四川省遂宁市射洪中学校2020-2021学年高三上学期期中数学文科试卷及答案解析.

四川省遂宁市射洪中学校2020-2021学年高三上学期期中数学
文科试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.已知集合}0,1,2,3,5,7A =，{}
07,B x x x N =≤<∈，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A.3 B.4 C.5
D.6
2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则z
i
=（ ） A.1i - B.1i --
C.1i -+
D.1i +
3.设x R ∈，则“05x <<”是“11x -<”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.已知各项均不相等的等比数列{}n a ，若2343,2,a a a 成等差数列，设n S 为数列{}n a 的前
n 项和，则3
3
S a 等于（ ）
A.
139
B.
79
C.3
D.1
5.已知点()(,00)a b a b >>,在直线1x y +=上，则1a
a b
+的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3
D.4
6.已知函数||2()2x f x x =+，设2
1log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()0.1
7n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ）
A.m p n >>
B.p n m >>
C.p m n >>
D.n p m >>
7.设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的最小值是（ ）
A.7-
B.2
C.3
D.5-
8.
为了得到函数log y =的图象，可将函数3log y x =的图象上所有的点（ ） A.纵坐标缩短到原来的1
3
，横坐标不变，再向右平移2个单位长度 B.横坐标缩短到原来的
1
3
，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度 C.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度 D.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度 9.已知1sin cos 32ππθθ⎛⎫
⎛⎫-+
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，则2cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值为（ ）
A.
3
B.
3
C.
23
D.
13
10.秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世． 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长,,a b c ，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”
若把以上这段文字写成公式，即为
S =ABC 满足2
sin c A 2sin C =，3cos 5B =，且a<b<c ，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A.
35
B.45
C.1
D.
54
11.在ABC 中，点D 为边AC 上一点，22AB BC ==，且2AC AD =，||2||AC BD =，
2CM MB =，AN NB =，则AM AB CN BC ⋅+⋅=（ ）
A.5
B.
92
C.
72
D.3
12.已知函数()()()2
1=
)1ln 2
(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），
对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（ ） A.15a <≤ B.25a <≤ C.25a ≤≤
D.35a <≤
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13.计算： 222
3log 6log 3+-的值为______．
14.函数21,1
()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪
=⎨>⎪⎩
的值域为______．
15.设向量a
，b 满足2a a b =⋅=，则2a b -的最小值为______． 16.已知函数()3cos 2)32g x x x x π⎛⎫
=+--+
⎪⎝⎭
，若(22)3x g ax e -+<在(0,)x ∈+∞上恒成立，则正实数
a 的取值范围为______．
三、解答题
已知函数定义在R 上有()()f x f x -=-恒成立，且当0x ≥时，
()1142x x
f x ⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（1）求(1)f -的值； （2）求函数()f x 的解析式； （3）求函数()f x 的值域．
18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点,n S n n
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
()n *
∈N 均在函数1y x =+的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1
4n n n b a n
-=⋅，n T 是数列{}2log n b 的前n 项和．求满足
2311151111101
n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--->
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值． 19.已知函数()sin()0,,02f x M x M π
ωϕϕω⎛⎫
=+><
> ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示．
（1）求函数()f x 的解析式与对称中心；
（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2b =，(2)cos cos a c B b C -=，当2f A ⎛⎫
⎪⎝⎭
取得最大值时，求ABC 的面积． 20.已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数． （1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点． （2）若函数4
3221()()(1)4
h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围．
21.已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．
（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当0a =时，2
()(1)()1g x x f x x =---，证明：函数()g x 有且仅有两个零点，且
两个零点互为倒数．
22.在极坐标系中，直线l ：cos 26πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，圆C ：2sin ρθ=．以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ．
（1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；
（2）已知点P 在圆C 上，点P 到直线l 和x 轴的距离分别为1
2,d d ，求12d d +的最大值． 23.已知函数()2|1||1|f x x x m =--+-
（1）当2m =-时，求不等式()3f x >的解集；
（2）若()f x 的最小值为M ，且4(,)a b M m a b R +=++∈，求2223a b +的最小值．
参考答案
1.C
【解析】1.
用列举法表示集合B ，从而可求出A
B .
解：{}
{}07,0,1,2,3,4,5,6B x x x N =≤<∈=，则{}0,1,2,3,5A B ⋂=共5个元素， 故选:C. 2.A
【解析】2.
