2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学(理)试题(解析版)
安徽师大附中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
安徽师大附中2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、下列语句不是命题的是（ ） A 、﹣3＞4 B 、0.3是整数 C 、a ＞3 D 、4是3的约数2、“直线x ﹣y ﹣k=0与圆（x ﹣1）2+y 2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（ ） A 、﹣1＜k ＜3 B 、﹣1≤k≤3 C 、0＜k ＜3 D 、k ＜﹣1或k ＞3 3、已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（ ）A 、（﹣1，1，0）B 、（1，﹣1，0）C 、（0，﹣1，1）D 、（﹣1，0，1）4、已知：，，类比上述等式，则：a+t=（ ） A 、70 B 、68 C 、69 D 、715、已知命题“∀x ∈R ，x 2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A 、B 、或C 、D 、6、在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知 =，=，=，O 为底面ABCD 中心，G 为△D 1C 1O 重心，则=（ ）（用表示）A、B、C、D、7、设函数，则曲线f（x）在点（1，f（1））处切线方程为（）A、B、C、D、8、设，都是非零向量，命题P：，命题Q：的夹角为钝角．则P是Q的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件9、过点A（2，1）做曲线f（x）=x3﹣3x的切线，最多有（）A、3条B、2条C、1条D、0条10、若f（x）=x2+2 f（x）dx，则f（x）dx=（）A、﹣1B、﹣C、D、111、已知；，则f（n+1）﹣f（n）=（）A、B、C、D、12、若点P（a，b）在函数y=﹣x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b ﹣d）2的最小值为（）A、B、2C、2D、8二、填空题：13、观察下列算式：13=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若某数n3按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n=________．14、命题：等腰三角形两底角相等的逆命题是：________．15、设，对任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．16、设函数f（x）=（x﹣3）3+（x﹣1），数列{a n}是公差不为零的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=________．三、解答题：17、设p：|4x﹣3|≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若：非q是非p的充分不必要条件，求实数a取值范围．18、已知函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数图象关于直线x=2对称(1)求b值；(2)若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域．19、已知数列{a n}满足：(1)求a2，a3；(2)猜想{a n}通项公式并加以证明．20、如图，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE；(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求二面角B﹣AC﹣E的正弦值；(3)求点D到平面ACE的距离．21、已知函数f（x）=x﹣﹣2lnx，a∈R．(1)讨论函数f（x）的单调性；(2)若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，①求a的取值范围；②证明：f（x2）＜x2﹣1．答案解析部分一、<b >选择题：</b>1、【答案】C【考点】四种命题【解析】【解答】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C【分析】命题是表示判断一件事情的语句，根据定义分别判断即可．2、【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（﹣2k﹣2）x+k2﹣1=0，由题意得：△=（﹣2k﹣2）2﹣8（k2﹣1）＞0，变形得：（k﹣3）（k+1）＜0，解得：﹣1＜k＜3，∵0＜k＜3是﹣1＜k＜3的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜k＜3．故选C．【分析】把直线与圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即△＞0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件．3、【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A．若=（﹣1，1，0），则cosθ= =，不满足条件．B．若=（1，﹣1，0），则cosθ= = = ，满足条件．C．若=（0，﹣1，1），则cosθ= = ，不满足条件．D．若=（﹣1，0，1），则cosθ= = ，不满足条件．故选：B【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．4、【答案】D【考点】类比推理【解析】【解答】解：观察下列等式：，照此规律，第7个等式中：a=8，t=82﹣1=63a+t=71．故选D．【分析】观察所给的等式，第n个式子应该是=（n+1）•，即可写出结果．5、【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，故△=4a2﹣12＞0，解得：或，故选：B【分析】若命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，即△=4a2﹣12＞0，解得答案．6、【答案】C【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】【解答】解：取D1C1的中点E，∵G为△D1C1O重心，∴= = × （+ ）= （+ + + ）= （+ + ）=﹣，∵= = （+ ）= + ，∴= + = + + ﹣=﹣+ + ，故选：C【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则化简计算即可．7、【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：函数，导数为f′（x）= •e x﹣f（0）+x，令x=1可得f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，解得f（0）=1，可令x=0，则f（0）= •e0=1，可得f′（1）=e，即有f′（x）=e x﹣1+x，可得曲线f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为e，切点为（1，e﹣），即有切线的方程为y﹣e+ =e（x﹣1），即为y=ex﹣．故选：B．【分析】求出f（x）的导数，可令x=0，x=1，可得f（0）=1，f′（1）=e，求得切点，再由点斜式方程即可得到所求切线的方程．8、【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：设，都是非零向量，由命题P：成立，可得的夹角为钝角或平角，故不能推出Q成立，故充分性不成立．由命题命题Q：的夹角为钝角成立，可得命题P：成立，故必要性成立．综上可得，P是Q的必要不充分条件，故选B．【分析】由命题P成立不能推出Q成立，但由命题Q成立能推出命题P成立，由此可得结论．9、【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：设切点为P（x0，x03﹣3x0），f′（x0）=3x02﹣3，则切线方程y﹣x03+3x0=（3x02﹣3）（x﹣x0），代入A（2，1）得，2x03﹣6x02+7=0．令y=2x03﹣6x02+7=0，则由y′=0，得x0=0或x0=2，且当x0=0时，y=7＞0，x0=2时，y=﹣1＜0．所以方程2x03﹣6x02+7=0有3个解，则过点A（2，1）作曲线f（x）=x3﹣3x的切线的条数是3条．故选：A．【分析】设出切点，求出切点处的导数，写出切线方程把A的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再利用其导函数判断极值点，根据极值得到切点横坐标的个数，从而答案可求．10、【答案】B【考点】定积分【解析】【解答】解：令f（x）dx=t，对f（x）=x2+2 f（x）dx，两边积分可得：t= +2 tdx= +2t，解得t= f（x）dx=﹣，故选：B．【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．11、【答案】D【考点】归纳推理【解析】【解答】解：∵，∴f（n+1）﹣f（n）= ，故选：D．【分析】利用，计算f（n+1）﹣f（n）即可．12、【答案】D【考点】两点间距离公式的应用【解析】【解答】解：设直线y=x+m与曲线y=﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y=﹣x2+3lnx，∴，令，又x0＞0，解得x0=1．∴y0=﹣1+3ln1=﹣1，可得切点P（1，﹣1）．代入﹣1=1+m，解得m=﹣2．可得与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x﹣2．而两条平行线y=x+2与y=x﹣2的距离d= =2 ．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值= =8．故选：D．【分析】先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x+m．再求出此两条平行线之间的距离（的平方）即可得出．二、<b >填空题：</b>13、【答案】45【考点】归纳推理【解析】【解答】解：由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为a n，则有a2﹣a1=3﹣1=2，a3﹣a2=7﹣3=4，…a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得a n﹣a1= ，故a n=n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：45【分析】可得规律：第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为a n，累加可得a n，计算可得a45=1981，a46=2071，可知2015在第45 个式子14、【答案】若一个三角形有两个角相等，则这个三角形为等腰三角形【考点】四种命题间的逆否关系【解析】【解答】解：等腰三角形两底角相等，即为若一个三角形为等腰三角形，则这个三角形的两个底角相等，那么它的逆命题为：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形为等腰三角形，故答案为：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形为等腰三角形【分析】根据四种命题的关系即可求出．15、【答案】（﹣∞，﹣3]【考点】定积分，函数最值的应用【解析】【解答】解：∵，表示y= 在[0，1]上的积分，也得圆面积的四分之一，∴a= ×π，∴对任意x∈R，不等式（cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，可得m≤cos2x+4cosx在x∈R上恒成立，cosx∈[﹣1，1]，求出cos2x+4cosx的最小值即可，cos2x+4cosx=（cosx+2）2﹣4，∵函数开口向上，cosx∈[﹣1，1]，函数f（cosx）=cos2x+4cosx在[﹣1，1]上增函数，当cosx=﹣1时取得最小值，可得（﹣1）2+4×（﹣1）=﹣3，∴cos2x+4cosx的最小值为﹣3，∴m≤﹣3，故答案为（﹣∞，﹣3]；【分析】根据定积分几何意义求出a值，根据任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，利用常数分离法进行求解；16、【答案】21【考点】数列与函数的综合【解析】【解答】解：由题意可得，[（a1﹣3）3+a1﹣1]+[（a2﹣3）3+a2﹣1]+…+[（a7﹣3）3+a7﹣1]=14，∴[（a1﹣3）3+a1﹣3]+[（a2﹣3）3+a2﹣3]+…+[（a7﹣3）3+a7﹣3]=0，根据等差数列的性质可得（a4﹣3﹣3d）3 +（a4﹣3﹣2d）3 +…+（a4﹣3﹣d）3+7（a4﹣3）=0，（a4﹣3）3 +7（a4﹣3）=0，（a4﹣3）[7（a4﹣3）3 +84d2+7]=0，∴a4﹣3=0，即a4=3．∴a1+a2+…+a7=7a4=21，故答案为：21【分析】由题意可得[（a1﹣3）3+a1﹣3]+[（a2﹣3）3+a2﹣3]+…+[（a7﹣3）3+a7﹣3]=0，再利用等差数列的性质求得a4=3，从而求得a1+a2+…+a7 的值．三、<b >解答题：</b>17、【答案】解：p：|4x﹣3|≤1，解得≤x≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1，∵非q是非p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，∴解得0≤a≤ ，故实数a取值范围为[0，]【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【分析】求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可．18、【答案】（1）解：f′（x）=3x2+2bx+c 因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，所以﹣=2，于是b=﹣6（2）解：由（1）知，f（x）=x3﹣6x2+cx，f′（x）=3x2﹣12x+c=3（x﹣2）2+c﹣12，（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x1，x2．不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2．当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x1）内为增函数；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）内为减函数；当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x2，+∞）内为增函数．所以f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值．因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x2处存在唯一极小值，所以t=x2＞2．于是g（t）的定义域为（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称，则求出f′（x）得到一个二次函数，利用x=﹣=2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函数的对称轴为x=2，讨论c的取值范围求出g（t）的定义域和值域即可．19、【答案】（1）解：数列{a n}满足：，∴n=2时，=22a2，可得a2= ，∴n=3时，+a3=9a3，解得a3=（2）解：猜想a n= ．证明：∵，∴n≥2时，a 1+a 2+…+a n ﹣1=（n ﹣1）2a n ﹣1 ．∴n 2a n ﹣（n ﹣1）2a n ﹣1=a n ．化为： ．∴a n = • •… •a 1= • • •…× × ×=【考点】数列递推式【解析】【分析】（1）数列{a n }满足： ，n=2时， =22a 2 ，可得a 2= ，n=3时， +a 3=9a 3 ， 解得a 3 ． （2）猜想a n = ．利用递推关系化为：．再利用a n = • •… •a 1即可得出．20、【答案】（1）证明：∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE ， ∵二面角D ﹣AB ﹣E 为直二面角，∴平面ABCD ⊥平面ABE ，又BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面ABE ，则BC ⊥AE ，又BF ⊂平面BCE ，BF∩BC=B ，∴AE ⊥平面BCE（2）法一、解：连接AC 、BD 交于G ，连接FG ，∵ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，∵BF ⊥平面ACE ，BG ⊥AC ，∴AC ⊥平面BFG ，∴FG ⊥AC ，即∠FGB 为二面角B ﹣AC ﹣E 的平面角，由（1）可知，AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥EB ，又AE=EB ，AB=2，AE=BE= ，在直角三角形BCE 中，CE= = ，BF= = ，在正方形中，BG= ，在直角三角形BFG中，sin∠FGB= ；法二、以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图．∵AE⊥面BCE，BE⊂面BCE，∴AE⊥BE，在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，∴OE=1．∴A（0，﹣1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），=（1，1，0），=（0，2，2）．设平面AEC的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，﹣1，1）是平面AEC的一个法向量．又平面BAC的一个法向量为=（1，0，0），∴cos＜＞= = ．∴二面角B﹣AC﹣E的正弦值为（3）法一、由（2）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离，BF ⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为．法二、解：∵AD∥z轴，AD=2，∴=（0，0，2），∴点D到平面ACE的距离d=| |•|cos＜＞= = ．【考点】点、线、面间的距离计算，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）要证AE⊥平面BCE，只需证明AE垂直平面BCE内的两条相交直线BF、BC即可；（2）连接AC、BD交于G，连接FG，说明∠FGB为二面角B﹣AC﹣E的平面角，然后求二面角B﹣AC﹣E 的大小；（3）利用V D﹣ACE=V E﹣ACD，求点D到平面ACE的距离，也可以利用空间直角坐标系，向量的数量积，证明垂直，求出向量的模．21、【答案】（1）解：函数的定义域为（0，+∞），，令f′（x）=0，得x2﹣2x+a=0，其判别式△=4﹣4a，①当△≤0，即a≥1时，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当△＞0，即a＜1时，方程x2﹣2x+a=0的两根为，，若a≤0，则x1≤0，则x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；若a＞0，则x1＞0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，1+ ）上单调递减，在（1+ ，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1﹣）上单调递增，在（1﹣，1+ ）上单调递减，在（1+ ，+∞）上单调递增；当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（2）①解：由（1）可知，函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞）有两不等实根，故0＜a＜1．②证明：由上述过程得0＜a＜1，，且1＜x2＜2，．，令g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，则，由于1＜t＜2，则g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上单调递减．故g（t）＜g（1）=1﹣2ln1﹣1=0．∴f（x2）﹣x2+1=g（x2）＜0．∴f（x2）＜x2﹣1．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）求出函数的定义域为（0，+∞），函数的导数，令f′（x）=0，①当△≤0，②当△＞0进行分类讨论．（2）①求出函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞），直接推出结果．②通过（1），（2），推出0＜a＜1，构造新函数g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函数的单调性证明求解即可．。
