关于高考数学导数讲义

导数的定义、运算和运用一
考向一：定义平均变化率瞬时变化率,适当补充极限定义
例函数221y x =+在闭区间[1,1]x +∆内的平均变化率为 A.12x +∆ B. 2x +∆ C. 32x +∆ D. 42x +∆
解析∵f1+△x=21+△x 2+1=2△x 2+4△x+3,f1=2,∴该函数在区间1,1+△x 上的平均
变化率为=∆∆+∆=∆-∆+=∆∆x
x x x f x f x y 42)1()1(242x +∆ 例若'0()3f x =-,则000
()(3)
lim
h f x h f x h h
→+--=
A ．3-
B ．6-
C ．9-
D ．12- 解析
0000000
00()(3)()(3)()(3)
lim
lim 44lim 44h h h f x h f x h f x h f x h f x h f x h h h h
→→→+--+--+--=⨯='04()12f x ==-;故选D;
练1若2)(0='x f ,则k
x f k x f k 2)
()(lim
000
--→等于
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．2
1 练2若'0()3f x =-,则000
()(3)
lim
h f x h f x h h
→+--=
A ．3-
B ．6-
C ．9-
D ．12- 解析1根据导数的定义知
k x f k x f k 2)()(lim
000
--→=000()()1lim 2k f x k f x k -→----=01
()2
f x '-=-1
解析2()()()()
()12-443lim 43lim
0000000
='=--+=--+→→x f h
h x f h x f h h x f h x f h h 考向二：导数几何意义在/过某点切线
例曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为
A ．330x y ++=
B ．330x y -+=
C ．30x y -=
D ．330x y --=
解析∵'23y x =,∴'13x k y
=-==,由点斜式知切线方程为：()31y x =+,即
330x y -+=.
例过点)1,1(-且与曲线x x y 23-=相切的直线方程为 A ． 20x y --=或5410x y +-= B ．02=--y x C ．20x y --=或4510x y ++= D ．02=+-y x
解析设切点为3000(,2)x x x -,因为232y x '=-,所以切线的斜率为0
20|32x x k y x ='==-,
所以切线方程为320000(2)(32)()y x x x x x --=--,又因为切线过点(1,1)-,所以
3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--即32002310x x -+=,注意到(1,1)-是在曲线32y x x
=-上的,故方程32002310x x -+=必有一根01x =,代入符合要求,进一步整理可得
32002(1)3(1)0
x x ---=即
2000002(1)(1)3(1)(1)0
x x x x x -++--+=,也就是
2000(1)(21)0x x x ---=即200(1)(21)0x x -+=,所以01x =或01
2
x =-
,当01x =时,20321k x =-=,切线方程为(1)1y x --=-即20x y --=；当01
2
x =-
时,203532244k x =-=-=-,切线方程为5
(1)(1)4
y x --=--即5410x y +-=
例设直线l 1,l 2分别是函数fx = ln ,01,
ln ,1,x x x x -<<⎧⎨
>⎩
图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2
分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 A.0,1 B.0,2 C.0,+∞ D.1,+∞
练1已知直线l 过点)1,0(-,且与曲线x x y ln =相切,则直线l 的方程为 . 练2曲线2)(3-+=x x x f 的一条切线平行于直线014=--y x ,则除切点外切线与曲线的另一交点坐标可以是
A ．(1,0)
B ．(2,10)--
C ．(1,4)--
D ．(2,8)
练3若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线ln(1)y x =+的切线,则b = ．
解析1将()ln f x x x =求导得()ln 1f x x '=+,设切点为00(,)x y ,l 的方程为
000(ln 1)()y y x x x -=+-,因为直线l 过点)1,0(-,所以0001(ln 1)(0)y x x --=+-.又000ln y x x =,所以0000001ln (ln 1),1,0x x x x x y --=-+∴==.所以切线方程为1-=x y .
解析2设切点()00,y x P ,则()13'2+=x x f ,于是()13|'2
00
+===x x f K x x 切,因为切线平行
于直线014=--y x ,所以4132
=+x ,即10±=x .则()()4,10,1--或P ,切线方程为：()14-=x y 或()144+=+x y 分别与曲线方程联立可解得另一交点坐标为()12,2--或
()8,2
解析3对函数ln 2y x =+求导得1y x '=
,对ln(1)y x =+求导得11
y x '=+,设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ,与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ,则
1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+,由点111(,)P x y 在切线上得()111
1
ln 2()y x x x x -+=
-,由点222(,)P x y 在切线上得2221
ln(1)()1
y x x x x -+=
-+,这两条直线表示同一条直线,所以12221
2111
21
ln(1)ln 1x
x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨
+⎪+=+⎪+⎩
,解得111
11,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 考向三：常用函数导数与导数的四则运算
例函数1ln 1ln x
y x
-=+的导数是 A. 22(1ln )x -
+ B.2)ln 1(2
x x + C.22(1ln )x x -+ D .21(1ln )x x -+
解析1ln (1ln )22
1,1ln 1ln 1ln x x y x x x
--++=
==-++++ 所以()
()221
0222(1)().1ln 1ln 1ln x y x x x x -⋅
'''=-+==-+++ 例若2()2'(1)f x xf x =+,则'(0)f 等于
A. －2
B. －4
C. 2
D. 0
解析∵2()2'(1)f x xf x =+,∴()2'(1)2f x f x '=+,∴(1)2f '=-,∴ ()24f x x '=-,∴
(0)4f '=-
练1已知函数()2
x
f x x =
-,则(1)f '= A ．-1 B ．-3
D ．-2
练2已知函数),3
('2sin )(πxf x x f +=则=)3
('π
f
A.21-
B.0
C.21
D.2
3 练3设曲线1
1
x y x +=
-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a 等于 A. 2 B. 12 C. 1
2
- D. 2-
练4
等比数列{}n a 中, 4,281==a a ,函数)())(()(821a x a x a x x x f ---= ,则=
)0('f
A.6
2 B. 9
2 C. 12
2 D. 15
2
解析1根据题意,由于函数
解析2注意到)3
(πf '是常数,所以)3
(2cos )(πf x x f '+=',令3
π
=x 得
)3(23cos )3(πππf f '+='2
1)3(-='⇒πf 解析3由()()()
22
1112111x x x y y x x x --++'=⇒==----曲线1
1x y x +=-在点(3,2)处的切线的斜率为1
2
k =-
; 又直线10ax y ++=的斜率为a - ,由它们垂直得()1
122
a a -⨯-=-⇒=- 解析4因为128128()()()()+x[()()()]f x x a x a x a x a x a x a ''
=------,
所以
4412
128123818(0)...()82()()()=f a a a a a a a a a '=---===.