根据复数z 对应的点的坐标是(1,1)，得到1z i =+,再利用复数的除法求解. 因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)， 所以1z i =+, 所以
11i i i z i
+==-, 故选：A 3.B
【解析】3.
求出11x -<的解集，根据两解集的包含关系确定.
11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；
由11x -<能推出05x <<。

故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。

故选B 。

4.A
【解析】4.
设等比数列{}n a 的公比为q ，由2343,2,a a a 成等差数列以及等比数列{}n a 的通项公式列方程，解得q ，再根据等比数列的前n 项和公式和通项公式可解得结果. 设等比数列{}n a 的公比为q ，∵2343,2,a a a 成等差数列，
∴243223a a a ⨯=+，∴2
22243a q a a q =+，
因为20a ≠，所以2
430q q -+=，
解得1q =或3q =，又各项均不等，所以3q =，
所以313
31(13)
131399
a S a a --==. 故选：A 5.C
【解析】5.
依题意可得1a b +=，再利用基本不等式的性质即可得解． 解：因为点()(,00)a b a b >>,在直线1x y +=上，所以1a b +=， 因为0,0a b >>
所以
1113
a a
b a b a a b a b a b ++=+=++≥=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号， 故选：C 6.C
【解析】6.
先判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，然后确定21
log 3
，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果. 因为()2
2x
f x x =+，
所以||
2||2()2
()2()x x f x x x f x --=+-=+=，
又定义域关于原点对称，
所以()2
2x f x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，
又2
21
log log 3(1,2)3
=∈，0.17(0,1)-∈，42log 25log 5(2,3)=∈， 所以0.1421
log 25log 73
->>， 所以p m n >>. 故选：C . 7.B
【解析】7.
由约束条件可得可行域，将问题转化为y x z =-+在y 轴截距最小值的求解问题，利用数形结合的方法可得到结果.
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
由z x y =+得：y x z =-+，
当z 取最小值时，y x z =-+在y 轴截距最小， 由图象可知：当y x z =-+过A 时，在y 轴截距最小， 又()2,0A ，min 202z ∴=+=. 故选：B. 8.A
【解析】8. 将函数转化为()31
log 23
y x =-，再利用伸缩变换和平移变换求解.
因为()3
31
log log 23
y x ==-，
所以将3log y x =纵坐标缩短到原来的1
3
，横坐标不变，再向右平移2个单位长度得到， 故选：A 9.C
【解析】9.
根据诱导公式以及两角和的正弦公式先化简原式，计算出sin 6πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值，然后根据同角
三角函数的关系求解出2
cos 6πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值.
因为1sin cos 32ππθθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11sin sin 2θθθ-=，
所以
3sin 12θθ+=，所以sin 6πθ⎛
⎫+= ⎪
⎝
⎭ 所以2
212cos 1sin 16633ππθθ⎛
⎫
⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭， 故选：C. 10.B
【解析】10.
先由正弦定理得2ac =，由余弦定理得2226
25
a c
b +-=，代入公式即得解.
因为2sin c A 2sin C =， 所以2
2,2ac c ac =∴=.
因为3cos 5B =，所以22222236
,2525
a c
b a
c b ac +-+-=∴=，
所以45
S ==. 故选：B 11.D
【解析】11.
依题意画出图形，可得AD CD BD ==，从而得到90B ∠=︒，再由1
3
AM AB BC =+
，1
2
CN BC AB =--
，根据平面向量数量积的运算律计算可得. 因为AN NB =，所以N 为AB 中点，
因为2CM MB =，所以M 为BC 的三等分点，因为2AC AD =，所以D 为AC 中点， 因为2AC BD =，2AC AD =，所以AD CD BD ==，所以90B ∠=︒ 所以13AM AB BM AB BC =+=+
，12
CN CB BN BC AB =+=--
因为0AB BC =，22AB BC ==， 所以1132B A A M AB C B BC BC N BC AB BC A +
⎪-⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭⎝-⎭
2211
32
AB AB BC BC A BC B =-+⋅⋅-
2211
2010332
=+⨯--⨯=
故选：D 12.A
【解析】12.
由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，
求()F x 的导数，令()()2
11g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，从而可求出实数a 的范围. 解：因为2x b
y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，
所以()()()2
1=
1ln ,12
f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>， 有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+， 即()()()()()2211
1ln =11ln 22
F x ax a x x x f x x x a x a x =+=
-+-+--+-， 所以()()()2
1111x a x a a F x x a x x
--+--'=--+=
，令()()2
11g x x a x a =--+-， 因为1a >，则102a x -=
>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
， 故()2
1111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤，
故选:A. 13.7
【解析】13.