安徽省师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中
安徽师范大学附属中学2017-2018学年度第二学期期中考查高二地理试题命题教师：审题教师：一、单选题（共25小题，每小题2分，共50分，下列每小题所给选项只有1项符合题意）该图是以极点为中心的某半球俯视图，箭头所示为地球公转方向，虚线圈为回归线和极圈，最外面大圆为赤道。
ABC表示晨昏线，OD两侧日期不同。
据此回答下列问题。
1. 图中A点经度为A. 75°EB. 75°WC. 105°ED. 105°W2. 若AB表示昏线，下列说法正确的是A. 此时北京时间为7点B. 此日地球公转速度最慢C. 此日北京正午太阳高度达到一年中最小值D. 此日北京昼长达到一年中最长【答案】1. C 2. D【解析】考查时间计算，地球运动的地理意义。
1. 读图可知，图中地球公转方向为顺时针，自转方向与公转方向相同，所以判断该半球自转方向为顺时针，为以南极点为中心的俯视图。
图中A点为晨昏线与赤道的交点，地方时为6时或者18时。
与OD夹角为75°，可以判断OD为180°经线，OA与OD时差只相差5小时，故OD不可能是0点经线。
则A点所在经线为105°E，C正确。
故选C。
2. 若AB表示昏线，图中A点为昏线与赤道的交点，地方时为18时，有上题可知，OA经度为105°E，故120°E的时间是19时，即此时北京时间为19点，A错误；此日南极圈以南出现极夜，为12月22日附近，地球公转速度较快，B错误；此日为北半球冬至，北京正午太阳高度达到一年中最小值，C正确；此日北京昼长达到一年中最短，D错误。
故选C。
读世界某区域昼夜分布图，完成下列各题。
3. 若一艘满载货物的轮船从我国出发驶往欧洲西部某国,正航行在图中的A点，则此时北京时间是A. 10:40B. 11:20C. 11:40D. 12:004. 正在B海域的我国海军护航编队接到某商船遭遇海盗的消息，为解救被困船只，需要运用的地理信息技术主要是A. RS,GISB. GPS,GISC. GPS,GPRSD. RS,GPS5. C岛西侧树林里一种叫狐猴的动物，它们每年有7个月蛰伏在树洞中，其原因不包括A. 空气湿热B. 气候干旱C. 天气酷热D. 食物不足【答案】3. D 4. B 5. A【解析】考查光照图判读，时间计算，地理信息技术的应用，气候类型分布与特点。
2018-2019学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考试理科数学试题 解析版
再对场馆分配，共有 种，
所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种，
故选A.
【点睛】
解析：（1）∵ ，又 在 处有极值 ，∴ 即 解得 .
（2）由（1）可知 ，其定义域是 ， ，由 ，得 ；由 ，得 .所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ．
18．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)比21034大的偶数；
(2)左起第二、四位是奇数的偶数．
当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是3时，有A＝6个五位数；
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．
(2)可分为两类：末位数是0，个数有A·A＝4；末位数是2或4，个数有A·C＝4；
故共有A·A＋A·C＝8个满足条件的五位数．
19．已知数列 满足 .
评卷人
得分
三、解答题
17．已知函数 在 处有极值 ．
(1)求 的值；
（2）判断函数 的单调性并求出单调区间.
【答案】（1） ，b=﹣1．（2）函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）
【解析】
试题分析：（1）因为 在 处有极值，故 ，从而 .（2）求得 ，则当 时， ，因此增区间为 ；当 时，有 ，因此减区间为 .
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有 种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.
2017-2018学年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷
2017-2018学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 复数1−2+i +11−2i 的虚部是( )A. 15iB. 15C. −15iD. −15【答案】B【解析】解：依题：1−2+i +11−2i =−15+15i .∴虚部为15． 故选：B ．本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念． 本题是对基本概念的考查．2. 下列求导运算正确的是( )A. (cos x )′=sin xB. (ln2x )′=1xC. (3x )′=3x log 3eD.(x 2e x )′=2xe x 【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，(cos x )′=−sin x ，A 错误；对于B ，(ln2x )′=(2x )′×12x =1x ，B 正确；对于C ，(3x )′=3x ln3，C 错误；对于D ，(x 2e x )′=(x 2)′e x +x 2(e x )′=(2x +x 2)e x ，D 错误； 故选：B ．根据题意，依次分析选项，计算选项中函数的导数，综合即可得答案． 本题考查导数的计算，关键是掌握函数的导数计算公式．3. 函数y =f (x )在点(x 0,y 0)处的切线方程y =2x +1，则△x →0limf (x 0)−f (x 0−2△x )△x等于()A. −4B. −2C. 2D. 4【答案】D【解析】解：∵f ′(x 0)=2，f ′(x 0)=△x →0limf (x 0)−f (x 0−△x )=2∴△x →0limf (x 0)−f (x 0−2△x )△x =2△x →0lim f (x 0)−f (x 0−2△x )2△x=4故选：D ．根据导数几何意义得f ′(x 0)=2，由导数的定义知f ′(x 0)=△x →0limf (x 0)−f (x 0−△x )△x，由此配出分母上的数字2能够求出△x →0limf (x 0)−f (x 0−2△x )△x的值．本题考查导数的概念和极限的运算，解题时要认真审题，解题的关键是凑出符合导数定义的极限形式，属于基础题．4. 由曲线y =e x ，y =e −x 以及x =1所围成的图形的面积等于( )A. 2B. 2e −2C. 2−1eD. e +1e −2【答案】D【解析】解：曲线y =e x ，y =e −x 的交点坐标为(0,1) 由曲线y =e x ，y =e −x 以及x =1所围成的图形的面积就是： 01(e x −e −x )dx =(e x +e −x )|01=e +1e −1−1=e +1e −2故选：D ．先求出曲线y =e x ，y =e −x 的交点，得到积分下限，利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．本题考查指数函数的图象，定积分，考查计算能力，是基础题．5. 直线y =12x +b 是曲线y =ln x 的一条切线，则实数b 的值为( )A. 2B. ln2+1C. ln2−1D. ln2【答案】C【解析】解：y ′=(ln x )′=1x ，令1x =12得x =2， ∴切点为(2,ln2)，代入直线方程y =12x +b ， ∴ln2=12×2+b ，∴b =ln2−1．故选：C ．欲实数b 的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．6. 用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12−1<n (n ∈N 且n >1)，第二步证明中从“k 到k +1”时，左端增加的项数是( ) A. 2k +1 B. 2k −1 C. 2kD. 2k−1【答案】C【解析】解：当n =k 时，左端=1+12+13+⋯+12−1，那么当n =k +1时 左端=1+12+13+⋯+12−1+12+⋯+12−1=1+12+13+⋯+12k −1+12k +⋯+12k +2k −1，∴左端增加的项为12k +12k+1+⋯+12k+2k−1，所以项数为：2k．故选：C．当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．7.已知x∈(0,+∞)有下列各式：x+1x ≥2，x+4x2=x2+x2+4x2≥3，x+27x3=x3+x3+x 3+27x3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+ax4≥5，则正数a=()A. 4B. 5C. 44D. 55【答案】C【解析】解：由已知中：x∈(0,+∞)时，x+1x≥2，x+4x2=x2+x2+4x2≥3，x+273=x+x+x+273≥4…归纳推理得：x+n nx n≥n+1，若x+ax≥5，则n+1=5，即n=4，此时a=n n=44，故选：C．由已知中的不等式x+1x ≥2，x+4x2=x2+x2+4x2≥3，x+27x3=x3+x3+x3+27x3≥4，归纳推理得：x+n nx≥n+1，进而根据n+1=5，求出n值，进而得到a值．本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知归纳推理得：x+n nx≥n+1，是解答的关键．8.设函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，∴当x>−2时，f′(x)>0；当x=−2时，f′(x)=0；当x<−2时，f′(x)<0．∴当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；当x<−2时，xf′(x)>0．故选：A．由题设条件知：当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；当x<−2时，xf′(x)>0.由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．9.若a=ln33，b=ln55，c=ln66，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c 【答案】B【解析】解：令f(x)=ln xx (x≥e)，则f′(x)=1−ln xx2≤0，∴函数f(x)在[e,+∞)上单调递减，∴a=ln33>b=ln55>c=ln66，即a>b>c．故选：B．令f(x)=ln xx (x≥e)，则f′(x)=1−ln xx≤0，可得函数f(x)在[e,+∞)上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.若函数f(x)=2x2−ln x在其定义域内的一个子区间(k−1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A. [1,+∞)B. [1,32) C. [1,2) D. [32,2)【答案】B【解析】解：因为f(x)定义域为(0,+∞)，又f′(x)=4x−1x，由，得x=12．当x∈(0,12)时，，当x∈(12,+∞)时，0'/>据题意，k−1<12<k+1 k−1≥0，解得1≤k<32．故选：B．先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x)，在函数的定义域内解方程fˊ(x)=0，使方程的解在定义域内的一个子区间(k−1,k+1)内，建立不等关系，解之即可．本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．11.若点P(a,b)在函数y=x2+3ln x的图象上，点Q(c,d)在函数y=x+2的图象上，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为()A. B. 8 C. 2 D. 2【答案】B【解析】解：设直线y=x+m与曲线y=−x2+3ln x相切于P(x0,y0)，由函数y=−x2+3ln x，∴y′=−2x+3x，令−2x0+3x=1，又x0>0，解得x0=1．∴y0=−1+3ln1=−1，可得切点P(1,−1)．代入−1=1+m，解得m=−2．可得与直线y=x+2平行且与曲线y=−x2+3ln x相切的直线y=x−2．而两条平行线y=x+2与y=x−2的距离d=2=22．∴(a−c)2+(b−d)2的最小值=(22=8．故选：B．先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=−x2+3ln x相切的直线y=x+m.再求出此两条平行线之间的距离(的平方)即可得出．本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题．12.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】解：f′(x)=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3(f(x))2+2af(x)+b=0，得x=x1，或x=x2，即3(f(x))2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x2)=x2的解．如图所示，由图象可知f(x)=x1有2个解，f(x)=x2有1个解，因此3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3．故选：A．求导数f′(x)，由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f(x)的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.设复数z=2−i1+i，则z的共轭复数为______．【答案】12+32i【解析】解：∵z=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i.∴z=12+32i.故答案为：12+32i．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．14.学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．【答案】B【解析】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．本题考查了合情推理的问题，属于基础题．15.如图所示的数阵中，第15行第2个数字是______．【答案】1106【解析】解：不妨令a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，……，则a3−a2=2，a4−a3=3，a5−a4=4，…a15−a14=14，将以上各式相加得a15−a2=2+3+4+⋯+14=(2+14)×132=104，∴a15=104+2=106，即15行第2个数字是1106，故答案为：1106．观察这个数列每一行第二个数的倒数，然后相邻两项作差，然后利用叠加法求出第15行第2个数的倒数，从而求出所求．本题主要考查归纳推理的应用，观察分母，利用作差法以及累加法进行求解是解决本题的关键．16.以下判断正确的序号是______．(1)集合M={1,2，zi}，i为虚数单位，N={3,4}，M∩N={4}，则复数z=−4i；(2)04(|x−1|+|x−3|)dx=10；(3)已知函数f(x)=x3+x，对任意的m∈[−2,2]，f(mx−2)+f(x)<0恒成立，则x的取值范围为(−2,23)；(4)设f1(x)=cos x，定义f n+1(x)为f n(x)的导数，即，n∈N若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+⋯+f2018(A)=13，则sin2A=89．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】解：(1)集合M={1,2，zi}，N={3,4}，M∩N={4}，可得zi=4，解得z=−4i，故(1)正确；(2)04(|x−1|+|x−3|)dx=1004(|x−1|+|x−3|)dx=01(4−2x)dx+132dx+34(2x−4)dx=(4x−x2)| 01+(2x)| 13+(x2−4x)| 34=4−1+6−2+16−16−9+12=10，故(2)正确；(3)函数f(x)=x3+x，f(x)为奇函数，且为R上的增函数，对任意的m∈[−2,2]，f(mx−2)+f(x)<0恒成立，可得f(mx−2)<−f(x)=f(−x)，即为mx−2<−x，可得mx−2+x<0，即−2x−2+x<0，且2x−2+x<0，解得−2<x<23，故(3)正确；(4)设f1(x)=cos x，定义f n+1(x)为f n(x)的导数，可得f2(x)=−sin x，f3(x)=−cos x，f4(x)=sin x，f5(x)=cos x，f6(x)=−sin x，…，若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+⋯+f2018(A)=13，可得cos A−sin A−cos A+sin A+cos A−sin A+⋯+cos A−sin A=13，即有504×(cos A−sin A−cos A+sin A)+cos A−sin A=13，可得cos A−sin A=13，两边平方可得1−2cos A sin A=19，则sin2A=89，故(4)正确．故答案为：(1)(2)(3)(4)．