考向四：导数运用： 函数图像
例函数()y f x =的图象如图所示,则导函数()y f x '=的图象可能是
解析先根据导函数f'x 的图象得到f'x 的取值范围,从而得到原函数的斜率的取值范围,从而得到正确选项．由于原函数都是递减区间可知导数都小于零,故排除A,B,C,只能选D.
例已知函数()f x 的定义域为[1,4]-,部分对应值如下表,
()f x 的导函数()y f x '=的图象如右图所示.当12a <<时,函数()y f x a =-的零点的
个数为
解析根据导函数图象,知2是函数的1极小值点,函数()x f y =的大致图象如图所示,由于()()230==f f ,21<<a ,所以()a x f y -=的零点个数为4个
练1定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =,'()f x 为()f x 的导函数,已知'()y f x =的图象如右图所示,若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<,则22
b a ++的取值范围是
A ． -∞, -3
B ．-∞, 12
∪3,+∞ C ．1(,3)2
D ．11(,)32
练2在同意直角坐标系中,函数22322()2
a y ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能的是
练3已知函数321
1()2213
2
f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限,则实数a 的取值范围是 ．
解析1由导数图像可知,()0-，
∞函数减,()∞+，0函数增,()12<+b a f ,
即
A
B C
D
()()42f b a f <+,即420<+<b a ,等价于⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>+<+>>0
24200b a b a b a ,如图：
22++a b 表示可行域内的点到()22--，
D 连线的斜率的取值范围21
,3==BD CD k k ,所以取值范围为⎪⎭
⎫
⎝⎛321，
解析2当0a =时,两函数图像为D 所示,当0a ≠时,由223410y a x ax '=-+=得：1
x a
=或13x a =
,22a y ax x =-+的对称轴为12x a =.当0a <时,由111
23a a a
<<知B 不对. 当0a >时,由111
23a a a
>>
知A,C 正确. 解析3'()f x =ax 2
+ax-2a=ax 2
+x-2=ax+2x-1,显然a ≠0,①：若a<0,则fx 在
,2-∞-,1,+∞上单调递减,在-2,1上单调递增,因此若要使fx 图像过四个象限,需
5(1)10636
16516(2)10
3f a a f a ⎧=+>⎪⎪⇒-<<-⎨
⎪-=+<⎪⎩
；②：若a>0,则fx 在,2-∞-,1,+∞上单调递增,在-2,1上单调递减,因此若要使fx 图像过四个象限,需5(1)106
16(2)10
3f a a f a ⎧
=+<⎪⎪⇒∈∅⎨
⎪-=+>⎪⎩
,综上,a 的取值范围是16
3
,56
-
-． 单调性极值最值零点
例函数21
ln 2
y x x =-的单调递减区间为
A ．(1,1]- B.(0,1] C.[1,)+∞ D.(0,)+∞
解析根据题意,对于函数2
1ln 2
y x x =-,由于211(1)(1)'x x x y x x x x --+=-==x>0,可知,
当y ’<0时,则可知0<x<1能满足题意,故可知单调减区间为(0,1],
例若函数()21
x a
f x x +=+在1x =处取极值,则a ＝________.
解析因为
()21
x a
f x x +=
+,所以
()()()()222
()11(1)x a x x a x f x x '
'+⋅+-++'=
+＝
()()
22
211x x x a
x +--+＝
()
22
21x x a
x +-+
由题设,()10f '=所以,120,3a a +-=∴=
例若函数fx ＝x －错误!sin2x ＋a sin x 在－∞,＋∞上单调递增,则a 的取值范围是
A ．－1,1
解析法一特殊值法：不妨取a ＝－1,则fx ＝x －错误!sin 2x －sin x ,
f ′x ＝1－错误!cos 2x －cos x ,但f ′0＝1－错误!－1＝－错误!<0,不具备在－∞,＋∞单调递增,排除A,B,D.故选C.
方法二综合法：∵函数fx ＝x －错误!sin 2x ＋a sin x 在－∞,＋∞单调递增,
∴f ′x ＝1－错误!cos 2x ＋a cos x ＝1－错误!2cos 2x －1＋a cos x
＝－错误!cos 2x ＋a cos x ＋错误!≥0,即a cos x ≥错误!cos 2x －错误!在－∞,＋∞恒成立．
当cos x ＝0时,恒有0≥－错误!,得a ∈R ；
当0<cos x ≤1时,得a ≥错误!cos x －错误!,令t ＝cos x ,ft ＝错误!t －错误!在0,1上为增函数,得a ≥f 1＝－错误!；
当－1≤cos x <0时,得a ≤错误!cos x －错误!,令t ＝cos x ,ft ＝错误!t －错误!在－1,0上为增函数,得a ≤f －1＝错误!.综上,可得a 的取值范围是错误!,故选C.