利用指数与对数的运算性质即可求解
.
111222
222
6
3log 6log 323
log 6173
++-=⨯+=+=. 故答案为：7 14.(0,)+∞
【解析】14.
按1x <和1x >分别求出函数的值域，取并集可得答案．
当1x <时，()2
2
1331244f x x x x ⎛
⎫=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭
当1x >时，()()1
0,1f x x
=
∈ 综上可得，21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪
=⎨>⎪⎩
的值域为(0,)+∞
故答案为：(0,)+∞ 15.2
【解析】15.
设,a b θ=，由向量的数量积的运算公式，求得1cos b θ=，化简得到221
cos a b θ
-=，
进而求得2a b -的最小值.
由题意，向量a ，b 满足2a a b =⋅=，
设,a b θ=，则cos ,2cos 2a b a b a b b θ⋅=⋅==，可得1
cos b θ
=， 所以2
2
2
22
11
244cos cos a b a b a b θθ
-=+-⋅=+
-=， 当2cos 1θ=时，a b -取得最小值，最小值为1， 所以则2a b -的最小值为2.
故答案为：2. 16.02a <≤
【解析】16.
先分析()g x 的单调性，然后将问题转化为()
()220x
g ax e g -+<在()0,∞+上恒成立，
再利用导数采用分类讨论的方法求解出a 的取值范围.
因
为
)
()3cos 2ln
33sin 2ln 32g x x x x x x π⎛⎫⎛⎫
=+--+=+-+ ⎪⎝⎭
， 令3sin 2y x x =+，所以32cos 20y x '=+>，所以3sin 2y x x =+在()0,∞+上单调递增，
又因为ln y ⎛
⎫
=在()0,∞+上单调递减，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 又因为()030sin0ln133g =⨯+-+=，
所以(22)3x
g ax e -+<在()0,∞+上恒成立⇔(
)
()220x
g ax e g -+<在()0,∞+上恒
成立，
所以220x ax e -+<在()0,∞+上恒成立，所以220x e ax -->在()0,∞+上恒成立， 设()22x
h x e ax =--，所以()2x
h x e a '=-，且22x e >，
当2a ≤时，()20x
h x e a '=->，所以()h x 在()0,∞+上递增，所以()()00h x h >=，
满足；
当2a >时，令()20x
h x e a '=-=，所以ln
2a x =，所以()h x 在0,ln 2a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，
在ln
,2a ⎛
⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以()ln 002a h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
，这与()0h x >矛盾，所以不满足， 综上可知：02a <≤， 故答案为：02a <≤.
17.（1）14-；（2）42,0
()11,0
42
x x x x x f x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩；（3）11,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦．
【解析】17.
（1）先根据条件分析出()f x 为奇函数，根据(1)(1)f f -=-计算出结果；
（2）根据0x <时，0x ->，先求解出()f x -的解析式，然后根据()f x 为奇函数可求解出0x <时解析式，从而()f x 的解析式可求；
（3）采用换元法令2x t =，先求解出()f x 在(),0-∞上的值域，然后根据奇函数的特点可直接得到()f x 在R 上的值域.
（1）因为函数()y f x =定义在R 上有()()f x f x -=-恒成立， 所以函数()f x 为奇函数，所以1(1)(1)4
f f -=-=-
； （2）当0x <时，0x ->，所以()42x
x
f x -=-+， 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，
所以()()f x f x -=-，即()42x x
f x =-，
所以函数()y f x =的解析式为42,0()11
,042x x x
x
x f x x ⎧-<⎪
=⎨-+≥⎪⎩； （3）令2x t =，当0x <时，(0,1)t ∈，则当0x <时，()42x
x
f x =-
可写为2
1124
y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1,04y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 由()y f x =是定义在R 上的奇函数，可得()11,44f x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦.