(1)由集合的交集定义和复数的运算，可得z；(2)讨论x的范围，去绝对值，求得原函数，运用定积分公式计算可得；(3)判断f(x)为奇函数，且为R上的增函数，由一次函数的单调性，计算可得所求范围；(4)运用导数的运算性质，求得周期性，再由同角的基本关系式可得所求值．本题考查命题的真假判断，考查集合与复数的概念、定积分的求法、函数的奇偶性和单调性的运用和导数的运用、周期性的运用和同角基本关系式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知函数f(x)=(ax+b)ln x−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．【答案】解：(1)因为f(1)=−b+3=2，所以b=1，又f′(x)=bx +a ln x+a−b=1x+a ln x+a−1，而函数f(x)=(ax+b)ln x−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2，所以，所以a=0；(2)由(1)得f(x)=ln x−x+3,f′(x)=1x−1，当0<x<1时，0'/>；当x>1时，；所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)有极大值f(1)=2，无极小值．【解析】(1)利用切线方程，转化求解a，b即可．(2)利用函数的导数，判断函数的单调性然后求解函数的极值即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查计算能力．18.由下列不等式：1>12，1+12+13>1,1+12+13+⋯+17>32,1+12+13+⋯115>2,…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【答案】解：根据给出的几个不等式1+12+13>1,1+12+13+⋯+17>32,1+12+13+⋯+115>2,…可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：1+12+13+⋯+12n−1>n2,n∈Z．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1>12，猜想正确．②假设n=k时猜想成立，即1+12+13+⋯+12−1>k2，则n=k+1时，1+12+13+⋯+12k−1+12k+12k+1+⋯+12k+1−1>k2+12k+12k+1+⋯+12k+1−1>k2+12k+1+12k+1+⋯+12k+1=k2+2k2k+1=k+12，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n∈N+，不等式成立．【解析】根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可．本题考查数学猜想，以及数学归纳法的证明，注意n=k+1时必须用上假设，考查逻辑思维能力，计算能力．19.(1)已知a>0，b>0且a+b>2，求证：1+b2,1+ab中至少有一个小于2；(2)已知a>0,1b −1a>1，求证：1+a>1−b．【答案】证明：(1)假设1+ba ,1+ab都不小于2，则1+ba≥2,1+ab≥2，∵a>0，b>0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，两式相加得：2+a+b≥2(a+b)，解得a+b≤2，这与已知a+b>2矛盾，故假设不成立，∴1+ba ,1+ab中至少有一个小于2；(2)∵1b −1a>1,a>0，∴0<b<1，要证1+a>1−b，只需证1+a⋅1−b>1，只需证1+a−b−ab>1，只需证a−b−ab>0，即a−bab>1，即1b −1a>1，这是已知条件，所以原不等式成立．【解析】(1)利用反证法，推出a+b≤2，与已知a+b>2矛盾，从而证明不等式．(2)利用分析法的证明步骤，逐步证明推出不等式成立的充分条件即可．本题考查不等式的证明，分析法以及反证法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．20.已知函数f(x)=ax+ax−3ln x．(1)当a=2时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在(1,e]上为单调函数，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=2x+2x −3ln x，∴f′(x)=2−2x−3x=2x2−3x−2x．令，得x=2或x=−12(舍)．又当x=2时，f(x)极小=f(2)=5−3ln2，∴当a=2时，函数f(x)的最小值为5−3ln2．(2)∵f(x)=ax+ax −3ln x，∴f′(x)=ax2−3x−ax2，又f(x)在(1,e]上为单调函数，∴当x∈(1,e]时，或恒成立，也就是ax2−3x−a≥0或ax2−3x−a≤0对∀x∈(1,e]恒成立，即a≥3xx−1或a≤3xx−1对∀x∈(1,e]恒成立．令G(x)=3xx2−1，则G′(x)=−3(x2+1)(x2−1)2．∴当x∈(1,e]时，在(1,e]上单调递减，又当x→1时，G(x)→+∞；当x=e时，G(x)=3ee−1，∴a≤3ee2−1，故f(x)在(1,e]上为单调函数时，实数a的取值范围为(−∞,3ee2−1]．【解析】(1)当a=2时，代入函数的解析式，求出函数的导数，因为定义域为开区间，求得极值即为最值．(2)先求，再由“f(x)在[1,e]上为单调函数”转化为“或在[1,e]上恒成立”，最后转化为最值法求解．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．21.已知函数f(x)=e x−ax,a∈R．(1)若f(x)在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；(2)求证：当0<a<1，x>0时，f(x)>1恒成立．【答案】解：(1)由题意知f′(x)=e x(x−1)+ax2，令g(x)=e x(x−1)+a，(x≠0)，则，当x<0时，，g(x)在(−∞,0)上单调递减，当x>0时，0'/>，g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(0)=a−1，∵f(x)在定义域内无极值点，∴a >1，又当a =1时，f (x )在(−∞,0)和(0,+∞)上都单调递增也满足题意， 所以a ≥1； (2)证明：f ′(x )=e x (x−1)+ax 2，令g (x )=e x (x −1)+a ，由(1)可知g (x )在(0,+∞)上单调递増， 又 g (1)=a >0g (0)=a−1<0，所以存在唯一的零点x 0∈(0,1)，故f (x )在(0,x 0)上单调递减， 在(x 0,+∞)上单调递増， ∴f (x )≥f (x 0)，由e x 0(x 0−1)+a =0知f (x 0)=e x 0>1， 即当0<a <1，x >0时，f (x )>1恒成立．【解析】(1)求出导函数，构造函数g (x )=e x (x −1)+a ，(x ≠0)，求出，通过当x <0时，当x >0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，转化求解即可． (2)求出f ′(x )=e x (x−1)+ax 2，令g (x )=e x (x −1)+a ，求出函数的最值，证明结论即可．本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．22. 已知函数f (x )=x (ln x +1)．(1)求函数f (x )的最小值；(2)设，讨论函数F (x )的单调性；(3)若斜率为k 的直线与曲线交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，求证：x 1<1k<x 2．【答案】解：(1)定义域为(0,+∞)， 0)'/>，令，得x =1e ，当x ∈(0,1e 2)时，；当x ∈(1e 2,+∞)时，0'/>，则f (x )在(0,1e 2)上递减，在(1e 2,+∞)上递增， ∴当x =1e 2时，f (x )min =1e 2(ln 1e 2+1)=−1e 2； (2)F (x )=ax 2+ln x +2,F ′(x )=2ax +1x=2ax 2+1x(x >0)，①当a ≥0时，恒有 0'/>，F (x )在(0,+∞)上是增函； ②当a <0时，令0'/>，即2ax 2+1>0，解得0<x < −12a；令，即2ax 2+1<0，解得x > −12a；综上，当a ≥0时，F (x )在(0,+∞)上是增函数； 当a <0时，F (x )在(0, −12a)上单调递增，在( −12a ,+∞)上单调递减； (3)由题目可知，直线的斜率k =f ′(x 2)−f ′(x 1)x 2−x 1=ln x 2−ln x 1x 2−x 1，要证：x 1<1k <x 2，即证：x 1<x 2−x1ln x 2−ln x 1<x 2，由于涉及到两个变量，不太好处理，所以考虑变量集中，给双连不等式的左中右同除以x1，等价转化为1<x21−1ln x21<x2x1，令t=x2x1，则只要证：1<t−1ln t<t，由t>1，知ln t>0，故等价于证：ln t<t−1<t ln t(t>1)(∗)，①设g(t)=t−1−ln t(t>1)，则g′(t)=1−1t>0(t>1)，∴g(t)在(1,+∞)上是增函数，当t>1时，g(t)=t−1−ln t>g(1)=0，∴t−1>ln t；②设ℎ(t)=t ln t−(t−1)(t>1)，则0(t> 1)'/>，∴ℎ(t)在(1,+∞)上是增函数，∴当t>1时，ℎ(t)=t ln t−(t−1)>ℎ(1)=0，∴t ln t>t−1(t>1)，由①②知(∗)成立，∴x1<1k<x2．【解析】(1)数字系数的函数的最值求解，用常规方法即可．(2)转化为含参函数不等式的求解，通过解不等式判断单调性．(3)先利用题目条件，将k和导函数建立联系，然后将待证命题等价转化，再利用变量集中思路，转化为一元不等式的证明，接下来作差法构造函数证明即可．(1)第一问是常规问题，(2)第二问是含参不等式的求解，有点难度．(3)注意将命题做等价转化的思维的灵活性，同时注意变量集中思想的运用，以及作差构造新函数来证明不等式的常用思路．。
2016-2017年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数2．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3 3．（3分）已知向量＝（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．715．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．6．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知＝，＝，＝，O为底面ABCD中心，G为△D 1C1O重心，则＝（）（用表示）A．B．C．D．7．（3分）设函数，则曲线f（x）在点（1，f（1））处切线方程为（）A．B．C．D．8．（3分）设，都是非零向量，命题P：，命题Q：的夹角为钝角．则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）过点A（2，1）做曲线f（x）＝x3﹣3x的切线，最多有（）A．3条B．2条C．1条D．0条10．（3分）若f（x）＝x2+2f（x）dx，则f（x）dx＝（）A．﹣1B．﹣C．D．111．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．12．（3分）若点P（a，b）在函数y＝x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y ＝x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8C．2D．2二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．（4分）观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若某数n3按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n＝．14．（4分）命题：等腰三角形两底角相等的逆命题是：．15．（4分）设，对任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcos x≥0恒成立，则实数m的取值范围为．16．（4分）设函数f（x）＝（x﹣3）3+（x﹣1），数列{a n}是公差不为零的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）＝14，则a1+a2+…+a7＝．三、解答题：本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）设p：|4x﹣3|≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若：非q是非p的充分不必要条件，求实数a取值范围．18．（8分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx的导函数图象关于直线x＝2对称（1）求b值；（2）若f（x）在x＝t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域．19．（8分）已知数列{a n}满足：（1）求a2，a3；（2）猜想{a n}通项公式并加以证明．20．（12分）如图，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE；（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的正弦值；（3）求点D到平面ACE的距离．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，①求a的取值范围；②证明：f（x2）＜x2﹣1．2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数【解答】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C．2．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（﹣2k﹣2）x+k2﹣1＝0，由题意得：△＝（﹣2k﹣2）2﹣8（k2﹣1）＞0，变形得：（k﹣3）（k+1）＜0，解得：﹣1＜k＜3，∵0＜k＜3是﹣1＜k＜3的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜k＜3．故选：C．3．（3分）已知向量＝（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【解答】解：不妨设向量为＝（x，y，z），A．若＝（﹣1，1，0），则cosθ＝＝，不满足条件．B．若＝（1，﹣1，0），则cosθ＝＝＝，满足条件．C．若＝（0，﹣1，1），则cosθ＝＝，不满足条件．D．若＝（﹣1，0，1），则cosθ＝＝，不满足条件．故选：B．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．71【解答】解：观察下列等式：，照此规律，第7个等式中：a＝8，t＝82﹣1＝63a+t＝71．故选：D．5．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，故△＝4a2﹣12＞0，解得：或，故选：B．6．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知＝，＝，＝，O为底面ABCD中心，G为△D 1C1O重心，则＝（）（用表示）A．B．C．D．【解答】解：取D1C1的中点E，∵G为△D1C1O重心，∴＝＝×（+）＝（+++）＝（++）＝﹣，∵＝＝（+）＝+，∴＝+＝++﹣＝﹣++，故选：C．7．（3分）设函数，则曲线f（x）在点（1，f（1））处切线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：函数，导数为f′（x）＝•e x﹣f（0）+x，令x＝1可得f′（1）＝f′（1）﹣f（0）+1，解得f（0）＝1，可令x＝0，则f（0）＝•e0＝1，可得f′（1）＝e，即有f′（x）＝e x﹣1+x，可得曲线f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为e，切点为（1，e﹣），即有切线的方程为y﹣e+＝e（x﹣1），即为y＝ex﹣．故选：B．8．（3分）设，都是非零向量，命题P：，命题Q：的夹角为钝角．则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设，都是非零向量，由命题P：成立，可得的夹角为钝角或平角，故不能推出Q成立，故充分性不成立．由命题命题Q：的夹角为钝角成立，可得命题P：成立，故必要性成立．综上可得，P是Q的必要不充分条件，故选：B．9．（3分）过点A（2，1）做曲线f（x）＝x3﹣3x的切线，最多有（）A．3条B．2条C．1条D．0条【解答】解：设切点为P（x0，x03﹣3x0），f′（x0）＝3x02﹣3，则切线方程y﹣x03+3x0＝（3x02﹣3）（x﹣x0），代入A（2，1）得，2x03﹣6x02+7＝0．令y＝2x03﹣6x02+7＝0，则由y′＝0，得x0＝0或x0＝2，且当x0＝0时，y＝7＞0，x0＝2时，y＝﹣1＜0．所以方程2x03﹣6x02+7＝0有3个解，则过点A（2，1）作曲线f（x）＝x3﹣3x的切线的条数是3条．故选：A．10．（3分）若f（x）＝x2+2f（x）dx，则f（x）dx＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1【解答】解：令f（x）dx＝t，对f（x）＝x2+2f（x）dx，两边积分可得：t＝+2tdx＝+2t，解得t＝f（x）dx＝﹣，故选：B．11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴f（n+1）﹣f（n）＝，故选：D．12．（3分）若点P（a，b）在函数y＝x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y ＝x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8C．2D．2【解答】解：设直线y＝x+m与曲线y＝﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y＝﹣x2+3lnx，∴y′＝﹣2x+，令﹣2x0+＝1，又x0＞0，解得x0＝1．∴y0＝﹣1+3ln1＝﹣1，可得切点P（1，﹣1）．代入﹣1＝1+m，解得m＝﹣2．可得与直线y＝x+2平行且与曲线y＝﹣x2+3lnx相切的直线y＝x﹣2．而两条平行线y＝x+2与y＝x﹣2的距离d＝＝2．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值＝（2）2＝8．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．（4分）观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若某数n3按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n＝45．【解答】解：由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为a n，则有a2﹣a1＝3﹣1＝2，a3﹣a2＝7﹣3＝4，…a n﹣a n﹣1＝2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得a n﹣a1＝，故a n＝n2﹣n+1，可得a45＝1981，a46＝2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：4514．