例已知函数fx ＝ax 3－3x 2＋1,若fx 存在唯一的零点x 0,且x 0＞0,则a 的取值范围是 A ．2,＋∞ B ．1,＋∞ C ．－∞,－2 D ．－∞,－1
练1已知13)(23+-+=mx x x x f 在]2,2[-为单调增函数,则实数m 的取值范围为 A ．3-≤m B ．0≤m C ．24-≥m D ．1-≥m
练2若函数21()ln 12
f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值,则实数a 的取值范围 ．
练3关于x 的方程3230x x a --=有三个不同的实数解,则a 的取值范围是__________.
练4已知函数fx ＝x －错误!,gx ＝x 2－2ax ＋4,若任意x 1∈0,1,存在x 2∈1,2,使fx 1≥gx 2,则实数a 的取值范围是__________．
练5已知函数fx ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ,下列结论中错误的是 A ．x 0∈R ,fx 0＝0 B ．函数y ＝fx 的图象是中心对称图形 C ．若x 0是fx 的极小值点,则fx 在区间－∞,x 0单调递减 D ．若x 0是fx 的极值点,则f ′x 0＝0
练6如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =
-+-+≥≥，
在区间122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，单调递减,则mn 的最大值为
D.
81
2
解析1依题意有063)('2≥-+=m x x x f 在]2,2[-恒成立,即x x m 632+≤恒成立,即
min 2)63(x x m +≤,当1-=x 时,3)63(min 2-=+x x ,故m 的取值范围是3-≤m
解析22141(21)(21)()2222x x x f x x x x x -+-'=-==,所以函数()f x 的极值点为12,又函数()f x 在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值,所以1
0112
a a ≤-<
<+,解之得312
a ≤<.
解析3设32()3f x x x =-,则2'()36f x x x =-,令'()0f x >,得2x >或0x <,令'()0f x <,得02x <<,∴()f x 在(0,2)上单调递减,在(,0),(2,)-∞+∞上单调递增,∴()f x 在0x =取得极大值0,在2x =取得极小值4-,画出如下()f x 大致的示意图,可得,若要保证方程3230x x a --=有三个不同的实数解,则a 的取值范围是(4,0)- 解析4由于f ′x ＝1＋错误!>0,因此函数fx 在0,1上单调递增,
所以x ∈0,1时,fx min ＝f 0＝－1.
根据题意可知存在x ∈1,2,使得gx ＝x 2－2ax ＋4≤－1,
即x 2－2ax ＋5≤0,即a ≥错误!＋错误!能成立,令hx ＝错误!＋错误!,则要使a ≥hx 在x ∈1,2能成立,只需使a ≥hx min ,又函数hx ＝错误!＋错误!在x ∈1,2上单调递减,所以hx min ＝h 2＝错误!,故只需a ≥错误!.
解析5：基本法：由三次函数的值域为R 知,fx ＝0必有解,A 项正确；因为fx ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象可由y ＝x 3平移得到,所以y ＝fx 的图象是中心对称图形,B 项正确；若y ＝fx 有极值点,则其导数y ＝f ′x 必有2个零点,设为x 1,x 2x 1＜x 2,则有f ′x ＝3x 2＋2ax ＋b ＝3x －x 1x －x 2,所以fx 在－∞,x 1上递增,在x 1,x 2上递减,在x 2,＋∞上递增,则x 2为极小值点,所以C 项错误,D 项正确．选C.
错误解析6由()f x 单调递减得：()0f x '≤,故()280m x n -+-≤在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上恒成立;而()28m x n -+-是一次函数,在1
22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
上的图像是一条线段;故只须在两个端点处()10,202f f ⎛⎫
''≤≤ ⎪⎝⎭
即可;即 ()()()()
1
280,12
2280,2m n m n ⎧-+-≤⎪⎨⎪-+-≤⎩
,
由()()212⨯+得：10m n +≤;所以,2
252m n mn +⎛⎫
≤≤ ⎪⎝⎭
. 选C; 错误原因mn 当且仅当5m n ==时取到最大值25,而当5m n ==,,m n 不满足条件
()()1,2;
正确解析6同前面一样,m n 满足条件()()1,2;由条件()2得：()1
122
m n ≤
-;于是,()2
11121218222n n mn n n +-⎛⎫
≤-≤= ⎪⎝⎭
;mn 当且仅当3,6m n ==时取到最大值18;经验证,3,6m n ==满足条件()()1,2;故选B ;
简单函数构造
例函数)(x f 的定义域为R,3)1(=-f ,对任意R ∈x ,3)('<x f ,则63)(+>x x f 的解集为
A ．)1,1(-
B ．),1(+∞-
C ．)1,(--∞
D ．),(+∞-∞
解析设()()()63+-=x x f x g ,()()03<-'='x f x g 所以()x g 为减函数,又
()()0311=--=-f g 所以根据单调性()0>x g 的解集是{}1-<x x
例已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,且当0x <时,不等式()()0f x xf x '+<成立, 若0.30.33(3)a f =,b (log 3)(log 3)f ππ= ,3311(log )(log )9
9
c f =,则,,a b c 的大小关系 A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a c b >> 解析设()()
()'()()00g x xf x f x xf x g x '=+<∴<0x ∴<时函数()g x 递减,函数
()y f x =是定义在R 上的奇函数,所以()g x 是偶函数0x ∴>时()g x 递
增,
0.33
1
log 3log 39
π>>,结合图像可知c a b >> 例已知函数
对定义域内的任意都有
=,且当时其导函数
满足若
,则
A ．
B ．
C ．
D ．
解析由题意得,因为函数
对定义域内的任意都有=
,所以函数关于对称,又当时其导函数
满足
,所以当
时,
,所以
在
上单调递增；当时,,所以
在上单调递减,因为
,所以,所以
,又
在
上单调递增,所以
例设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f ',R x ∈∀,有2)()(x x f x f =+-,在),0(+∞上
x x f <')(,若m m f m f 48)()4(-≥--,则实数m 的取值范围为
A ． ]2,2[-
B ． ),2[+∞
C ． ),0[+∞
D ．(,2][2,)-∞-+∞ 解析设()()21
2
g x f x x =- 因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+= , 所以,()()()()()2
21122
g x g x f x x f x x -+=--
-+-=()()20f x f x x -+-= 所以,函数()()212
g x f x x =-为奇函数；又因为,在),0(+∞上x x f <')(,
所以,当时0x > ,()()0g x f x x ''=-< 即函数()()212
g x f x x =-在),0(+∞上为减函数,
因为函数()()21
2
g x f x x =-为奇函数且在R 上存在导数,所以函数()()212
g x f x x =-在R 上为减函数,所以,()()()()()2
21144422
g m g m f m m f m m --=--
--+ ()()()484f m f m m =----0≥ 所以,()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥
所以,实数m 的取值范围为),2[+∞故选B.
