河南平顶山普通高中毕业班第二次质量检测理科数学

平顶山市2009届普通高中毕业班第二次质量检测
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至5页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间120分钟．总分150分．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 一．选择题
（1）设复数z 满足(2)z z i =+，则z 等于 A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --
（2）已知4
{1}1
A x x =>+，{}
B x x a =<，若∅
B A ⊆，则实数a 的取值范围是
A ．1a <
B ．1a ≤
C ．13a ≤≤
D ．01a <≤
（3）若函数()cos y f x x =+在3[,]44
ππ
-内单调递减，则()f x 可以是 A ．1
B ．cos x
C ．sin x
D ．sin x -
（4）函数1
()3
x f x -=(02)x <≤的反函数是
A ． 31log y x =+，1
(,3]3x ∈ C ． 31log y x =+，1
(,3)3
x ∈
B ． 31log y x =-+，1(,3)3x ∈
D ． 3log (1)y x =+，1
(,3]3
x ∈
（5）设直线l 经过点(2,1)P ，且(0,4)A 、(4,8)B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是
A ． 10x y --= C ． 30x y +-=
B ． 10x y --=或40x y --= D ． 10x y --=或2x =
（6）设01a <<，()a f x log x =，则下列各式中成立的是 A ．1
1
(2)()()34f f f >>
C ．1
1
()(2)()3
4
f f f >>
B ．11
()(2)()43f f f >> D ．1
1
()()(2)4
3
f f f >>
（7）在2()n
x x
的二项展开式中，常数项为60，则n 等于 A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
（8）设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，右准线为l ．如果以F 为圆心，实轴长为半
径的圆与l 相交，那么双曲线的离心率e 的取值范围是 A ．121e <<
+ B ．51
1e +<<
C ．51
e +>
D ．21e >+
（9）已知M 为△ABC 内一点，且23AB AC ⋅=u u u r u u u r
，30BAC ∠=︒．如果△MBC 、△MCA 、
△MAB 的面积分别为1
2
、x 、y ，则14x y +的最小值为
A ．9
B ．18
C ．16
D ．20
（10）已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与SD 所成的角的余弦
值为 A ．
23
B ．
33
C ．
23
D ．
13
（11）设数列21n a n =+（*
n ∈N ）的前n 项和为n S ，则12111lim(
)n n
S S S →∞
+++=L A ．0 B ．
1
4
C ．
12 D ．
34
（12）设R 上的函数()f x 满足(4)1f =，它的导函数的图像如图，若正数a 、b 满足(2)1f a b +<，
则22
b a ++的取值范围是
A ．11
(,)32 C ．1(,3)2
B ．1(,)(3,)2
-∞+∞U D ．(,3)-∞-
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．
2． 第Ⅱ卷共3页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题．．．
卷上作答无效．．．．．．
． 3．本卷共10小题，共90分．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（13）某师范性高中响应上级号召，安排3名教师到4所边远山区学校支教，每所学校至多安排2人，则
不同的分配方案有 ___ ．（用数字作答）
（14）已知向量(sin cos )A A =，m ，(31)=-，
n ，1⋅=m n ，且A 为锐角，则角A =_________． （15）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60°，E 为
AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三
棱锥P －DCE 的外接球的体积为_______________． （16）已知正态分布2
(,)N μσ的密度曲线是
22
()2()2x f x e
μσπσ
--=，给出以下四个命题：
①对任意x ∈R ，()()f x f x μμ+=-成立；
②如果随机变量ξ服从2
(,)N μσ，且()()F x P x ξ=<，那么()F x 是R 上的增函数； ③如果随机变量ξ服从(108,100)N ，那么ξ的期望是108，标准差是100； ④随机变量ξ服从2