（4分）命题：等腰三角形两底角相等的逆命题是：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形为等腰三角形．【解答】解：等腰三角形两底角相等，即为若一个三角形为等腰三角形，则这个三角形的两个底角相等，那么它的逆命题为：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形为等腰三角形，故答案为：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形为等腰三角形15．（4分）设，对任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcos x≥0恒成立，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【解答】解：∵，表示y＝在[0，1]上的积分，也得圆面积的四分之一，∴a＝×π，∴对任意x∈R，不等式（cos2x﹣m）+πcos x≥0恒成立，可得m≤cos2x+4cos x在x∈R上恒成立，cos x∈[﹣1，1]，求出cos2x+4cos x的最小值即可，cos2x+4cos x＝（cos x+2）2﹣4，∵函数开口向上，cos x∈[﹣1，1]，函数f（cos x）＝cos2x+4cos x在[﹣1，1]上增函数，当cos x＝﹣1时取得最小值，可得（﹣1）2+4×（﹣1）＝﹣3，∴cos2x+4cos x的最小值为﹣3，∴m≤﹣3，故答案为（﹣∞，﹣3]；16．（4分）设函数f（x）＝（x﹣3）3+（x﹣1），数列{a n}是公差不为零的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）＝14，则a1+a2+…+a7＝21．【解答】解：由题意可得，[（a1﹣3）3+a1﹣1]+[（a2﹣3）3+a2﹣1]+…+[（a7﹣3）3+a﹣1]＝14，7∴[（a1﹣3）3+a1﹣3]+[（a2﹣3）3+a2﹣3]+…+[（a7﹣3）3+a7﹣3]＝0，根据等差数列的性质可得（a4﹣3﹣3d）3 +（a4﹣3﹣2d）3 +…+（a4﹣3﹣d）3+7（a4﹣3）＝0，（a4﹣3）3 +7（a4﹣3）＝0，（a4﹣3）[7（a4﹣3）3 +84d2+7]＝0，∴a4﹣3＝0，即a4＝3．∴a1+a2+…+a7＝7a4＝21，故答案为：21三、解答题：本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）设p：|4x﹣3|≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若：非q是非p的充分不必要条件，求实数a取值范围．【解答】解：p：|4x﹣3|≤1，解得≤x≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1，∵非q是非p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，∴解得0≤a≤，故实数a取值范围为[0，]18．（8分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx的导函数图象关于直线x＝2对称（1）求b值；（2）若f（x）在x＝t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2+2bx+c因为函数f′（x）的图象关于直线x＝2对称，所以﹣＝2，于是b＝﹣6；（2）由（1）知，f（x）＝x3﹣6x2+cx，f′（x）＝3x2﹣12x+c＝3（x﹣2）2+c﹣12，（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．（ii）当c＜12时，f′（x）＝0有两个互异实根x1，x2．不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2．当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x1）内为增函数；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）内为减函数；当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x2，+∞）内为增函数．所以f（x）在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极小值．因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x＝x2处存在唯一极小值，所以t＝x2＞2．于是g（t）的定义域为（2，+∞）．19．（8分）已知数列{a n}满足：（1）求a2，a3；（2）猜想{a n}通项公式并加以证明．【解答】解：（1）数列{a n}满足：，∴n＝2时，＝22a2，可得a2＝，∴n＝3时，+a3＝9a3，解得a3＝．（2）猜想a n＝．证明：∵，∴n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1＝（n﹣1）2a n﹣1．∴n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1＝a n．化为：．∴a n＝••…•a1＝•••…×××＝．20．（12分）如图，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE；（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的正弦值；（3）求点D到平面ACE的距离．【解答】法一、（1）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，则BC⊥AE，又BF⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE；（2）解：连接AC、BD交于G，连接FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，BG⊥AC，∴AC⊥平面BFG，∴FG⊥AC，即∠FGB为二面角B﹣AC﹣E的平面角，由（1）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，AE＝BE＝，在直角三角形BCE中，CE＝＝，BF＝＝，在正方形中，BG＝，在直角三角形BFG中，sin∠FGB＝；（3）由（2）可知，在正方形ABCD中，BG＝DG，D到平面ACE的距离等于B 到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为．法二、（1）证明：同法一；（2）解：以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y 轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图．∵AE⊥面BCE，BE⊂面BCE，∴AE⊥BE，在Rt△AEB中，AB＝2，O为AB的中点，∴OE＝1．∴A（0，﹣1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2）．设平面AEC的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，﹣1，1）是平面AEC的一个法向量．又平面BAC的一个法向量为＝（1，0，0），∴cos＜＞＝＝．∴二面角B﹣AC﹣E的正弦值为；（3）解：∵AD∥z轴，AD＝2，∴＝（0，0，2），∴点D到平面ACE的距离d＝||•|cos＜＞＝＝．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，①求a的取值范围；②证明：f（x2）＜x2﹣1．【解答】（1）解：函数的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＝0，得x2﹣2x+a＝0，其判别式△＝4﹣4a，①当△≤0，即a≥1时，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当△＞0，即a＜1时，方程x2﹣2x+a＝0的两根为，，若a≤0，则x1≤0，则x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；若a＞0，则x1＞0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，1+）上单调递减，在（1+，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1﹣）上单调递增，在（1﹣，1+）上单调递减，在（1+，+∞）上单调递增；当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）①解：由（1）可知，函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a ＝0在（0，+∞）有两不等实根，故0＜a＜1．②证明：由上述过程得0＜a＜1，，且1＜x＜2，．，令g（t）＝t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，则，由于1＜t＜2，则g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上单调递减．故g（t）＜g（1）＝1﹣2ln1﹣1＝0．∴f（x2）﹣x2+1＝g（x2）＜0．∴f（x2）＜x2﹣1．。
安徽师范大学附属中学高二数学下学期期中考查试题(含解析)
安徽师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期期中考查数学一、选择题：共12题1．设函数在其定义域内可导,图象如图所示,则导函数的图象可能为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的单调性以及原函数与其导函数图象正负之间的关系,意在考查学生对基本概念的运用能力.由的图象可判断出在区间上单调递增,在(0,+)上先增后减再增,所以在区间上,在(0,+)上先有再有再有.故选D.2．的二项展开式中,的系数是A.70B.-70C.28D.-28【答案】A【解析】本题主要考查二项式定理的运用,意在考查学生的运算求解能力.根据二项式定理,可得的通项公式为,令=2,则,此时,即的系数是70.故选A.3．设是一个离散型随机变量,其分布列如下表,则的等于A.1B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查离散型随机变量的性质,意在考查学生对基本概念的理解运用.根据离散型随机变量的性质可得:,即,解得,而时,舍去,故.故选C.4．房间有8个人坐成一排,现要调换其中3个人中每一个人的位置,其余5个人的位置不变,则不同的调换方式有A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查的是排列组合的应用,意在考查学生的逻辑思维能力.分步进行考虑,先从8人中选出3人有种方法,3人位置全调,由于不能是自己原来的位置,因此有种排法,故有种调换方式,故选B.5．已知函数,则A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】本题主要考查的是函数导数的求法,意在考查学生的运算求解能力.由可得,故,解得,所以故选C.6．已知,猜想的表达式A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查的是等差数列的性质和函数解析式的求法,意在考查学生分析问题和解决问题的能力.由可得所以是为公差的等差数列,所以,又所以即.故选B.7．某射手射击一次命中的概率是0.7,连续两次均射中的概率是0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查的是相互独立事件的概率乘法公式,意在考查学生的计算能力.设“某次射中”为事件,“随后一次的射中”为事件则,所以,故选C.8．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲乙两人都抢到红包的情况有A.35种B.24种C.18种D.9种【答案】C【解析】本题主要考查的是分类计数原理的运用,意在考查学生的逻辑思维能力.若甲乙抢的是一个2元和一个3元,剩下的2个红包,被剩下的3人中2个人抢走,有种情况;若甲乙抢的是两个2元或两个3元,剩下的2个红包,被剩下的3人中2个人抢走,有种情况;根据分类计数原理可得:12+6=18种情况.故选C.9．同时抛掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为,则的数学期望是A.20B.25C.30D.40【答案】B【解析】本题主要考查是二项分布的应用,意在考查学生的计算能力.因为抛掷一次,正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的概率为,因为5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的概率是相同的,且各次试验中的事件是相互独立的,所以服从二项分布.故选B.10．点在曲线上移动时,过点的切线的倾斜角的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查的是导数的几何意义,意在考查学生的运算求解能力.因为点在曲线上移动,所以过点的切线的倾率,所以k的取值范围是,所以倾斜角的取值范围是,故选D.11．由直线,曲线以及轴所围成的图形面积为A. B.13 C. D.15【答案】A【解析】本题主要考查的是定积分的几何意义,意在考查学生的数形结合能力和运算能力. 由直线,曲线以及轴所围成的图形如图所示:故所围成的图形OAB的面积为:=.故选A.12．已知函数对定义域内的任意都有,且当时其导函数满足,若,则A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查的是导数的应用,用导数的正负来判断函数的单调性,意在考查学生的分析问题、解决问题的能力.函数对定义域内的任意都有,即函数图象的对称轴是x=2,又导函数满足,即,所以当时,当时,,即在上递减,在上递增,因为,所以1<,所以.故选B.二、填空题：共4题13．已知与之间的一组数据如表,则与的线性回归方程必过定点________．【答案】(1.5,4)【解析】本题主要考查的是线性回归方程,意在考查学生的运算求解能力.根据表中数据可得:,又线性回归直线必过样本中心点,故答案为(1.5,4).14．小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格,则每所大学恰有两位同学申请,且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有_______种．【答案】4【解析】本题主要考查简单的排列组合,意在考查学生的整体思想.设小明、小红等4位同学分别为小明、小红没有申请同一所大学,则组合为,,,,故共有4种方法.故答案为4.15．设随机变量服从正态分布,则函数不存在零点的概率为________．【答案】【解析】本题主要考查的是函数的零点以及正态分布曲线的对称性,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.因为函数不存在零点,所以∆,因为随机变量服从正态分布,所以曲线关于直线对称,所以.故答案为.16．如图,将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中,使其满足条件:(1)每个自然数“放置”在一个“整点”(横纵坐标均为整数的点)上;(2)0在原点,1在点,2在点,3在点,4在点,5在点,,即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上,则放置数字的整点坐标是_________．【答案】【解析】本题主要考查的知识点是归纳推理,意在考查学生的逻辑推理能力. 观察已知点(0,1)处标1,即;点(-1,2)处标9,即;点(-2,3)处标25,即;由此推断,点处标,故放置数字的整点坐标是三、解答题：共5题17．已知函数．(1)求的单调区间和极值;(2)求曲线在点处的切线方程．【答案】(1),令解得;令解得,故函数的单调增区间为和,单调递减区间为.令,得x=-1或当x在R上变化时,与的变化情况如下:故在R上有极大值,极小值为(2)因为,所以曲线在点处的切线方程为:即【解析】本题主要考查的是函数的极值和单调区间的求法,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.(1)先对函数求导,通过判断导数的正负确定函数的单调区间;列表讨论,确定函数的极值;(2)根据导数的几何意义确定直线的斜率,再根据点斜式写出直线的方程.18．甲乙两人各自独立地进行射击比赛,甲、乙两人向射击一次,击中目标的概率分别是和,假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;(2)求两人各射击3次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．【答案】(1)记“甲连续射击3次至少有1次未击中目标”为事件,由题意,射击3次,相当于3次独立重复试验,由. (2)记“甲射击3 次,恰有2次击中目标”,为事件,“乙射击3次,恰有1次击中目标”为事件,则．由于甲、乙射击相互独立,故．【解析】本题主要考查的是次独立重复试验中恰好发生次的概率,意在考查学生的计算能力.(1)由次独立重复试验中恰好发生次的概率公式计算即可得到答案;(2)分别计算甲恰好击中目标2次,乙恰好击中目标1次的概率,然后用独立事件的计算公式即可得到.19．在各项均为正数的数列中,数列的前项和满足．(1)求;(2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数字归纳法证明．【答案】(1)令,有,解得; 令,有,解得或(舍去); 令,有,解得或(舍去);故,(2)猜想,证明:①当时,,命题成立②假设时,成立,则时,,所以,,解得,即时,命题成立．由①②知,时,【解析】本题主要考查的是数列的递推公式以及用数学归纳法证明等式的成立,意在考查学生的计算能力.(1)由题意,将分别代入计算即可求得;(2)检验时等式成立,假设时命题成立,证明当时等式也成立.20．某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查,在高二的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表.学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在名和名的学生进行了调查,得到如下数据:(1)根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?附:．(2)在(1)中调查的100名学生中,按照分层抽样的不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在的学生人数为,求的分布列和数学期望．【答案】(1),因此能够在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(2)依题意抽取的9人中年级名次在名和名的分别有3人和6人,可能的取值为0,1,2,3,,,,的分布列为:的数学期望.【解析】本题主要考查的是独立性检验的应用问题以及计算离散型随机变量的分布列与期望的问题,意在考查学生的数据处理能力.(1)根据表中的数据,计算观测值,对照数表,得出结论;(2)列出的可能取值,计算对应的概率,求出的分布列与数学期望值.21．已知函数．(1)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;(2)当且时,不等式在上恒成立,求的最大值．【答案】(1)因为,,又函数在区间上为增函数,所以当时,恒成立,所以,即的取值范围为. (2)当时,,故不等式,即对任意恒成立,令则．令,则在上单调递增,因为,所以存在使,即当时,,即,当时,,即,所以在上单调递减,在上单调递增．令,即,所以,因为且.所以的最大值为3.【解析】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值,意在考查学生的化归能力和计算能力.(1)由题意可得当时,恒成立,即,从而求得的取值范围;(2)把不等式在上恒成立转化为对任意恒成立,进而求解.。