练1若)(x f 的定义域为R ,2)(>'x f 恒成立,2)1(=-f ,则42)(+>x x f 解集为 A ．(1,1)- B ．(1)-+∞， C ．(,1)-∞- D ．(,)-∞+∞
练2设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且0)2(=f ,当x>0时,有2
()()0xf x f x x
'-<恒成立,则不等式2()0x f x >的解集是
A.2,0 ∪2,+∞
B.2,0 ∪0,2
C.∞,2∪2,+∞
D.∞,2∪0,2
练3已知实数,,,a b c d 满足11
12=--=-d c b e a a 其中e 是自然对数的底数,则
22()()a c b d -+-的最小值为
A ．4
B ．8
C ．12
D ．18
练4设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-上,其导函数为()f x ',且()02
f π
=,0x π<<,
()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6
f x f x π
<的解集为 ．
解析1设()()24F x f x x =--,则()()2F x f x ''=-,因为2)(>'x f 恒成立,所以
()()20F x f x ''=->,即函数()F x 在R 上单调递增．因为(1)2f -=,所以(1)(1)2(1)4
F f -=----2240=+-=．所以有()()240F x f x x =-->,即
()()24(1)F x f x x F =-->-．所以1x >-,即不等式的解集是(1)-+∞，,故选B ．
解析2不等式的解集就是()0>x f 的解集,由2()()
0xf x f x x '-<恒成立得,()0<'
⎪⎭
⎫
⎝⎛x x f ,函数
()x
x f 为单调递减函数,0)2(=f ,当0>x 时,20<<x ,()0>x f ,2
>x 时,()0<x f ,根据奇函数,知,当0<x 时,2-<x 时,()0>x f ,故选D ．
解析3实数d c b a ,,,满足11
12=--=-d c
b e a a ,a e a b 2-=∴,
c
d -=2 因此点()b a ,在曲线x
e x y 2-=上,点()d c ,在曲线x y -=2上,()()22d b c a -+-的几何意义就是曲线x e x y 2-=到直线x y -=2上点的距离最小值的平方,求曲线
x e x y 2-=平行于直线x y -=2的切线,
x e y 21-=',令121-=-='x e y ,得0=x ,因此切点()2,0-,切点到直线x y -=2的距离
221
1220=+--=
d ,就是两曲线的最小距离,()()2
2d b c a -+-的最小值82=d
解析4令()()
sin f x g x x
=
.因为()f x 在(,0)(0,)ππ-上为奇函数,所以可得()()()()()
()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x
---=
===--.即在(,0)(0,)ππ-上函数()g x 为偶函
数.()()()2
'sin cos 'sin f x x f x x
g x x
-=, 当
0x π
<<时()sin ()cos 0f x x f x x '-<,所以当0x π<<时,
()()()2'sin cos '0sin f x x f x x
g x x
-=<.即在()0,π上函数()g x 单调递增.
因为偶函数图像关于y 轴对称,所以在(),0π-上函数()g x 单调递减.
将()2()sin 6f x f x π<变形可得
()6sin sin 6
f f x x ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭<,即()6g x g π⎛⎫
< ⎪⎝⎭.根据()g x 的单调性及奇偶性可得6
6
x π
π
-
<<
且0x ≠.即所求解集为(,0)(,)6
6
ππ
π-.
