2020秋高中数学第二章推理与证明课时作业3合情推理含解析新人教A版选修1_2

新人教A版高中数学选修1_2：
课时作业3 合情推理
时间：45分钟分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．数列2，5，22，11…的一个通项公式是()
A．a n＝3n－3 B．a n＝3n－1
C．a n＝3n＋1 D．a n＝3n＋3
解析：方法一：因为a1＝3×1－1，a2＝3×2－1，
a3＝3×3－1，a4＝3×4－1，
由此猜测a n＝3n－1，
方法二：由a1＝2可排除A、C、D，选B.
答案：B
2．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()
1
12 1
133 1
14a4 1
1510105 1
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.
答案：C
3．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，则在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是()
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，任意相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形．
A．①B．①②
C．①②③D．③
解析：由平面几何与立体几何的类比特点可知三条性质都是恰当的．
答案：C
4．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()
A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋2
＝2×9.
9个
答案：D
5．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，则72 013的末两位数字为()
A．01 B．43
C．07 D．49
解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，
所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.
又2 013＝4×503＋1，
所以72 013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.
答案：C
6．将正整数排成下表：
1
23 4
56789
10111213141516
…
则在表中数字2 013出现在()
A．第44行第78列B．第45行第78列
C．第44行第77列D．第45行第77列
解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 013<2 025，∴2 013在第45行．
又2 025－2 013＝12，且第45行有2×45－1＝89个数字， ∴2 013在第89－12＝77列． 答案：D
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．有下列不等式：a 2＋b 2≥2ab ，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2，…，其中a ，b 都大于0，试猜想：若a ，b 都大于0，m ，n ∈N *，则a m ＋
n ＋b m ＋
n ≥________.
解析：由a 2＋b 2≥ab ＋ab ，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2， 由此猜想，a m ＋n ＋b m ＋n ≥a m b n ＋a n b m . 答案：a m b n ＋a n b m
8．在平面上，若两个正三角形的边长比为1
2，则它们的面积比为1
4.类似地，在
空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________．
解析：V 1V 2＝13S 1h
113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18
.
答案：1
8
9．下图(1)所示的图形有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB
＝P A ′·PB ′
P A ·PB ，则下图(2)所示的图形有体积
关系：V P —A ′B ′C ′
V P —ABC
＝________.
答案：P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC
三、解答题(共计40分)
10．(10分)已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n
a n ＋3，
(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2)猜想a n . 解：(1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1
212
＋3＝37＝3
2＋5
，
同理，a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝3
5＋5，
(2)猜想a n ＝3
n ＋5
.
11．(15分)设函数f (x )＝x
x ＋2(x >0)，观察：
f 1(x )＝f (x )＝
x
x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x
3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x
7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x
15x ＋16
，
…
根据以上事实，由归纳推理归纳当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )的表达式． 解：由已知可归纳如下： f 1(x )＝x
(21－1)x ＋21，
f 2(x )＝x
(22－1)x ＋22，
f 3(x )＝x
(23－1)x ＋23，
f 4(x )＝x
(24－1)x ＋24，
…
f n (x )＝x
(2n －1)x ＋2n
.
所以归纳得到当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝x
(2n －1)x ＋2n
.
12．(15分)在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有
T 20T 10，T 30
T 20
，T 40
T 30
也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明； (2)写出该结论的一个更为一般的情形(不必证明)．
解：(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：因为等差数列{a n}的公差d＝3，
所以(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝100d＝300，
＝10d＋10d＋ (10)
10个
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
(2)对于任意k∈N*，都有数列S2k－S k，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.。