2018-2019学年安徽省芜湖市安师大附中高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
芜湖市安师大附中2018-2019学年度第二学期期中考查高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 为虚数单位，则复数2534i+的虚部为（ ） A ．254B ．4C ． 4-D ．4i -2.下列求导运算正确的是（ ）A ．2()x x '=B ．(sin )cos x x '=-C ．()x xe e --'= D ．1(ln 5)x x'=3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．24.在用数学归纳法证明:“22n n >对从0n 开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的0n 等于( )A ．1B ．3C ．5D ．75.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的 染色方案共有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．12种6.函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )A B C D7.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样 的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③8.向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方 的概率是( )A ．π4B ．12C ．π2－1D ．2π9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解 集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1} 10.已知函数2()32sin cos 23cos (0)f x x x x ωωωω=+->在区间(),2ππ内没有极值 点，则ω的取值范围为（ ） A ．511,1224⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．55110,,241224⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．51110,,12242⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11.某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个 场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种A ．222B ．253C ．276D ．284 12.三棱锥P ABC -中，底面ABC 满足BA BC =，2ABC π∠=，点P 在底面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为196，当其外接球的表面积最小时，P 到底面ABC 的距离为（ ）A ．3B ．319 C ．3192 D ．3193二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
安徽省师范大学附属中学高二物理下学期期中考查试题
安徽师范大学隶属中学2017-2018 学年度第二学期期中考察高二物理试题一、选择题：（此题共 12 小题，此中 1～ 7 小题为单项选择题， 8～ 12 小题为多项选择题。
每题 4 分，共 48 分。
）1．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动, 当线圈经过中性面时，以下说法中正确的选项是( )A. 穿过线圈的磁通量最大, 线圈中的感觉电动势最大B. 穿过线圈的磁通量最大, 线圈中的感觉电动势等于零C. 穿过线圈的磁通量等于零, 线圈中的感觉电动势最大D. 穿过线圈的磁通量等于零, 线圈中的感觉电动势等于零2．如下图，面积均为S 的单匝线圈绕其对称轴或中心轴在匀强磁场 B 中以角速度ω 匀速转动，能产生正弦交变电动势的图是()3．某金属在一束绿光的照耀下发生了光电效应, 则 ()A. 若增添绿光的照耀强度, 则单位时间内逸出的光电子数量增添B. 若增添绿光的照耀强度, 则逸出的光电子最大初动能增添C. 若改用紫光照耀, 则单位时间内逸出的光电子数量增添D. 若改用紫光照耀, 则可能不产生光电子4．某物体在恒力Ｆ作用下作直线运动, 在 t 1时间内物体的速度由零增大到v,F 对物体做功W1,给物体冲量为I 1；若在 t 2时间内物体的速度由v 增大到 2v,F 对物体做功W2, 给物体冲量为I 2,以下结论正确的选项是()A.W1=W2,I 1=I 2B.W1=W2,I 1＞ I 2C.W1<W2,I 1=I 2D.W1>W2,I 1=I 25．汽车拉着拖车在平直的公路上匀速行驶, 忽然拖车与汽车脱钩, 而汽车的牵引力不变, 且汽车和拖车遇到的阻力不变, 则在拖车停止运动前( )C. 汽车和拖车的总动量增添D. 汽车和拖车的总动能增添6.如下图，质量为M的足够长的木板静置在圆滑的水平面上，在M上搁置一质量为m的物块，物块与木板的接触面粗拙。
当物块m获取初速度v0向右滑动，在滑动过程中下边表达正确的选项是（）A.若 M固定不动，则 m对 M摩擦力的冲量为零B.若 M不固定，则 m战胜摩擦力做的功所有转变成内能C.无论 M能否固定，摩擦力对 m与 M所做的功之和必定等于零D.无论 M能否固定，摩擦力对系统的冲量之和必定为零7．以下各样表达中, 切合物理学史实的是()A.康普顿效应证了然光拥有颠簸性B.德布罗意波证了然实物粒子拥有颠簸性C.普朗克为认识释光电效应的规律 , 提出了光子说D.光电效应现象是爱因斯坦第一发现的注意： 8～12 题为多项选择题8. 对于光的波粒二象性，以下表达中正确的选项是()A.大批光子产生的成效显示出颠簸性，个别光子产生的成效显示出粒子性B.光在流传时表现出颠簸性 , 在跟物质作用时表现出粒子性C.频次大的光较频次小的光的粒子性强，但颠簸性弱D.频次大的光较频次小的光的颠簸性强，但粒子性弱9．把物体以某一速度抛出，若不计空气阻力，则在物体着落过程中，以下说法正确的选项是（）A．在随意相等时间内，动量变化都相同B．在任何一段时间内，动量变化的方向都竖直向下C．在任何一段时间内，动量对时间的变化率均相同D．在刚抛出的瞬时，动量对时间的变化率为零10．一台理想变压器的原、副线圈的匝数之比是5∶1，原线圈接入电压220 V 的正弦沟通电，一个理想二极管和一个滑动变阻器R串连接在副线圈上，各元件正常工作，如下图．电压表和电流表均为理想沟通电表，则以下说法正确的选项是()A．原、副线圈中的电流之比为5∶1B．电压表的读数约为31.11 VC．若滑动变阻器接入电路的阻值为20 Ω，则 1 分钟内产生的热量为2904 JD．若将滑动变阻器的滑片向上滑动，则两电表读数均减小11．甲、乙两物体质量相等，并排静止在圆滑水平面上。
2017届安徽师范大学附属中学期中考查高三理科数学试卷
2017届安徽师范大学附属中学期中考查高三理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知复数z 满足i z i 21+=⋅（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A.2 B ．3 C ．5 D ． 52．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件3．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.3y x =±C.13y x =±D.3y x =±4．公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项,,则等于（ ）A ．18B ． 24C ．60D ． 905．某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．22C ．24D ．86． 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ )A ．B ．C ．D ．7.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0,043y x ayx ，若132+++=x y x z 的最小值为23，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 152535458．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记222.02.0222.0)2.0(2)2(,5log )5(log f c f b f a ===，，则 （ ） A.c b a << B.b a c << C.c a b << D.a b c <<9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=（ ）A ．4B ．49 C ．49- D ．0 10．用6种颜色给右图四面体BCD A -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种A ．4080 B.3360 C.1920 D. 72011．设当θ=x 时，函数x x y cos 2sin -=取得最大值，则θcos = ( )A.55-B.55C.552-D.552 12．已知正方体，则下列说法不正确．．．的是（ ） A.若点在直线上运动时，三棱锥的体积不变B.若点是平面上到点D 和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线C.若点在直线上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变D.若点在直线上运动时，二面角的大小不变 二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．）13.设)(x f 是周期为2的偶函数，当10≤≤x 时, )1(2)(x x x f -=,则=-)25(f . 14.2321(2)x x+-展开式中的常数项为． 15.如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与1111ABCD A BC D -P 1BC 1A D PC -P 1111A B C D 1C P 1D P 1BC P 1BC 1P AD C --22(0)x py p =>(0,1)A -l ,P Q B (0,1),BP BQ ,QB BPx轴分别相交于两点．如果的斜率与的斜率的乘积为，则MBN ∠的大小等于．16.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]1...11[201620162211a a a a a a _____________.三、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22，23为二选一题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. (本小题满分12分)已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为. （Ⅰ）当时，求的单调递减区间； （Ⅱ）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.18. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足. （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若a b ≤=3，求c a -2的取值范围．19. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；,M N QB PB 3-)0,0(12sin2)sin(3)(2πϕωϕωϕω<<>-+++=x x x f 2π)4,2(ππ-∈x )(x f )(x f y =x 6π21)(x g y =]6,12[ππ-∈x )(x g 22266cos A cos B cos(A )cos(A )ππ-=-+（Ⅱ）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈.20. (本小题满分12分)已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）当),1(+∞∈x 时，1)(1>+-x xe x xf 恒成立，求a 的取值范围. (其中，e=2.718…为自然对数的底数).选做题(两题任选一题，如果都做，按第22题得分计算) 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标与参数方程 已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f .),(22)(R a R x ax e x f x∈∈--=1=a )(x f y =1=x 0≥x 0)(≥x f a（Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．） 13.2114. -20 15.3π（或60°） 16. 2015四、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）由题意得：())cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， ————————2分 又因为函数()f x 为奇函数，所以,66k k ππϕπϕπ-==+，且0ϕπ<<，所以6πϕ=，故函数为()2sin 2f x x =. ————————4分 要使()f x 单调减，需满足2,224x x ππππ-≤≤--≤≤-，所以函数的减区间为[,]24ππ--.————————6分 （2）由题意可得：， ————————9分⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,12ππx ,33432πππ≤-≤-∴x .从而2334sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ，()[]3,2-∈x g ()[]32，的值域为-∴x g —12分)34sin(2)(π-=x x g18.（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 化简得3sin 2B = 故233B ππ=或． ————————4分（2）因为b a ≤，所以3B π=， ————————6分由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====， 得a=2sinA,c=2sinC ， ————————8分————————10分因为b a ≤，所以2,33662A A πππππ≤<≤-<， 所以)32,3[2∈-c a ． ————————12分 19. （1）1n =时，11a = ————————1分2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，又24(1)n n S a =+，两式相减得111()(2)0,0,2,{}n n n n n n n n a a a a a a a a ---+--=>∴-= 为是以1为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-. ————————6分 （2）12211(21)(21)2121n n a a n n n n -==--+-+ 111111(1)()()1335212121n T n n n ∴=-+-++-=--++ ，——————101,n T ∴< 又111230,n n n T a a T -≥=>∴，综上213n T ≤<成立. ————————12分 20.（1）当1a =时，''()22,()21,(1)21x x f x e x f x e f e =--=-=-， 即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又(1)23f e =-，所以所求切线方程为(21)2y e x =--. ————————4分 （2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立min [()]0f x ⇔≥ 易知'()2x f x e a =-○1若0a ≤，则'()0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增； 又(0)0f =，所以当[0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ≥=，符合题意. —————6分○2若0a >，由'()0f x =，解得ln 2a x =，则当(,ln )2a x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(ln,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增. 所以ln 2ax =时，函数()f x 取得最小值. ————————8分则当，即时，则当时，，符合题意. ————————10分当，即时，则当时，单调递增，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是————————12分（没有综上扣一分）21.（1）由题意得：2'121()2,0ax f x ax x x x-=-=> 当0a ≤时，2'210,()0,ax f x -≤≤()f x 上(0,)+∞单调递减.当0a >时，'()f x =，当x ∈时，'()0f x <，当1(,)2x a ∈+∞时'()0f x >，故()f x 在1(0,)2x a ∈上单调递减，在1(,)2x a∈+∞上单调递02ln≤a 20≤<a ),0[+∞∈x 0)0()(=≥f x f 02ln>a 2>a )2ln ,0(ax ∈)(x f 0)0()(=<f x f a ].2,(-∞增. ————————5分（2）原不等式等价于11()0xf x e x --+>在(1,)+∞上恒成立， 一方面，令12111()()ln x x g x f x e ax x e a x x--=-+=--+-只需()g x 在(1,)+∞上恒大于0即可，又(1)0g = ，故'()g x 在处1x =必大于等于0. 令'1'211()()2,(1)0,x F x g x ax e g x x -==-+-≥可得12a ≥. ————————8分 另一方面，当12a ≥时， 3'1112323312122()21x xx x x F x a e e e x x x x x---+-=+-+≥+-+=+ 又(1,)x ∈+∞ ，320x x ∴+->，10xe->，故'()F x 在(1,)+∞时恒大于0，当(1,)x ∈+∞时，()F x 在(1,)x ∈+∞单调递增()(1)210F x F a ∴>=-≥. 故()g x 也(1,)x ∈+∞在单调递增()(1)0g x g ∴>=. 即()g x 在(1,)x ∈+∞上恒大于0.12a ∴≥. 综上，12a ≥. ————————12分（没有综上扣一分） 选做题22.解:（1）曲线的普通方程为，即，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程化简得．所以，曲线的极坐标方程是． ————————5分 （2）直线的直角坐标方程为，由得直线与曲线C 的交点坐标为， 所以弦长． ————————10分C 22(2)4x y -+=2240x y x +-=2240x y x +-=θρcos 4=C θρcos 4= l 40x y +-=2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩l (2,2),(4,0)22=OA23. (1)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥ 综合①②③不等式的解集 (][),31,-∞-⋃+∞ ————————5分(2)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322aa -≤+⇒≥-————————10分。