考向五：导数实际应用题
例用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时,水箱容积最大最大容积是多少
解析设水箱底边长为cm x ,则水箱高为60(cm)2
x h =-．
水箱容积3
2
2
3()60(0120)(cm )2
x V V x x h x x ===-<<．
23
()1202
V x x x '=-．
令()0V x '=,得0x =舍或80x =．
当x 在(0120)，
内变化时,导数()V x '的正负如下表：
因此在80x =处,函数()V x 取得极大值,并且这个极大值就是函数()V x 的最大值．
将80x =代入()V x ,得最大容积3
2
3808060128000(cm )2
V =⨯-=． 练1一火车每小时煤消耗的费用与火车行驶的速度之立方成正比,已知当速度为每小时20千米时,每小时消耗煤之价格为40元,其他费用每小时要200元,问火车行驶的速度如何时,才能使火车从甲城开往乙城的费用最少;已知火车的最高速度为每小时100千米
练2某隧道长2150米,通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为
10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x 米/秒,根据安全和车流的需要,相邻两车均保持21()6
3
a x x +米的距离,其中a 为常数且112
a ≤≤,自
第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y 秒 1将y 表示为x 的函数；2求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．
解析1设甲、乙之间的距离为a 千米,每小时消耗的煤的费用与火车行驶的速度之间的比例系数为k ,火车行驶速度为x 千米/小时,总费用为y 元;则
()
32200200a y kx a kx x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
;由题意得：34020k =,∴1200k =,∴21200200
y a x x ⎛⎫=+
⎪
⎝⎭(0100)x <≤,令'
()0
f x =得
x =,经检验,
当x =时函
数取极小值
f =
;又
(100)52f a f
=>=,当x =函数取最小值,∴车行的速度为千米/小时,火车从甲城到乙城的费用最省; 解析21y =21
21501055()(551)
63a x x x
+⨯++- =27001918.(020,1)2
ax x a x
++<≤
≤≤．
2当314
a ≤≤时,y ≥1818
= 当且仅当27009ax x
=,
即x
=
即当x 时,min
18y =
当132
4a ≤<时,2270090y a x
'=-+<,故y = f x 在0,20上是减函数,
故当x = 20时,min 27001801820
y a =++=153 + 180a
含参导数讨论单调区间
例已知1()2(2)ln f x ax a x x
=--+R a ∈,讨论)(x f 的单调区间
解析2
22/
)
12)(1(1)2(2)(x
x ax x x a ax x f --=++-=
2/)12()(,0x x x f a --=
=,()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增,在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单减 02a <<,()f x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
上单增,在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单减 2a =,()f x 在()0,+∞上单增
2a >,()f x 在10,a ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
和1,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单减 例设0>a ,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调区间 解析
例1讨论函数x
x 2f (x)x 2
-=
+e 的单调性,并证明当0x >时,(2)20x x e x -++>； 2证明：当[0,1)a ∈时,函数2
x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域．
解析⑴证明：()2e 2x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝
⎭ ∵当x ∈()
()22,-∞--+∞，时,()0f x '>
∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时,
()2e 0=12
x
x f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()
2
4
e
2e x
x
a x x ax a g x x ----'=
()4
e 2e
2x
x
x x ax a x -++=
()3
2
2e 2x x x a x x -⎛⎫+⋅+ ⎪+⎝⎭
=
[)01a ∈，
由1知,当0x >时,()2e 2
x
x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，,只有一解． 使得
2e 2
t
t a t -⋅=-+,(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<,()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>,()g x 单调增
记()e 2t
k t t =+,在(]0,2t ∈时,()()()2
e 102t t k t t +'=>+,∴()k t 单调递增∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦
，． 练1已知3a ≥,函数Fx =min{2|x 1|,x 22ax +4a 2},
其中min{p ,q }=,>p p q q p q.≤⎧⎨⎩
，，
1求使得等式Fx =x 22ax +4a 2成立的x 的取值范围； 2i 求Fx 的最小值ma ；
ii 求Fx 在区间0,6上的最大值Ma .
练2已知函数)0(ln )2()(2<--+=a x x a ax x f ,．讨论()f x 的单调性 练3设1<a ,集合}0|{>∈=x R x A ,}6)1(32|{2a x a x R x B ++-∈=,B A D = 1求集合D 用区间表示
2求函数ax x a x x f 6)1(32)(23++-=在D 内的极值点
练4设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+,其中0a >, 记|()|f x 的最大值为A ．
1求()f x '；2求A ；3证明|()|2f x A '≤． 解析1
2i 设函数()21f x x =-,()2
242g x x ax a =-+-,则
()()min 10f x f ==,()()2min 42g x g a a a ==-+-,
所以,由()F x 的定义知()()(){}
min 1,m a f g a =,即
(
)20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩
ii 当02x ≤≤时,
()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==,
当26x ≤≤时,
()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=． 所以,()348,34
2,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩
．
解析2212(2)1()2(2)+--'=+--=ax a x f x ax a x x =(1)(21)
+-ax x x
当1
122-<⇒<-a a 时,()f x 的增区间为11(,)2-a ,减区间为110,+)2
（，）（，-∞a
当11==22-⇒-a a 时,()f x 在+（0，）
∞单减 当11022->⇒>>-a a 时,()f x 的增区间为11(,)2-a ,减区间为110,+)2（，）（，-∞a
,
综上,2-<a 时,()f x 的增区间为11(,)2-a ,减区间为11
0,+)2
（，）（，-∞a ；
2-=a 时,()f x 在+（0，）
∞单减； 2->a 时,()f x 的增区间为11(,)2-a ,减区间为
11
0,+)2（，）（，-∞a
； 解析3
解析41'
()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．
2当1a ≥时,'
|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f = 因此,32A a =-．
当01a <<时,将()f x 变形为2
()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．
令2
()2(1)1g t at a t =+--,则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值,(1)g a -=,(1)32g a =-,且当
14a
t a
-=
时,()g t 取得极小值,极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a --++=--=-． 令1114a a --<
<,解得13a <-舍去,1
5
a >． 恒成立问题
直接讨论
例已知函数fx ＝x 3＋3|x －a |a ∈R ．
1若fx 在－1,1上的最大值和最小值分别记为Ma ,ma ,求Ma －ma ； 2设b ∈R ,若fx ＋b 2≤4对x ∈－1,1恒成立,求3a ＋b 的取值范围． 解析1因为fx ＝错误!所以f ′x ＝错误! 由于－1≤x ≤1,
i 当a ≤－1时,有x ≥a ,故fx ＝x 3＋3x －3a , 此时fx 在－1,1上是增函数,
因此,Ma ＝f 1＝4－3a ,ma ＝f －1＝－4－3a ,故Ma －ma ＝4－3a －－4－3a ＝8. ii 当－1<a <1时,若x ∈a ,1,则fx ＝x 3＋3x －3a .在a ,1上是增函数；若x ∈－1,a ,
则fx ＝x 3－3x ＋3a 在－1,a 上是减函数．所以,Ma ＝max{f 1,f －1},ma ＝fa ＝a 3.由于f 1－f －1＝－6a ＋2,因此,当－1<a ≤错误!时,Ma －ma ＝－a 3－3a ＋4；当错误!<a <1时,Ma －ma ＝－a 3＋3a ＋2. iii 当a ≥1时,有x ≤a ,故fx ＝x 3－3x ＋3a ,此时fx 在－1,1上是减函数,因此,Ma ＝f －1＝2＋3a ,ma ＝f 1＝－2＋3a ,
故Ma －ma ＝2＋3a －－2＋3a ＝4.