(,)N μσ，1
(1)2
P ξ<=
，(2)P p ξ>=，则(02)12P p ξ<<=-；其中，真命题的序号是 ________ ．（写出所有真命题序号）
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）
已知函数2()2cos cos()3sin sin cos 6
f x x x x x x π
=--+．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设[,]33
x ππ
∈-
，求()f x 的值域．
（18）（本小题满分12分）
某高校自主招生中，体育特长生的选拔考试，篮球项目初试办法规定：每位考生定点投篮，投进2球立刻停止，但投篮的总次数不能超过5次，投篮时间不能超过半分钟．某考生参加了这项测试，他投篮的命中率为0.8，假设他各次投篮之间互不影响．若记投篮的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． （19）（本大题满分12分）
已知数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：114a b ==，222a b ==，31a =，且数列1{}n n a a +-是等差
数列，*
n ∈N ．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在*
k ∈N ，使得1
(,3]2
k k a b -∈？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． （20）（本大题满分12分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PC ⊥AD ，ABCD 为梯形， AB ∥CD ，AB ⊥BC ， AB =BC=PA ，点E 在PB 上，且PE =2EB ． （Ⅰ）求证：PD ∥平面ACE ； （Ⅱ）求二面角A -EC -P 的大小．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2
2
e =
，直线10x y -+=与E 相交于A 、B 两点，与x 轴相交于C 点，且3AC CB =u u u r u u u r
．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）如果椭圆E 上存在两点M 、N 关于直线:4l y x m =+对称，求m 的取值范围． （22）（本小题满分12分）
设0a ≥，函数2
()[(3)23]x
f x x a x a e =+--+，4
()21
g x a x x =---+． （I ）当1a ≥时，求()f x 的最小值；
（II ）假设存在12,(0,)x x ∈+∞，使得|12()()f x g x -|<1成立，求a 的取值范围．
2009届高三第二次调研考试
理科数学参考答案
一．选择题：CDDA DDBA BBDC ．
二．填空题：（13）60，（14）3
π
，（15）6π，（16）①②④ ．
三．解答题：
（17）解：（Ⅰ）∵2
()cos (3cos sin )3sin sin cos f x x x x x x x =+-+
22sin )2sin cos x x x x =-+
2sin 22cos(2)6
x x x π
=+=-． ………3分
∴令722261212
k x k k x k πππ
πππππ≤-≤+⇒+≤≤+
， ………4分 ∴()f x 的递减区间是7[,]1212
k k ππ
ππ++，k ∈Z ； ………5分
令2226k x k ππππ-≤-≤51212
k x k ππ
ππ⇒-≤≤+， ………6分
∴()f x 的递增区间是5[,]1212
k k ππ
ππ-+，k ∈Z ． ………7分
（Ⅱ）∵[,]33x ππ∈-，∴52662
x πππ
-≤-≤， ………8分
又()2cos(2)6
f x x π
=-
，所以，根据单位圆内的三角函数线
可得()[2]f x ∈． ………10分
（18）解：由题意{2,3,4,5}ξ∈， ………1分
(2)0.80.80.64P ξ==⨯=， ………2分
1
2(3)0.80.20.80.256P C ξ==⨯⨯⨯=， ………4分 123(4)0.80.20.80.0768P C ξ==⨯⨯⨯=， ………6分
(5)1(0.640.2560.0768)0.0272P ξ==-++=， ………8分
所以ξ的分布列为：
…
………9分
20.6430.25640.076850.0272 2.4912E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………12分
（19）解：（Ⅰ）由题设可知，1
31
1
4()
()2
2
n n n b --=⨯=． ………1分 ∵212a a -=-，321a a -=-，
∴12(1)13n n a a n n +-=-+-⨯=-， ………3分 ∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L
(1)(6)
4(2)(1)(4)42
n n n --=+-+-++-=+
L ， ………5分
∴ 2714
2n n n a -+=． ………6分
