解答题专项突破(四)高考中立体几何问题的热点题型

高考中立体几何问题的热点题型
立体几何是每年高考的重要内容，每年基本上都是两道客观题和一道解答题，客观题主要考查考生的空间想象能力及简单的计算能力．解答题主要采用证明与计算相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间线线、线面、面面的平行或垂直关系，再利用空间几何体表面积、体积的计算公式求解．重在考查考生的逻辑推理及计算能力，试题难度一般不大，属中档题，且主要有以下几种常见的热点题型．
热点题型1平面图形的折叠问题
典例已知点A，B是边长为6的等边△PCD两边PD，PC上的点，且P A ＝2AD，PB＝2BC(如图1)，将△P AB沿AB边折起得平面P AB⊥平面ABCD，形成如图2所示的几何体P－ABCD，其中G为AB的中点．
(1)求证：PG⊥BC；
(2)过点A作平面α∥平面PBC，平面α将几何体P－ABCD分成两部分，求这两部分体积的比值．
解题思路(1)①看到平面P AB⊥平面ABCD，想到面面垂直的性质定理．
②看到G为AB的中点，想到证明P A＝PB，得PG⊥AB，从而得PG⊥平面ABCD.
③由PG⊥平面ABCD，得PG⊥BC.
(2)①平面α将几何体P－ABCD分成两部分：三棱锥和一个不规则几何体．
②
V三棱锥
V四棱锥P－ABCD
＝
1
3S1·h1
1
3S2·h2
.
③由面面平行的性质和平行线分线段成比例定理，求h1 h2.
在四边形ABCD内求S1与S2的关系．
规范解答证明：(1)由P A＝2AD，PB＝2BC，
得P A
AD＝
PB
BC，则AB∥CD.
又△PCD为等边三角形，故△P AB为等边三角形．
又点G为AB的中点，因此PG⊥AB.
因为平面P AB⊥平面ABCD，且平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以PG⊥平面ABCD.
因为BC⊂平面ABCD，所以PG⊥BC.
(2)在平面ABCD内过点A作AM∥BC交CD于点M，在平面PCD内过点M 作MN∥PC交PD于点N，连接AN.
由于AM∥BC，AM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AM∥平面PBC，同理可证MN∥平面PBC.
又MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面PBC.
由于CD＝6，AB＝4，所以DM＝2，
则DN
DP＝
DM
DC＝
1
3，
所以点N到平面ABCD的距离为点P到平面ABCD距离的1 3.
由于在题图1中，PD＝6，所以△PCD的高h＝33，故梯形ABCD的高为 3.
所以S △AMD ＝12×2×3＝3， S 梯形ABCD ＝12×(4＋6)×3＝5 3.
设棱锥P －ABCD 的体积为V ，
则V ＝13PG ·S 梯形ABCD ，V N －ADM ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13PG ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫15S 梯形ABCD ＝115V ， 故两部分体积之比为115V ∶⎝ ⎛⎭
⎪⎫V －115V ＝1∶14. (答案也可以是14∶1.)
热点题型2 立体几何中的探索性问题
典例 (2018·
惠州高三第一次调研)如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝60°，AA 1＝AC ＝2，A 1B ＝A 1D ＝22，点E 在A 1D 上．
(1)证明：AA 1⊥平面ABCD ；
(2)当A 1E ED 为何值时，A 1B ∥平面EAC ，并求出此时直线A 1B 与平面EAC 之间
的距离．
解题思路 (1) ⎭
⎬⎫四边形ABCD 为菱形∠ABC ＝60°⇒△ABC 和△ACD 都是等边三角形⇒△AA 1B 和△AA 1D 三边都可求⇒用勾股定理逆定理证AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ⇒证AA 1⊥平面ABCD .
(2)①连接BD 交AC 于点O ⇒由O 为BD 中点想到E 为A 1D 的中点时A 1B ∥平面EAC .
②直线A 1B 与平面EAC 的距离
转化点A 1到平面EAC 的距离转化点
D 到平面EAC 的距离，想到利用V D －EAC ＝V
E －ACD 求距离．
规范解答 (1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，
所以AB ＝AD ＝AC ＝2，
在△AA 1B 中，
由AA 21＋AB 2＝A 1B 2，知AA 1⊥AB ，
同理AA 1⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，
所以AA 1⊥平面ABCD .
(2)当A 1E ED ＝1时，A 1B ∥平面EAC .
证明如下：如图，连接BD 交AC 于点O ，当
A 1E ED
＝1，即点E 为A 1D 的中点时，
连接OE ，则OE ∥A 1B ，又A 1B ⊄平面EAC ，所以A 1B ∥平面EAC .
直线A 1B 与平面EAC 之间的距离等于点A 1到平面EAC 的距离，因为E 为A 1D 的中点，所以点A 1到平面EAC 的距离等于点D 到平面EAC 的距离，V D －EAC ＝V E －ACD ，设AD 的中点为F ，连接EF ，则EF ∥AA 1，且EF ＝1，所以EF ⊥平面ACD ，可求得S △ACD ＝3，
所以V E －ACD ＝13×1×3＝33.
又AE ＝2，AC ＝2，CE ＝2，所以S △EAC ＝72， 所以13S △EAC ·d ＝33(d 表示点D 到平面EAC 的距离)，解得d ＝2217，所以直
线A 1B 与平面EAC 之间的距离为2217.。