综上,Ma －ma ＝错误!
2令hx ＝fx ＋b ,则hx ＝错误!
h ′x ＝错误!因为fx ＋b 2≤4对x ∈－1,1恒成立,
即－2≤hx ≤2对x ∈－1,1恒成立,
所以由1知,i 当a ≤－1时,hx 在－1,1上是增函数,hx 在－1,1上的最大值是h 1＝4－3a ＋b ,最小值是h －1＝－4－3a ＋b ,则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2,矛盾．
ii 当－1<a ≤错误!时,hx 在－1,1上的最小值是ha ＝a 3＋b ,最大值是h 1＝4－3a ＋b ,所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2,从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤错误!.
令ta ＝－2－a 3＋3a ,则t ′a ＝3－3a 2>0,ta 在错误!上是增函数,故ta >t 0＝－2,因此－2≤3a ＋b ≤0. iii 当错误!<a <1时,hx 在－1,1上的最小值是ha ＝a 3＋b ,最大值是h －1＝3a ＋b ＋2,所以a 3＋b ≥－2且3a ＋b ＋2≤2,解得－错误!<3a ＋b ≤0；
iv 当a ≥1时,hx 在－1,1上的最大值是h －1＝2＋3a ＋b ,最小值是h 1＝－2＋3a ＋b ,所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2,解得3a ＋b ＝0.
综上,得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0.
例设函数()ln 1f x x x =-+． 1讨论()f x 的单调性； 2证明当(1,)x ∈+∞时,1
1ln x x x
-<
<； 3设1c >,证明当(0,1)x ∈时,1(1)x c x c +->.
解析1由题设,()f x 的定义域为(0,)+∞,'1()1f x x
=-,令'()0f x =,解得1x =. 当01x <<时,'()0f x >,()f x 单调递增；当1x >时,'()0f x <,()f x 单调递减.
参变分离
例已知函数),0)(2()(),1ln()(2R a a x x a x g x x f ∈≠-=+=,若对)()(,3x g x f x ≤>∀成立,求实数a 的取值范围 解析22)1ln(,3x x x a x -+≤
∴> ,2
2)
1ln(x
x x x m -+=）（令 2
222/
)
2)(1()
1ln()1(22x x x x x x x x m -++---=）（,)1ln()1(2222x x x x x n +---=）（令 则0)0(,0)1ln(4/=>+=n x x x n
且）（,故0)(,0)(/>>x m x n ），在（∞+3)(x m 上单增,因此)2ln 3
2,(,2ln 32)3(--∞∈-=≤a m a 即
练1已知函数2()ln (0)f x ax x x x a =+->.
1若函数满足(1)2f =,且在定义域内2()2f x bx x ≥+恒成立,求实数b 的取值范围； 2若函数()f x 在定义域上是单调函数,求实数a 的取值范围；
解析11x x x x x f a f ln )(,1,2)1(2-+==∴= 由题b x
x x
≥-
-ln 11,令x x
x x g ln 11)(-
-=, 可得)(x g 在(]1,0上递减,在[)+∞,1上递增,所以0)1()(min ==g x g ,即0≤b 2)0(,ln 2)(>-='x x ax x f
x x a x f ln 2,0)(≥≥'得令,
x x
x h ln )(=设,时当e x =e x h 1)(max
= e a 21
≥
∴当时,函数)(x f 在),0(+∞单调递增． e a 210<<若,x
a x g x x ax x g 12)(),0(,ln 2)('
-=>-= a x x g 21,0)('==,0)(),,21
(,0)(),21,0(//>+∞∈<∈x g a x x g a x
a x 21=
∴时取得极小值即最小值,时而当e
a 210<< 021ln 1)21(<-=a a g ,
必有根0)(/=x f ,)(x f 必有极值,在定义域上不单调.e
a 21
≥∴
练2设函数()()()()()ln ,212.f x x g x a x f x ==--- 若对任意()10,,02
x g x ⎛⎫
∈> ⎪⎝⎭恒成立,求实数a 的最小值；
解析2由题：()()212ln 0a x x --->,在102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时恒成立, 即()()212ln a x x -->在区间102⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上恒成立, 又10x ->,2ln 21x a x >∴+
- 在区间102⎛⎫
⎪⎝⎭
，上恒成立． 设2ln ()21x h x x =+-,102x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，,()()()
22
2212ln 22ln '()11x x x x x h x x x -+-+==-- 又令()21-22ln 0,2m x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，,则()22
22
22'x
m x x x x -+=-+= 当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时,()()'0,m x m x <单调递减,
()1422ln 222ln 202m x m ⎛⎫
∴>=--=-> ⎪⎝⎭
,即()'0h x >在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，恒成立,
所以()h x 在区间102⎛⎫
⎪⎝⎭
，单调递增,()1
2ln 12224ln 21
22
h x h ⎛⎫<=+
=- ⎪⎝⎭
,故24ln 2a ≥-．
例
不能参变分离
例已知函数()ln ln ,(),x f x x a g x ae =-=其中a 为常数,函数()y f x =和()y g x =的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行．
1求a 的值；2求函数()()(1)F x f x g x =--的单调区间；
3若不等式()(1)[(1)]0xf x k x f g x -+-≤在区间[1,)+∞上恒成立,求实数k 的取值范围．
解析1()f x 与坐标轴交点为(,0)a ,1
()f a a
'=
, ()g x 与坐标轴交点为(0,)a ,(0)g a '= 1
a a
∴=
解得1a =±,又0a >,故1a = 2由1知()ln ,()x f x x g x e ==,