18.（1）2n a n =；（2）100．
【解析】18. （1）由点(,
)n
S n n
（n *∈N ）在函数1y x =+的图象上，可得2n S n n =+，利用公式法可求出数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1）得：21
2n n b -=，2log 21n b n =-，利用等差数列的求和公式可得n T ，进而
得出23111111n T T T ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，解不等式可得最大正整数n 的值． （1）
点(,
)n
S n n
（n *∈N ）均在函数1y x =+的图象上，
1n
S n n
∴
=+，即2n S n n =+ 当2n ≥时，()2
2
1112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦
当1n =时，2
11112a S ==+=，满足上式
∴数列{}n a 的通项公式是2n a n =
（2）由（1）得：21
2n n b -=，2log 21n b n =-
∴21222log log ...log n n T b b b =+++()1321n =++
+-
()
1212
n n +-=
2n = ．
22222222222
231111112131411
11111123234n n T T T n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--⋅⋅-=--⋅⋅-=⋅⋅⋅
⋅
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()()2222
1324351
1234n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅-+=
⋅⋅⋅
⋅ 1
2n n
+=
令
12n n +51
101
>，解得：101n < 故满足条件的最大正整数n 的值为100 19.（1）解析式为()sin(2)6
f x x π
=+，对称中心(
,0)()212
k k Z ππ
-∈；（2
【解析】19.
（1）根据图象先确定出M 的值，再根据周期计算出ω的值，再结合点,16π⎛⎫
⎪⎝⎭
求解出ϕ的值，从而()f x 的解析式可求，再根据整体替换法求解出()f x 的对称中心；
（2）利用正弦定理先求解出B 的值，根据2f A ⎛⎫
⎪⎝⎭
取最大值计算出A 的值，然后可判断出ABC 的形状，从而ABC 的面积可计算.
（1）由图象知道振幅1M =，周期54()126
T ππ
π=-=，所以2ω= 将(
,1)6
π
代入解析式得sin()13
π
ϕ+=23
2
k π
π
ϕπ⇒
+=+
，所以2()6
k k Z π
ϕπ=+
∈，
因为2
π
ϕ<
，所以6π=
ϕ，所以()sin(2)6
f x x π=+
又由2()()6
212
k x k k Z x k Z π
ππ
π+
=∈⇒=
-∈ 得对称中心为(
,0)()212
k k Z ππ
-∈ 综上，解析式为()sin(2)6
f x x π
=+
，对称中心(
,0)()212
k k Z ππ
-∈ （2）由(2)cos cos a c B b C -=得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 所以2sin cos sin()A B B C =+，2sin cos sin A B A =， 因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2
B =，3B π
=，23A C π+=，
因为()sin()2
6
A f A π
=+，203A π<<
，所以5,
666A πππ⎛
⎫⎛⎫
+∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 所以]1sin()(,162A π
+
∈，所以5666A πππ
<+<， 所以]1()(,12
2
A f ∈．所以max ()12
A f =，此时3
A π
=，又3
B π
=
，
所以ABC
是等边三角形，故122sin 23
ABC
S
π
=⨯⨯⨯=20.（1）函数()g x
的一个极大值点为9
，对应的极大值为9；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为0；（2）4,13⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
【解析】20.
(1)求出()g x 的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140
a b ⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，从而可确定()g x 的解析式，
求出导数即可求出函数的极值点和极值.
(2)结合第一问可得()h x 的解析式，从而可求出2()32h x cx x c '=-+，由()h x 的单调性可得
2
13c x x
≥
+在[]2,5上恒成立，设()1
3m x x x
=+，利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值，从而可求出实数c 的取值范围.
解：（1）∵432()f x ax x bx =++，∴32
()432f x ax x bx '=++，
∴432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++，因为()g x 为偶函数，
∴41020a b +=⎧⎨=⎩，解得140a b ⎧=-⎪
⎨⎪=⎩
，∴431()4f x x x =-+，则421()34g x x x =-+，
∴3()6(g x x x x x x '=-+=--+， 由()0g x '>
，解得x <
或0x <<
()0g x '<
，解得>x
0x <<；
∴()g x
在(,-∞
，(
单调递增；在(
)
，
)+∞单调递减．
∴函数()g x
的一个极大值点为
(9g =，
，对应的极大值为9g =；
函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为()00g =. （2）由（1）知431()4f x x x =-
+，∴43221
()()(1)4
h x f x x c x x cx c =++--++322cx x cx c =-++，∴2
()32h x cx x c '=-+，因为函数()h x 在[]2,5上单调递增，
∴2
320cx x c -+≥在[]
2,5上恒成立，即
222
1313x c x x x
≥
=
++在[]2,5上恒成立，
设()13m x x x =+，令()222
13130x m x x x -'=-==
，解得[]2,5x =， 当[]2,5x ∈时，()0m x '
>，所以()1
3m x x x
=+
在[]2,5上单调递增， 则()()1322
m x m ≥=，所以24
=
13132
c ≥.