安徽省师范大学附属中学2017_2018学年高二数学下学期期中考查试题文201812060130
安徽师范大学附属中学 2017-2018学年度第二学期期中考查高二数学试题（文）一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分）3i1.已知复数 z=﹣2i+，则复数 z 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ）iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.用反证法证明命题：“若 a ，b ∈N ，ab 能被 5整除，则 a ，b 中至少有一个能被 5整除”， 那么假设的内容是( ) A ．a ，b 都能被 5整除 B ．a ，b 都不能被 5整除 C ．a ，b 有一个能被 5整除D ．a ，b 有一个不能被 5整除3.某工厂生产某种产品的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)有如下几组样本数据：x 3 4 5 6 y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为 0.7 ，则这组样本数据的回归直线方程是 （）A ． y 0.7x 2.05B ． y 0.7x 1C ． y 0.7x 0.35D ． y 0.7x 0.452 z= + 1i z 2 3z4.设复数 (其中 为虚数单位)，则 的虚部为（）iA ． 2iB ．0C ．-10D ．25.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 （）A. yx 3 B. y ln(x ) C. y xe xD.y x 2x6.已知函数 f (x )的导函数为 f ′(x )，且满足 f (x )＝2x ·f ′(1)＋1n x ，则 f ′(1)等于( ) A ．－eB ．－1C ．1D ．e7.函数 f (x ) x 3 3bx 3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ． 0 b 1B ．b1 C ．b 0D ．b1 28.若点 P 是函数 f (x ) x 2 ln x 上任意一点，则点 P 到直线 x y 20的最小距离为- 1 -( )21A．2B．C．D．322S1 1 9.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，S2 4推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，V1则＝()V21 1 1 1A. B. C. D.8 9 64 2710.若函数f(x)kx ln x在区间1,单调递增，则k的取值范围是（）A.,2B. ,1C.2,D.1, 11．甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店．某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店．事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半．其他同学根据如上信息，可判断下列结论正确的是（）A．甲做微商B．乙做淘宝店C．丙做微商D．甲做实体店12.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f(x)>1,f(0)=4则不等式()3（其中为e xf x e x e 自然对数的底数）的解集为（）A．(0,+)B．(-,0)(3,+)C．(-,0)(0,+)D．(3,+)二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13.曲线y x(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为________.a14.数列满足n，归纳出数列的通项公式为________.,aa a1(*)1n N1nn1an15.曲线f(x)ln x ax存在与直线2x y0平行的切线，则实数a的取值范围_______．16.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝Error!33＝Error!43＝Error!….依此，若m3的“分裂数”中有一个是2015，则m＝______.三、解答题（本大题共5小题，共48分）- 2 -117.（本小题满分6分）已知f(x)= ,分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值，33x然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.。
安徽省师范大学附属中学近年-近年学年高二数学下学期期中试题理(含解析)(最新整理)
安徽师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A。
B. 4 C。
-4 D. -4i【答案】C【解析】【分析】先化简复数，再根据虚部概念求解。
【详解】因为，所以虚部为—4,选C.【点睛】本题考查复数运算与虚部概念,考查基本求解能力，属基础题。
2。
下列求导运算正确的是（）A。
B. C. D。
【答案】D【解析】【分析】根据导数运算法则逐一计算,即可选择.【详解】因为,,,，所以选D.【点睛】本题考查导数运算法则，考查基本求解能力，属基础题.3。
已知函数的导函数为，且满足，则（▲ ）A。
B。
C. D。
【答案】B【解析】此题考查导数的运算；4.在用数学归纳法证明:“对从n0开始的所有正整数都成立”时,第一步验证的n0等于( )A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】根据前几项逐一验证可得结果.【详解】当时,当时,当时，当时，当时，所以第一步验证的n0等于5，选C。
【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断求解能力，属基础题。
5。
如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色）,要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有（ )A. 24种B. 18种C。
16种 D. 12种【答案】D【解析】【分析】先对正三棱锥P－ABC三个表面染色，再对正三棱柱ABC－A1B1C1三个表面染色，最后根据分步计数原理得结果。
【详解】先对正三棱锥P－ABC三个表面染色，有种，再对正三棱柱ABC－A1B1C1三个表面染色有种，所以共有种，选D.【点睛】本题考查排列组合应用，考查基本分析求解能力，属基础题。
6。
函数的导函数在区间上的图象大致是( )A。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
2017-2018年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数的虚部是（）A．B．C．D．2．（3分）下列求导运算正确的是（）A．（cos x）′＝sin x B．C．（3x）′＝3x log3e D．（x2e x）′＝2xe x3．（3分）函数y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线方程y＝2x+1，则等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．44．（3分）由曲线y＝e x，y＝e﹣x以及x＝1所围成的图形的面积等于（）A．2B．2e﹣2C．D．5．（3分）直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为（）A．2B．ln2+1C．ln2﹣1D．ln26．（3分）用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1B．2k﹣1C．2k D．2k﹣17．（3分）已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+≥2，x+≥3，x+＝≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+≥5，则正数a＝（）A．4B．5C．44D．558．（3分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）若a＝，b＝，c＝，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 10．（3分）若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，2）D．[，2）11．（3分）若点P（a，b）在函数y＝x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y ＝x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8C．2D．212．（3分）若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）＝x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）设复数z＝，则z的共轭复数为．14．（3分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．（3分）如图所示的数阵中，第15行第2个数字是．16．（3分）以下判断正确的序号是．（1）集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝﹣4i；（2）；（3）已知函数f（x）＝x3+x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为；（4）设f1（x）＝cos x，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）＝f'n（x），n∈N若△ABC的内角A满足，则．三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知函数f（x）＝（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y＝2．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．18．（8分）由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．19．（8分）（1）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：中至少有一个小于2；（2）已知，求证：．20．（8分）已知函数f（x）＝ax+﹣3lnx．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在（1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．21．（8分）已知函数．（1）若f（x）在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；（2）求证：当0＜a＜1，x＞0时，f（x）＞1恒成立．22．（12分）已知函数f（x）＝x（lnx+1）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）＝ax2+f'（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）若斜率为k的直线与曲线y＝f'（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：．2017-2018学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：依题：．∴虚部为．故选：B．2．（3分）下列求导运算正确的是（）A．（cos x）′＝sin x B．C．（3x）′＝3x log3e D．（x2e x）′＝2xe x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（cos x）′＝﹣sin x，A错误；对于B，（ln2x）′＝（2x）′×＝，B正确；对于C，（3x）′＝3x ln3，C错误；对于D，（x2e x）′＝（x2）′e x+x2（e x）′＝（2x+x2）e x，D错误；故选：B．3．（3分）函数y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线方程y＝2x+1，则等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：∵f′（x0）＝2，f′（x0）＝＝2∴＝2＝4故选：D．4．（3分）由曲线y＝e x，y＝e﹣x以及x＝1所围成的图形的面积等于（）A．2B．2e﹣2C．D．【解答】解：曲线y＝e x，y＝e﹣x的交点坐标为（0，1）由曲线y＝e x，y＝e﹣x以及x＝1所围成的图形的面积就是：∫01（e x﹣e﹣x）dx＝（e x+e﹣x）|01＝e+﹣1﹣1＝e+﹣2故选：D．5．（3分）直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为（）A．2B．ln2+1C．ln2﹣1D．ln2【解答】解：y′＝（lnx）′＝，令得x＝2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y＝x+b，∴ln2＝×2+b，∴b＝ln2﹣1．故选：C．6．（3分）用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1B．2k﹣1C．2k D．2k﹣1【解答】解：当n＝k时，左端＝1++，那么当n＝k+1时左端＝1++++…+＝1++++…+，∴左端增加的项为++…+，所以项数为：2k．故选：C．7．（3分）已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+≥2，x+≥3，x+＝≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+≥5，则正数a＝（）A．4B．5C．44D．55【解答】解：由已知中：x∈（0，+∞）时，x+≥2，x+≥3，x+＝≥4…归纳推理得：x+≥n+1，若x+≥5，则n+1＝5，即n＝4，此时a＝n n＝44，故选：C．8．（3分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x＝﹣2时，f′（x）＝0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x＝﹣2时，xf′（x）＝0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选：A．9．（3分）若a＝，b＝，c＝，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：令f（x）＝（x≥e），则f′（x）＝≤0，∴函数f（x）在[e，+∞）上单调递减，∴a＝＞b＝＞c＝，即a＞b＞c．故选：B．10．（3分）若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，2）D．[，2）【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又，由f'（x）＝0，得．当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得．故选：B．11．（3分）若点P（a，b）在函数y＝x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y ＝x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8C．2D．2【解答】解：设直线y＝x+m与曲线y＝﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y＝﹣x2+3lnx，∴y′＝﹣2x+，令﹣2x0+＝1，又x0＞0，解得x0＝1．∴y0＝﹣1+3ln1＝﹣1，可得切点P（1，﹣1）．代入﹣1＝1+m，解得m＝﹣2．可得与直线y＝x+2平行且与曲线y＝﹣x2+3lnx相切的直线y＝x﹣2．而两条平行线y＝x+2与y＝x﹣2的距离d＝＝2．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值＝（2）2＝8．故选：B．12．（3分）若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）＝x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b＝0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b＝0，得x＝x1，或x＝x2，即3（f（x））2+2af（x）+b＝0的根为f（x）＝x1或f（x2）＝x2的解．如图所示，由图象可知f（x）＝x1有2个解，f（x）＝x2有1个解，因此3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为3．故选：A．二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）设复数z＝，则z的共轭复数为．【解答】解：∵z＝＝﹣i．∴＝+i．故答案为：．14．（3分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B15．（3分）如图所示的数阵中，第15行第2个数字是．【解答】解：不妨令a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11，……，则a3﹣a2＝2，a4﹣a3＝3，a5﹣a4＝4，…a15﹣a14＝14，将以上各式相加得a15﹣a2＝2+3+4+…+14＝＝104，∴a15＝104+2＝106，即15行第2个数字是，故答案为：．