令1()1x h x xe -=-,显然函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递减,且(1)0h = 当(0,1)x ∈时,()0h x >,()0F x '∴>,()F x ∴在(0,1)上单调递增 当(1,)x ∈+∞时,()0h x <,()0F x '∴<,()F x ∴在(1,)+∞上单调递减 故()F x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞． 2原不等式等价于：2ln (1)0x x k x --≤在区间[1,)+∞上恒成立． 设2()ln (1)(1)x x x k x x ϕ=--≥则()ln 12x x kx ϕ'=+- 令()()ln 12(1)u x x x kx x ϕ'==+-≥112()2k
u x k x
x
-'∴=-=
①0k ≤时,()0,()u x x ϕ''>在区间[1,)+∞上单调递增,
()(1)120x k ϕϕ''>=->()x ϕ∴在[1,)+∞上单调递增,()(1)0x ϕϕ≥=
不符合题意,舍去． ②当102
k <<时,若1
(1,),()02x u x k
'∈> 则()x ϕ'在1
(1,
)2k
上单调递增,()(1)120x k ϕϕ''>=-> ()x ϕ∴在[1,)+∞上单调递增,()(1)0x ϕϕ≥=
不符合题意,舍去． ③当12
k ≥时,()0u x '≤在[1,)+∞恒成立,
()x ϕ'∴在[1,)+∞上单调递减()(1)120x k ϕϕ''∴≤=-≤()x ϕ∴在[1,)+∞上单调递减
()(1)0x ϕϕ≤=即2ln (1)0x x k x --≤对x ∈[1,)+∞恒成立,
综上所述,实数k 的取值范围是1[,)2
+∞．
两者均可
例己知函数21
()ln ,2
f x x ax x a R =-+∈,若关于x 的不等式 ()1f x ax ≤-恒成立,求整数 a 的最小值:
解析方法一：令21
()()1)ln (1)1
2g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(,
所以21(1)1
()(1)ax a x g x ax a x x -+-+'=-+-=
．当0a ≤时,因为0x >,所以()0g x '>．所
以()g x 在(0,)+∞上是递增函数,
又因为213
(1)ln11(1)120
22g a a a =-⨯+-+=-+>,
所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．
当0a >时,2
1
()(1)
(1)1()a x x ax a x a g x x x -+-+-+'==-
,令()0g x '=,得
1x a =． 所以当1(0,)x a ∈时,()0g x '>；当1
(,)
x a ∈+∞时,()0g x '<,
因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数,在1(,)
x a ∈+∞是减函数．
故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a
a a a a a =-⨯+-⨯+=-． 令
1()ln 2h a a a =
-,因为1(1)02h =>,1
(2)ln 204h =-<,又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函
数．所以当2a ≥时,()0h a <．所以整数a 的最小值为2．
方法二：由()1f x ax -≤恒成立,得21
ln 1
2x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立,
问题等价于
2ln 112x x a x x +++≥
在(0,)+∞上恒成立．令2ln 1
()12x x g x x x
++=
+,
只要max
()a g x ≥．因为22
1
(1)(ln )
2()1
()2x x x g x x x +--'=
+,令()0g x '=,得1ln 02x x --=．设
1()ln 2h x x x =--,因为11
()0
2h x x '=--<,所以()h x 在(0,)+∞上单调递减,
不妨设1
ln 0
2x x --=的根为0x ．
当0(0,)x x ∈时,()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时,()0g x '<,
所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．
所以
00max
02000001
1ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++． 因为
11()ln 2024h =->,1(1)0
2h =-<所以0112x <<,此时0112x <<,即max ()(1,2)g x ∈．所以
2a ≥,即整数a 的最小值为2．
任意存在问题：常见类型
1,,使得,等价于函数
在上的值域与函数
在上的值域的交集不空,即
.
2对
,
,使得
,等价于函数在上的值域是函数
在上的值域的子集,即
.
3已知是在闭区间
的上连续函,则对使得,等价
于
4若对,,使,等价于在上的最小值不小于在
上的最小值即min min )()(x g x f ≥这里假设
存在
例已知函数21()ln 2
f x x a x =-⋅a R ∈,2()24
g x x mx =-+m R ∈．当1a =时,若对任意的1[1,2]x ∈,存在2[1,2]x ∈,使得12()()f x g x ≥,求实数m 的取值范围． 解析由题[1,2]x ∈时,min min ()()f x g x ≥． ∵1a =时,
/1(1)(1)()0x x f x x x x +-=-
=> ()f x 在[1,2]x ∈为增函数,∴
min 1
()(1)2f x f ==
,
222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-．
①当1m <时,()g x 在区间[1,2]上递增,所以
min 1()(1)522g x g m ==-≤
,由
1
522m -≤
解得
9
4m ≥
,舍去；
②当12m ≤≤时,
2min 1
()()42g x g m m ==-≤
,解得
142m ≤-或142m ≥
,∴14
22m ≤≤；
③当2m >时,()g x 在区间[1,2]上递减,所以
min 1()(2)842g x g m ==-≤
,由
1
842m -≤
解
得
15
8
m≥
,∴2
m>.综上,
14
2
m≥
例已知函数
,
,当时,若对任意,存在,使,求实数的取值范围.
解析依题意在上的最小值不小于在上的最小值即,于是问题转化为最值问题.
当时,,所以,则当时,;
当时,,所以当时,.
,
①当时,可求得,由得
这与矛盾.
②当时,可求得,由得这与矛盾.
③当时,可求得,由得.
综合①②③得实数的取值范围是.
练1已知函数
和函数,若存在,使得成立,求实数的取值范围
解析1设函数与在上的值域分别为与,依题意.