（Ⅱ）设23
7141()22
n n n n n n c a b --+=-=
-． ………7分 显然，1,2,3n =时，0n c =， ………8分
又211(3)()
2n n n c c n -+-=-+， ∴当3n =时，4312c c -=，∴441
2a b -=， 当4n =时，5454c c -=，∴557
4a b -=， ………9分
当5n =时，65178c c -=，∴6631
38
a b -=>， ………10分
当6n ≥时，2
11(3)()32
n n n c c n -+-=-+>恒成立，
∴11133n n n n c a b c +++=->+>恒成立， ………11分 ∴存在5k =，使得1
(,3]2
k k a b -∈． ………12分 （20）解：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ，PC ⊥AD ，∴AC ⊥AD ． ………1分
设AB=1，则
，CD=2． ………2分 设F 是AC 与BD 的交点，∵ABCD 为梯形，
∴△ABF ～△CDF ， ∴DF ：FB =2：1， ………3分 又PE ：EB =2：1，∴DF ：FB =PE ：EB ，∴EF ∥PD ， ………5分 又EF 在平面ACE 内，∴PD ∥平面ACE ． ………6分 （Ⅱ）以A 为坐标原点，AB 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图．
设AB =1，则(0,0,1)P ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，21(0,,)33
E ， ………7分
则(1,1,0)AC =u u u r ，21
(0,,)33
AE =u u u r ，(0,1,1)PB =-u u u r ，(1,1,1)PC =-u u u r ， ………8分
设1(,,)n x y z =u r ，∵1n AC ⊥u r u u u r ，1n AE ⊥u r u u u r ，∴10(1,1,2)2033
x y n y z +=⎧⎪
⇒=-⎨+=⎪⎩u r ， …9分
设2(,,)n x y z =u u r ，∵2n PB ⊥u u r u u u r ，2n PC ⊥u u r u u u r ，∴20(0,1,1)0y z n x y z -=⎧⇒=⎨+-=⎩u u r ， …10分
∴1212123cos ,6
n n n n n n ⋅==⋅r r r r
r r ， ………11分
∴二面角A -EC -P 的大小为3
arccos
6
．………12分 注：学生使用其它解法应同步给分．
（21）解：（Ⅰ）设所求的椭圆E 的方程为22
221(0)2x y c c c
+=>， ………1分
11(,)A x y 、22(,)B x y ，将1y x =+代入椭圆得2234220x x c ++-=， ………2分 ∵3AC CB =u u u r u u u r ，又(1,0)C -，∴ 12314
x x +=-， ………3分
∴12
12212
314
43223x x x x c x x +⎧=-⎪⎪⎪
+=-⎨⎪
⎪-⋅=⎪⎩
， ………4分， 120431x x c =⎧⎪⎪⇒=-⎨⎪=⎪⎩ ， ………5分
∴所求的椭圆E 的方程为2
212
x y +=． ………6分 （Ⅱ）设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则221112x y +=，2
2
2212
x y +=， ………7分 又设MN 的中点为00(,)x y ，则以上两式相减得：0011
24
x y -=-， ………8分 ∴000024y x y x m =⎧⎨=+⎩，………9分， 002m x y m
⎧
=-⎪⇒⎨⎪=-⎩， ………10分
又点00(,)x y 在椭圆内，∴22
0012x y +<， ………11分 即，2
21124
m m ⨯+<，∴222233m -<<． ………12分 注：学生使用其它解法应同步给分．
（22）解：（Ⅰ）∵2
'()(1)()(1)x
x
f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+--=+-⎣⎦， ……2分
∵1a ≥，
∴(,)x a ∈-∞-时，()f x 递增，(,1)x a ∈-时，()f x 递减，(1,)x ∈+∞时，()f x 递增， 所以()f x 的极大值点为1x a =-，极小值点为21x =， ……4分 而(1)(1)0f a e =-≤，3
()0a a f a e
+-=
>，lim ()0x f x →-∞=， ……5分 （()f x 的图像如右图，供评卷老师参考）
所以，()f x 的最小值是(1)a e -． ……6分 （II ）由（Ⅰ）知()f x 在(0,)+∞的值域是：
当1a ≥时，为[(1),)a e -+∞，当01a <<时，为(0,)+∞． ……8分
而4
()21
g x a x x =---
+在(0,)+∞的值域是为(,1)a -∞--， ……9分 所以，当1a ≥时，令(1)(1)1a e a ----<，并解得1
e
a e >-，
当01a <<时，令0(1)1a ---<，无解． 因此，a 的取值范围是1
e
a e >
-． ……12分 注：学生使用其它解法应同步给分．。