16．（3分）以下判断正确的序号是（1）（2）（3）（4）．（1）集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝﹣4i；（2）；（3）已知函数f（x）＝x3+x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为；（4）设f1（x）＝cos x，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）＝f'n（x），n∈N若△ABC的内角A满足，则．【解答】解：（1）集合M＝{1，2，zi}，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，可得zi＝4，解得z＝﹣4i，故（1）正确；（2）（|x﹣1|+|x﹣3|）dx＝（4﹣2x）dx+2dx+（2x﹣4）dx＝（4x﹣x2）|+（2x）|+（x2﹣4x）|＝4﹣1+6﹣2+16﹣16﹣9+12＝10，故（2）正确；（3）函数f（x）＝x3+x，f（x）为奇函数，且为R上的增函数，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，可得f（mx﹣2）＜﹣f（x）＝f（﹣x），即为mx﹣2＜﹣x，可得mx﹣2+x＜0，即﹣2x﹣2+x＜0，且2x﹣2+x＜0，解得﹣2＜x＜，故（3）正确；（4）设f1（x）＝cos x，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，可得f2（x）＝﹣sin x，f3（x）＝﹣cos x，f4（x）＝sin x，f5（x）＝cos x，f6（x）＝﹣sin x，…，若△ABC的内角A满足，可得cos A﹣sin A﹣cos A+sin A+cos A﹣sin A+…+cos A﹣sin A＝，即有504×（cos A﹣sin A﹣cos A+sin A）+cos A﹣sin A＝，可得cos A﹣sin A＝，两边平方可得1﹣2cos A sin A＝，则，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（3）（4）．三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知函数f（x）＝（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y＝2．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．【解答】解：（1）因为f（1）＝﹣b+3＝2，所以b＝1，又，而函数f（x）＝（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y＝2，所以f'（1）＝1+a﹣1＝0，所以a＝0；（2）由（1）得，当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0；所以f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）有极大值f（1）＝2，无极小值．18．（8分）由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【解答】解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，1，猜想正确．②假设n＝k时猜想成立，即，则n＝k+1时，＝＝，即当n＝k+1时，猜想也成立，所以对任意的n∈N+，不等式成立．19．（8分）（1）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：中至少有一个小于2；（2）已知，求证：．【解答】证明：（1）假设都不小于2，则，∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，两式相加得：2+a+b≥2（a+b），解得a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，∴中至少有一个小于2；（2）∵，∴0＜b＜1，要证，只需证，只需证1+a﹣b﹣ab＞1，只需证a﹣b﹣ab＞0，即，即，这是已知条件，所以原不等式成立．20．（8分）已知函数f（x）＝ax+﹣3lnx．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在（1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，，∴．令f'（x）＝0，得x＝2或（舍）．＝f（2）＝5﹣3ln2，又当x＝2时，f（x）极小∴当a＝2时，函数f（x）的最小值为5﹣3ln2．（2）∵，∴，又f（x）在（1，e]上为单调函数，∴当x∈（1，e]时，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立，也就是ax2﹣3x﹣a≥0或ax2﹣3x﹣a≤0对∀x∈（1，e]恒成立，即或对∀x∈（1，e]恒成立．令，则．∴当x∈（1，e]时，G'（x）＜0．∴G（x）在（1，e]上单调递减，又当x→1时，G（x）→+∞；当x＝e时，，∴，故f（x）在（1，e]上为单调函数时，实数a的取值范围为．21．（8分）已知函数．（1）若f（x）在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；（2）求证：当0＜a＜1，x＞0时，f（x）＞1恒成立．【解答】解：（1）由题意知，令g（x）＝e x（x﹣1）+a，（x≠0），则g'（x）＝e x•x，当x＜0时，g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（0）＝a﹣1，∵f（x）在定义域内无极值点，∴a＞1，又当a＝1时，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上都单调递增也满足题意，所以a≥1；（2）证明：，令g（x）＝e x（x﹣1）+a，由（1）可知g（x）在（0，+∞）上单调递増，又，所以f'（x）存在唯一的零点x0∈（0，1），故f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递増，∴f（x）≥f（x0），由知，即当0＜a＜1，x＞0时，f（x）＞1恒成立．22．（12分）已知函数f（x）＝x（lnx+1）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）＝ax2+f'（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）若斜率为k的直线与曲线y＝f'（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：．【解答】解：（1）定义域为（0，+∞），f'（x）＝lnx+2（x＞0），令f'（x）＝0，得，当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，则f（x）在上递减，在上递增，∴当时，；（2），①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函；②当a＜0时，令F'（x）＞0，即2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，即2ax2+1＜0，解得；综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减；（3）由题目可知，直线的斜率，要证：，即证：，由于涉及到两个变量，不太好处理，所以考虑变量集中，给双连不等式的左中右同除以x1，等价转化为，令，则只要证：，由t＞1，知lnt＞0，故等价于证：lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*），①设g（t）＝t﹣1﹣lnt（t＞1），则，∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，当t＞1时，g（t）＝t﹣1﹣lnt＞g（1）＝0，∴t﹣1＞lnt；②设h（t）＝tlnt﹣（t﹣1）（t＞1），则h'（1）＝lnt＞0（t＞1），∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）＝tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）＝0，∴tlnt＞t﹣1（t＞1），由①②知（*）成立，∴．。
安徽省师范大学附属中学2017-2018学年高二物理下学期期中考查试题
安徽师范大学附属中学2017-2018学年度第二学期期中考查高二物理试题一、选择题：（本题共12小题，其中1～7小题为单选题，8～12小题为多选题。
每小题4分，共48分。
）1．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动,当线圈通过中性面时，下列说法中正确的是( )A.穿过线圈的磁通量最大,线圈中的感应电动势最大B.穿过线圈的磁通量最大,线圈中的感应电动势等于零C.穿过线圈的磁通量等于零,线圈中的感应电动势最大D.穿过线圈的磁通量等于零,线圈中的感应电动势等于零2．如图所示，面积均为S的单匝线圈绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B中以角速度ω匀速转动，能产生正弦交变电动势的图是( )3．某金属在一束绿光的照射下发生了光电效应,则( )A.若增加绿光的照射强度,则单位时间内逸出的光电子数目增加B.若增加绿光的照射强度,则逸出的光电子最大初动能增加C.若改用紫光照射,则单位时间内逸出的光电子数目增加D.若改用紫光照射,则可能不产生光电子4．某物体在恒力Ｆ作用下作直线运动,在t1时间内物体的速度由零增大到v,F对物体做功W1,给物体冲量为I1；若在t2时间内物体的速度由v增大到2v,F对物体做功W2,给物体冲量为I2,下列结论正确的是( )A.W1=W2,I1=I2B.W1=W2,I1＞I2C.W1<W2,I1=I2D.W1>W2,I1=I25．汽车拉着拖车在平直的公路上匀速行驶,突然拖车与汽车脱钩,而汽车的牵引力不变,且汽车和拖车受到的阻力不变,则在拖车停止运动前( )A.汽车和拖车的总动量减少B.汽车和拖车的总动能减少C.汽车和拖车的总动量增加D.汽车和拖车的总动能增加6. 如图所示，质量为M的足够长的木板静置在光滑的水平面上，在M上放置一质量为m的物块，物块与木板的接触面粗糙。
当物块m获得初速度v0向右滑动，在滑动过程中下面叙述正确的是（）A. 若M固定不动，则m对M摩擦力的冲量为零B. 若M不固定，则m克服摩擦力做的功全部转化为内能C. 不论M是否固定，摩擦力对m与M所做的功之和一定等于零D. 不论M是否固定，摩擦力对系统的冲量之和一定为零7．下列各种叙述中,符合物理学史实的是( )A. 康普顿效应证明了光具有波动性B.德布罗意波证明了实物粒子具有波动性C.普朗克为了解释光电效应的规律,提出了光子说D.光电效应现象是爱因斯坦首先发现的注意：8～12题为多项选择题8.关于光的波粒二象性，下列叙述中正确的是( )A.大量光子产生的效果显示出波动性，个别光子产生的效果显示出粒子性B.光在传播时表现出波动性,在跟物质作用时表现出粒子性C.频率大的光较频率小的光的粒子性强，但波动性弱D.频率大的光较频率小的光的波动性强，但粒子性弱9．把物体以某一速度抛出，若不计空气阻力，则在物体下落过程中，下列说法正确的是（）A．在任意相等时间内，动量变化都相同B．在任何一段时间内，动量变化的方向都竖直向下C．在任何一段时间内，动量对时间的变化率均相同D．在刚抛出的瞬间，动量对时间的变化率为零10．一台理想变压器的原、副线圈的匝数之比是5∶1，原线圈接入电压220 V的正弦交流电，一个理想二极管和一个滑动变阻器R串联接在副线圈上，各元件正常工作，如图所示．电压表和电流表均为理想交流电表，则下列说法正确的是( )A．原、副线圈中的电流之比为5∶1B．电压表的读数约为31.11 VC．若滑动变阻器接入电路的阻值为20 Ω，则1分钟内产生的热量为2904 JD ．若将滑动变阻器的滑片向上滑动，则两电表读数均减小11．甲、乙两物体质量相等，并排静止在光滑水平面上。
2018-2019安徽省芜湖市安师大附中高二下学期期中考试数学（理）试题
芜湖市安师大附中2018-2019学年度第二学期期中考查高二数学（理）试题命题教师： 审题教师：一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 为虚数单位，则复数2534i+的虚部为（ ） A ．254B ．4C ． 4-D ．4i -2.下列求导运算正确的是（ ）A ．2()x x '=B ．(sin )cos x x '=-C ．()x xe e --'= D ．1(ln 5)x x'=3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．24.在用数学归纳法证明:“22n n >对从0n 开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的0n 等于( )A ．1B ．3C ．5D ．75.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的 染色方案共有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．12种6.函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )A B C D7.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样 的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③8.向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方 的概率是( )A ．π4B ．12C ．π2－1D ．2π9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解 集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1} 10.已知函数2()32sin cos 23(0)f x x x x ωωωω=+->在区间(),2ππ内没有极值 点，则ω的取值范围为（ ） A ．511,1224⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．55110,,241224⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．51110,,12242⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11.某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个 场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种A ．222B ．253C ．276D ．284 12.三棱锥P ABC -中，底面ABC 满足BA BC =，2ABC π∠=，点P 在底面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为196，当其外接球的表面积最小时，P 到底面ABC 的距离为（ ）A ．3B 319319 D 319二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
安徽师范大学附属中学高二数学下学期期中考查试题(含解析)
安徽师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期期中考查数学一、选择题：共12题1．设函数错误!未找到引用源。
在其定义域内可导,错误!未找到引用源。
图象如图所示,则导函数错误!未找到引用源。
的图象可能为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的单调性以及原函数与其导函数图象正负之间的关系,意在考查学生对基本概念的运用能力.由错误!未找到引用源。
的图象可判断出错误!未找到引用源。
在区间错误!未找到引用源。
上单调递增,在(0,+错误!未找到引用源。
)上先增后减再增,所以在区间错误!未找到引用源。
上错误!未找到引用源。
,在(0,+错误!未找到引用源。
)上先有错误!未找到引用源。
再有错误!未找到引用源。
再有错误!未找到引用源。
.故选D.2．错误!未找到引用源。
的二项展开式中,错误!未找到引用源。
的系数是A.70B.-70C.28D.-28【答案】A【解析】本题主要考查二项式定理的运用,意在考查学生的运算求解能力.根据二项式定理,可得错误!未找到引用源。
的通项公式为错误!未找到引用源。
,令错误!未找到引用源。
=2,则错误!未找到引用源。
,此时错误!未找到引用源。
,即错误!未找到引用源。
的系数是70.故选A.3．设错误!未找到引用源。
是一个离散型随机变量,其分布列如下表,则错误!未找到引用源。
的等于A.1B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【答案】C【解析】本题主要考查离散型随机变量的性质,意在考查学生对基本概念的理解运用.根据离散型随机变量的性质可得:错误!未找到引用源。
,即错误!未找到引用源。
,解得错误!未找到引用源。
,而错误!未找到引用源。
时,错误!未找到引用源。
舍去,故错误!未找到引用源。
.故选C.4．房间有8个人坐成一排,现要调换其中3个人中每一个人的位置,其余5个人的位置不变,则不同的调换方式有A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
安徽省师范大学附属中学高二数学下学期期中考查试题文
