一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ，
推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0
0)0(0
042b c f a ac b
上述推论结合二次函数图象不难得到。

例1若一元二次方程0)1(2)1(2
=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212
a c x x a
b x x a
c b ，
【定理3】210x x <<⇔
0<a
c
例3 k 在何范围内取值，一元二次方程0332
=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
【定理4】 ○101=x ，02
>x ⇔0=c 且0<a b
； ○201<x ，02
=x ⇔0=c 且0>a
b。

例4若一元二次方程03)12(2
=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？
二．一元二次方程的非零分布——k 分布
设一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
>->≥-=∆k a b k af ac b 20
)(042
【定理2】k x x <≤21⇔⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
<->≥-=∆k a b k af ac b 20)(042。

【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af 。

推论1
2
1
0x
x<
<⇔0
<
ac。

推论2
2
1
1x
x<
<⇔0
)
(<
+
+c
b
a
a。

【定理4】有且仅有
1
1
x
k<（或
2
x）
2
k
<⇔0
)
(
)
(
2
1
<
k
f
k
f
【定理5】
2
2
1
2
1
1
p
x
p
k
x
k<
<
≤
<
<⇔
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
<
>
>
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
p
f
p
f
k
f
k
f
a
或
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
>
<
<
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
p
f
p
f
k
f
k
f
a
此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】
2
2
1
1
k
x
x
k<
≤
<⇔
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
-
<
>
>
>
≥
-
=
∆
2
1
2
1
2
2
)
(
)
(
4
k
a
b
k
k
f
k
f
a
ac
b
或
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
-
<
<
<
<
≥
-
=
∆
2
1
2
1
2
2
)
(
)
(
4
k
a
b
k
k
f
k
f
a
ac
b
补充练习：1、已知()()()2f x x a x b =---，并且,αβ是方程()0f x =的两根，则实数
,,,a b αβ的大小关系可能是：
A.a b αβ<<<;
B.a b αβ<<<;
C.a b αβ<<<;
D.a b αβ<<< 2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

5、已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.
6、若方程()2
110x k x --+=有大于2的根，求实数k 的取值范围。

7、已知二次方程()
22140x a x a +++-=。

①一个实根大于1，另一个实根小于1，求a 的取值范围。

②一根小于-3，另一根大于1，求a 的取值范围。

③两实根在（-3，1）内，求a 的取值范围。

8、已知a R ∈,二次函数()222x f ax x a =--，设不等式()0x f >的解集为A ，又知集合B={}13x x |<<，若A B φ⋂=,求a 的取值范围.
9.若方程()22
71320x k x k k -++--=有两个实根1x 和2x ，且101x <<，212x <<，
求k 的取值范围。

10.要使满足关于x 的不等式2
290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式
2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，求实数a 的取值范围。

（817,8x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）
总结：二次方程根的分布问题注意四个方面：一是开口方向；二是对称轴；三是∆；四是边界值。