当时,,则,所以在上单调递增,所以即.
当时,,所以单调递,所以即.综上所述在上的值域.
当时,,又,所以在在上单调递增,所以即,故在上的值域.因为,所以或解得
练2已知,它们的定义域都是,其中是自然对数的底数,.当,且,函数,若对任意的,总存在,使,求实数的取值范围.
解析2依题实数的取值范围就是使得在区间上的值域是的值域的子集实数的取值范围.
当时, 由得,故在上单调递减,所以即,于是.因,由得.
①当时,,故在上单调递增,所以即
,于是.因为,则当且仅当,即.
②当时,同上可求得.
综上,实数的取值范围是.
若对任意的都有练3已知,其中
,
成立,求实数的取值范围.
解析3 对,有,等价于有.
当时, ,所以在上单调递增,所以.
因为, 令得,又且,.
①当时,,所以在在上单调递增,所以
.令得这与矛盾;
②当时,当时,当时,所以在
上单调递减在上单调递增,所以.令得,又
,所以;
③当时,,所以在上单调递减,所以.
令得,又,所以;
综合①②③得所求实数的取值范围是
零点问题
参变分离
例已知函数m x x x g +-=2ln 2)(在1[e]e
,上有两个零点,求实数m 的取值范围;
解析由题x x m ln 22-=,令x x x h ln 2)(2-=,由x
x x x h )
1)(1(2)(/-+=
,故)(x h 在单增，单减，（]1)1,1[∞+e ,故)2,21[22-+∈e e
m 练设函数()ln ,m f x x m R x =+
∈．讨论函数()'()3
x
g x f x =-零点的个数； 解析函数
21()()(0)33x m x
g x f x x x x '=-
=-->
令()0g x =,得31
(0)
3m x x x =-+>
设
31
()(0)
3
x x x x ϕ=-+≥2()1(1)(1)x x x x ϕ'∴=-+=--+
当(0,1)x ∈时,()0x ϕ'>,此时()x ϕ在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时,()0x ϕ'<,此时()x ϕ在(1,)+∞上单调递减；
所以1x =是()x ϕ的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是()x ϕ的最大值点,
∴()x ϕ的最大值为
12
(1)13
3ϕ=-+=
又(0)0ϕ=,结合y=()x ϕ的图像如图,可知
①当
23m >
时,函数()g x 无零点；②当2
3m =
时,函数()g x 有且仅有一个零点； ③
2
03m <<
时,函数()g x 有两个零点；④0m ≤时,函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述,当
23m >
时,函数()g x 无零点；当2
3m =
或0m ≤时,函数()g x 有且仅有一个零点；当
2
03m <<
时,函数()g x 有两个零点
零点存在定理
例已知函数)()(2
R m e
mx m x g mx ∈-=,当0>m 时,若函数)(x g 存在c b a ,,三个零点,且
c b a <<,求证：c e b a <<<<<-01
解析
练已知函数1()ln ()f x a x a R x
=+∈．当0a >时,讨论函数()y f x =零点的个数．
解析2
1
()ax f x x -'=
．令()0
f x '=,得1x a =． 所以min 1()=()f x f a
=1
ln (1ln )a a a a a +=-．
ⅰ当0a e <<时,min ()0f x >,所以()f x 在定义域内无零点； ⅱ当a e =时,min ()0f x =,所以()f x 在定义域内有唯一的零点； ⅲ当a e >时,min ()0f x <,
①因为(1)10f =>,所以()f x 在增区间1(,)a
+∞内有唯一零点； ②21
(
)(2ln )f a a a a
=-, 设()2ln h a a a =-,则2()1h a a
'=-,
因为a e >,所以()0h a '>,即()h a 在(,)e +∞上单调递增, 所以()()0h a h e >>,即2
1
(
)0f a >,所以()
f x 在减区间1(0,)a 内有唯一的零点． 所以a e >时()f x 在定义域内有两个零点． 综上所述：当0a e <<时,()f x 在定义域内无零点；
当a e =时,()f x 在定义域内有唯一的零点；当a e >时,()f x 在定义域内有两个零点． 例已知函数()()()2
2e 1x f x x a x =-+-． 1讨论()f x 的单调性；
2若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 解析
③若
2
e
a <-
,则()21ln a ->,故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >,当()()
1,ln 2x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增,在()()1,ln 2a -单调递减. IIi 设0a >,则由I 知,()f x 在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，,取b 满足b <0且ln 2
2
b a <,
则()()()2
3
3
21022
a f
b b a b a b b ⎛⎫>-+-=-> ⎪⎝⎭
,所以()f x 有两个零点. ii 设a =0,则()()2x f x x e =-所以()f x 有一个零点. iii 设a <0,若2
e a ≥-,则由I 知,()
f x 在()1,+∞单调递增.
又当1x ≤时,()f x <0,故()f x 不存在两个零点；若2
e
a <-,则由I 知,()f x 在
()()1,ln 2a -单调递减,在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x <0,故()f x 不存在
两个零点.综上,a 的取值范围为()0,+∞.
特殊类
例已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设a =2,b =
1
2
.①求方程()f x =2的根; ②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值； 2若01,1a b <<＞,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值. 解析1因为12,2
a b ==
,所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =,即22
2x
x
-+=,亦即2(2)2210x x -⨯+=,
所以2
(21)0x
-=,于是21x
=,解得0x =. ②由条件知2222(2)2
2(22)2(())2x
x x x f x f x --=+=+-=-.
因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立,且()0f x >,
所以2(())4
()
f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.
而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=,且
2((0))44(0)f f +=, 所以4m ≤,故实数m 的最大值为4.
2因为函数()()2g x f x =-只有1个零点,而0
(0)(0)220g f a b =-=+-=, 所以0是函数()g x 的唯一零点.。