a ＞0两种情况分类求解.
（2）根据对任意的x 1∈（0，+∞），存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）＜g （x 2）成立，等价于f （x ）max ＜g （x ）max ，然后分别求最大值求解即可.
【详解】
（1）()11'ax f x a x x
-=-=， 当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当a ＞0时，在区间（0，
1a ）上，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 在区间（1a
，+∞）上，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减． 综上：当a ≤0时，f （x ）单调递增区间是（0，+∞），
当a ＞0时，f （x ）单调递增区间是（0，1a ），单调递减在区间是（1a
，+∞）. （2）()()()222213113143'4444x x x x g x x x x x
-+--+-=--⨯==， 在区间（1，3）上，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，
在区间（3，+∞）上，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，
所以g （x ）max ＝g （3）＝ln 312
-， 因为对任意的x 1∈（0，+∞），存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）＜g （x 2）成立， 等价于f （x ）max ＜g （x ）max ，
由（1）知当a ≤0时，f （x ）无最值，
当a ＞0时，f （x ）max ＝f （
1a ）＝﹣lna ， 所以﹣lna ＜ln 312
-，
所以3
lna ＞ln ，
解得a 【点睛】
本题主要考查了导数与函数的单调性及不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
22．已知函数f （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2（a ∈R ）.
（1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）若函数f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），证明：x 1+x 2＜0.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析
【解析】(1)对函数求导,根据a 的取值进行分情况讨论,判断函数的单调性;
(2)先判断函数()f x 有两个零点时a 的取值范围为0a >,再利用极值点偏移法,构造函数()()()g x f x f x =--,0x >,证明即可.
【详解】
(1)f (x )=(x ﹣1)e x +ax 2,
f ′(x )=x (e x +2a ),
①当a ≥0时,e x +2a >0,
故当x ∈(﹣∞,0)时,f '(x )<0,当x ∈(0,+∞)时,f '(x )>0,
所以函数f (x )在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
②当a <0时,由f '(x )=x (e x +2a )=0,得x =0,或x =ln(﹣2a ),
i 当﹣2a >1即a 12
-＜时,ln(﹣2a )>0, 故当x ∈(﹣∞,0),(ln(﹣2a ),+∞)时,f '(x )>0,f (x )递增,当x ∈(0,ln(﹣2a ))时,f '(x )<0,f (x )递减; ii 当0<﹣2a <1即12-＜a <0时,ln(﹣2a )<0,
故当x ∈(﹣∞,ln(﹣2a )),(0,+∞)时,f '(x )>0,f (x )递增,当x ∈(ln(﹣2a ),0)时,f '(x )<0,f (x )递减; iii 当﹣2a =1即a 12
=-,ln(﹣2a )=0,f '(x )≥0,f (x )在R 上递增; (2)函数f '(x )=x (e x +2a ),由(1)可知:
①当a =0时,函数f (x )=(x ﹣1)e x 只有一个零点,不符合题意;
②当a <12
-时,f (x )的极大值为f (0)=﹣1,f (x )极小值为(ln(2))(0)1f a f -<=-, 故最多有一个零点,不成立;
③当12-＜a <0时,f (x )的极大值为f (ln(﹣2a )=[ln(﹣2a )﹣1]e ln(﹣2a )+a ln 2(﹣2a )=a [ln 2(﹣2a )﹣2ln(﹣2a )+2]=a [(ln(﹣2a )﹣1)2+1]<0,
故最多有一个零点,不成立;
④当a 12
=-时,f (x )在R 上递增, 故最多有一个零点不成立;
③当a >0,函数f (x )在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
又f (0)=﹣1,f (1)=a >0,故()f x 在(0,1)存在一个零点x 2,
因为x <0,所以x ﹣1<0,0<e x <1,所以e x (x ﹣1)>x ﹣1,
所以f (x )>ax 2+x ﹣1,
取x 0=,显然x 0<0且f (x 0)>0, 所以f (x 0)f (0)<0,故()f x 在(x 0,0)存在一个零点x 1,
因此函数f (x )有两个零点,且x 1<0<x 2,
要证x 1+x 2<0,即证明x 1<﹣x 2<0,
因为f (x )在(﹣∞,0)单调递减,故只需f (x 1)=f (x 2)>f (﹣x 2)即可,
令g (x )=f (x )﹣f (﹣x ),x >0,
g '(x )=x (e x +2a )﹣xe ﹣x ﹣2ax =x (e x ﹣e ﹣x )>0,
所以g (x )在()0+∞，
上单调递增, 又g (0)=0,所以g (x )>0,
故f (x 1)=f (x 2)>f (﹣x 2)成立,
即x 1+x 2<0成立.
【点睛】
本题考查导数法判断函数的单调性,考查函数的零点,极值点偏移问题,难度较大,综合性较强.。