21.（1）3
1ln 22
y x =-++；（2）答案见解析；（3）证明见解析．
【解析】21.
(1)求出函数的导函数，由已知极值点可求出1
2
a =-，从而可求出函数解析式，求出切点坐标和切线斜率从而可求出切线的方程.
(2)求出函数的导数，分0a ≥，0a <两种情况进行讨论，结合导数的符号从而可确定函数的单调性.
(3)求出1
()ln g x x x
'=-
，由()'g x 的单调性可判断存在唯一0(1,2)x ∈使得00()g x '=，
进而可求出()g x 的单调性，从而可证明函数的零点问题. （1）求导：1
()221f x ax a x
'=+++，由已知有()01f '=，即12210a a +++=， 所以12
a =-
，则21()ln 2f x x x =-，所以切点为(2,ln 22)-，切线斜率3(2)2k f '==-，
故切线方程为：3
1ln 22
y x =-
++. （2）()f x 的定义域为(0,)+∞且1(21)(1)()221ax x f x ax a x x
++'=
+++=， 若0a ≥，则当(0,)x ∈+∞时，'
()0f x >，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；
若0a <，则当'1(0,),()02x f x a ∈->，当'1
(,),()02x f x a
∈-+∞<， 故()f x 在1(0,)2a -
上单调递增，在1
(,)2a
-+∞上单调递减. （3）2
()(1)()1(1)ln 1g x x f x x x x x =---=---，所以，1()ln g x x x
'=-
， 因为ln y x =在(0,)+∞上递增，1
y x
=在(0,)+∞递减，所以()'g x 在(0,)+∞上递增， 又1ln 41(1)10,(2)ln 2022
g g -''=-<=-
=>， 故存在唯一0(1,2)x ∈使得00()g x '=，所以()g x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，
又22
0()(1)2,()30g x g g e e <=-=->，所以()0g x =在0(,)x +∞内存在唯一根α，
由01x α<<得01
1x α
<<，又1111()
()(1)ln 10g g αααααα
=---==，
故
1
α
是()0g x =在0(0,)x 上的唯一零点．
综上，函数()g x 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.
22.（1）直线l 的直角坐标方程为4y +=，圆C 的参数方程为cos 1sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为
参数）；（2）72
．
【解析】22.
(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可； (2)结合(1)中的结论得到关于12d d +的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可.
（1）由l ：cos()26π
ρθ-
=
得，1sin cos 222
ρθρθ+=； 因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，代入有直线l
的直角坐标方程为：122y +=
，即为4y +=
由圆C ：2sin ρθ=得，22sin ρρθ=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ= ，
222x y ρ=+，所以圆C 直角坐标方程为：22(1)1y x +-=
由2
2
(1)1y x +-=得，圆C 的参数方程为cos 1sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩（α为参数）
（2）设点P 坐标为()cos ,1sin αα+
则1d =
=
1
(3sin )2
αα=
- 又21sin d α=+
那么12515sin sin()22232
d d πααα+=+-=-+ 当56πα=
时，12d d +取得最大值72
. 23.（1）{
0x x <或}4x >；（2）24
5
．
【解析】23.
（1）去绝对值将函数化为分段函数，分类解不等式即可求解. （2）求出函数的最小值2M m =--，从而可得2a b +=，
22
22
(23)a b ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
利用柯西不等式即可求解. （1）当2m =-时，5,1
()33,111,1x x f x x x x x -+<-⎧⎪
=-+-≤≤⎨⎪->⎩
，又()3f x >，
则有531x x -+>⎧⎨<-⎩或33311x x -+>⎧⎨-≤≤⎩或13
1x x ->⎧⎨
>⎩
解得1x <-或10x -≤<或4x >．即0x <或4x >． 所以不等式()3f x >的解集为{
0x x <或}4x >
（2）因为3,1()31,113,1x m x f x x m x x m x -+-<-⎧⎪
=-+--≤≤⎨⎪-->⎩
，在1x =处取得最小值2m --
所以2M m =--，则42a b M m +=++=
由柯西不等式222
222
(23)()4a b a b ⎡⎤++≥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以2223a b +24
5≥
，当且仅当23a b =，即65a =，45
b =时，等号成立． 故2223a b +的最小值为
24
5
.。