安徽师范大学隶属中学2017-2018 学年度第二学期期中考察高二数学试题（文）一、选择题（本大题共12 小题，每题 3 分，共36 分）1. 已知复数 z=﹣2i+ 3i，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（）iA．第一象限B．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 用反证法证明命题：“若a， b∈N，ab 能被5整除，则 a， b 中起码有一个能被 5 整除”，那么假定的内容是 ()A．a，b都能被 5 整除B ．a， b 都不可以被5整除C．，b 有一个能被 5 整除D．，有一个不可以被5整除a a b3. 某工厂生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有以下几组样本数据：xy 据有关性查验，这组样34562.534 4.5本数据拥有线性有关关系，经过线性回归剖析，求得其回归直线的斜率为0.7 ，则这组样本数据的回归直线方程是（）A．y 0.7x 2.05 B． y0.7x 1C．y0.7x0.35D．y0.7x 0.454.设复数 z=1+ 2( 此中i为虚数单位 ) ，则z23z 的虚部为（）iA．2i B ． 0C．-10 D ．25.以下函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A. y x3B.y ln(x)C.y xe xD. y x2x6.已知函数 f ( x)的导函数为 f ′(x)，且知足 f ( x)＝2x· f ′(1)＋ 1n x，则 f ′(1)等于() A．－ e B ．－ 1 C ．1 D ． e7.函数 f ( x)x33bx3b 在 (0,1)内有极小值，则 ()A．0 b 1 B ．b 1 C ．b 0D1． b28.若点 P 是函数 f ( x) x2ln x 上随意一点，则点P 到直线x y 20 的最小距离为( )2 A．2B．2C．1D．329. 在平面几何中有以下结论：正三角形S11的内切圆面积为1，外接圆面积为2，则＝，ABC S S S24推行到空间能够获得近似结论：已知正四周体P- ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，1V则V2＝()1111A. 8B.9C.64D.2710. 若函数 f ( x)kx ln x在区间 1,单一递加，则k 的取值范围是（）A., 2B.,1C.2,D.1,11．甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店．某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店．事实上，甲、乙、丙三人的陈说都只对了一半．其余同学依据如上信息，可判断以下结论正确的选项是（）A．甲做微商B．乙做淘宝店C．丙做微商D．甲做实体店12. 定义在R上的函数f(x) 知足： f(x)+f (x)>1,f(0)=4 则不等式 e x f (x) e x 3 （此中e为自然对数的底数）的解集为（）A．(0,+) B ．(-,0) U(3,+ ) C ．(-,0)U(0,+ )D．(3,+)二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）13.曲线 y x(3ln x1) 在点(1,1)处的切线方程为________.14.数列 a n知足a11,a n 1a n( nN*)，概括出数列的通项公式为________.1a n15.曲线 f (x)ln x ax存在与直线2x y 0 平行的切线，则实数 a 的取值范围_______．3，16.关于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝5，33＝7，13，15，9，34⋯.＝17，11，19，32015，m＝ ______.依此，若 m 的“分裂数”中有一个是三、解答（本大共 5 小，共48 分）17.（本小分 6 分）已知 f(x)=1, 分求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的，3x3而后猜想一般性，并明你的. 。
安徽省师范大学附属中学2019年高二数学下学期期中考查试题 文
安徽师范大学附属中学2017-2018学年度第二学期期中考查高二数学试题（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.已知复数z=﹣2i+3ii-，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2.用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除3.某工厂生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为7.0，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A ．0.7 2.05y x =+B ．0.71y x =+C ．0.70.35y x =+D ．0.70.45y x =+5.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 （ ）A. 3y x =B. ln()y x =-C. x y xe -=D.2y x x=+6.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋1n x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e7.函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则( ) A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．12b <8.若点P 是函数x x x f ln )(2-=上任意一点，则点P 到直线02=--y x 的最小距离为( )A ．39.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.12710.若函数x kx x f ln )(-=在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(],2-∞- B. (],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞11．甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店．某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店．事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半．其他同学根据如上信息，可判断下列结论正确的是（ ） A ．甲做微商B ．乙做淘宝店C ．丙做微商D ．甲做实体店12.定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)+f (x)>1,f(0)=4'则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(0,+)∞B ．(-,0)(3,+)∞∞C ．(-,0)(0,+)∞∞D ．(3,+)∞ 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分） 13.曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________. 14.数列{}n a 满足)(1,1*11N n a a a a nnn ∈+==+，归纳出数列的通项公式为________. 15.曲线ax x x f +=ln )( 存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围_______．16.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧3，5，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7，9，11，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13，15，17，19，….依此，若m 3的“分裂数”中有一个是2015，则m ＝______. 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 17.（本小题满分6分）已知f(x)=331+x ,分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.。
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2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学（理）试题一、单选题1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出．详解：：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．点睛：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．用反证法证明命题：“若能被5整除，则中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是（）A. 都能被5整除B. 都不能被5整除C. 有一个能被5整除D. 有一个不能被5整除【答案】B【解析】试题分析：反证法中，假设的应该是原结论的对立面，故应该为a，b都不能被5整除.【考点】反证法.3．某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5，代入可求这组样本数据的回归直线方程．详解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．故=0.7x+0.35，故选：．点睛：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程必过样本中心点是解题关键．4．设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为（）A. B. 0 C. -10 D. 2【答案】D【解析】分析：由复数z求出z的共轭复数，然后代入z2+3化简求值即可得到答案．详解：z=1+=，∴，则z2+3=（1﹣2i）2+3（1+2i）=1﹣4i+4i2+3+6i=2i．∴z2+3的虚部为2．故选：D．点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可；复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．5．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：是奇函数，但没有极值；的定义域是，故它不是奇函数；对，记，则，它不是奇函数，根据选择题的特点，本题选D．当然对于函数，，函数是奇函数，又，，当或时，，当或时,，因此是极小值，是极大值．选D．【考点】函数奇偶性与函数的极值．6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )A. －eB. －1C. 1D. e【答案】B【解析】依题意得，f′(x)＝2f′(e)＋，取x＝e得f′(e)＝2f′(e)＋，由此解得f′(e)＝－＝－e－1，选C.7．函数在内有极小值，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，由题意在（0,1）上与x轴有交点，故，∴，故选A【考点】本题考查了极值的定义点评：熟练掌握导数的运算及极值的定义是解决此类问题的关键，属基础题8．若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为( )A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求．详解：点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，解得：x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于，故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．故选：A．点睛：本题考查函数的导数的求法及导数的几何意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．9．在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：平面上，若两个正三角形的内切圆与外接圆面积的比为1：4，则它们的半径比为1：2，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的外接球的半径比为1：3，则它以体积比为1：27，【考点】类比推理.10．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．【考点】利用导数研究函数的单调性.11．甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店.某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店.事实上，甲、乙、丙三个的陈述都只对了一半.其他同学根据如上信息，可判断下列结论正确的是（）A. 甲做微商B. 乙做淘宝店C. 丙做微商D. 甲做实体店【答案】D【解析】若选项A正确，即甲做微商，则根据甲的话可知乙做微商，与题意不符；若选项B正确，即乙做淘宝店，则根据甲的话可知与题意不符；若选项C正确，即丙做微商，则根据甲的话可知甲做淘宝店，再根据丙的话可知与题意不符；若选项D正确，即甲做实体店正确，则根据甲的话可知乙做微商，根据乙的话可知丙做淘宝店，丙的话符合题意．故选D．12．定义在上的函数满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.详解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题13．曲线在点（1,1）处的切线方程为_________【答案】y=4x-3【解析】，则切线斜率，在点处的切线方程为，即，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于容易题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14．数列满足，归纳出数列的通项公式为________.【答案】【解析】分析：利用递推关系式可求出a2，a3，a4，…，进而猜想归纳出其通项公式详解：由题意可得：a1=1，且a n+1=，则a2==，a3==，a4==,…∴通过观察归纳出规律：其通项应是分子为1，分母与相应的下标相同，故a n=（n∈N）．可用数学归纳法或取倒数法加以推理证明，故答案为：．点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．15．曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围_______．【答案】（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．详解：函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a（x＞0）．∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，∴方程+a=2在区间x∈（0，+∞）上有解．即a=2﹣在区间x∈（0，+∞）上有解．∴a＜2．若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．则，解得x0=e．此时a=2﹣．综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．故答案为：（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．16．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝，33＝，43＝….依此，若m3的“分裂数”中有一个是2015，则m＝______.【答案】45【解析】分析：由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是2015时，m的值．详解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，2015是从3开始的第1007个奇数当m=44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共=989个当m=45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共=1034个故m=45．故答案为：45．点睛：本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．三、解答题17．已知，分别求，，，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】【解析】试题分析：（1），2分同理可得：4分，。
6分（2）结论：若时，有=8分证明：设【考点】本题考查了归纳推理的运用点评：归纳推理的步骤：⑴通过观测个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题18．随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否(2)若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率.参考数据：K2＝()()()()()2n ad bca b c d a c b d-++++，其中n＝a＋b＋c＋d.【答案】(1)见解析 (2)9 10【解析】试题分析：(1)结合所给的数据绘制列联表，据此计算可得K2＝()2 50310271037301320⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈9.98＞6.635.则有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，据此列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝9 10．试题解析：K2＝()2 50310271037301320⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈9.98＞6.635.所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb、Ca、Cb，共9种结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝9 10．19．（2005•北京）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【答案】（Ⅰ）（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）﹣7【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．解：（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．20．设函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)判断f(x)的单调性；(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）首先求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间；（2）应用参数分离得a＞，求出在（0，+∞）上的最大值，只要a大于最大值即可；详解：（1）在上单调递增；当时，所以在上单调递增；在上单调递减；（2）在上恒成立，因为当时，当时，所以即点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.21．已知函数，在处取得极值2.（1）求的解析式；.（2）设函数，若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（I）求出导函数的解析式f′（x）=，再由函数在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），及函数g（x）=ax﹣lnx．我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．详解：（Ⅰ）f′（x）==f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，故此时（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0≤a≤e点睛：已知函数在上的值域为A ，函数在上的值域为B ，对于任意的，总存在唯一的，使得，则.。