2025届湖北省荆门市重点中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

2025届湖北省荆门市重点中学高三下学期第五次调研考试数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线
经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该
椭圆的离心率是（） A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知直线x y t +=与圆()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）
A ．4
B ．
289 C ．
329
D ．
327
3．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( ) 发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥
种子数 4
3 3
5
2 2
1
0 A ．2
B ．3
C ．3.5
D ．4
4．在等腰直角三角形ABC 中，,222
C CA π
∠=
=，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离
为23ABCD 的外接球的表面积为（ ）.
A ．5π
B ．
205
3
C ．12π
D ．20π
5．已知函数()f x 的定义域为[]
0,2，则函数()()282x g x f x =- ） A ．0,1 B ．[]
0,2 C ．[]1,2
D ．[]1,3
6．若实数x ，y 满足条件25024001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )
A ．
52
B ．1
C ．2
D ．0
7．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪
≤⎨⎪++≤⎩
，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）
A ．16-
B ．6-
C ．274
-
D ．
274
8．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156
B ．124
C ．136
D ．180
9．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ） A ．4
B ．3
C ．-4
D ．-3
10．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则38
f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（ ）
A 26
-B 26
+C 62
-D 62
+11．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．
12
B ．
35
C ．
710
D ．
45
12．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）
①与点D 3的点P 形成一条曲线，则该曲线的长度是
2
π； ②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是623⎣； ③若3DP =
DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为62
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 项的系数为_______． 14．设平面向量a 与b 的夹角为θ，且1a b +=，3a b -=，则θ的取值范围为______.
15．某学习小组有4名男生和3名女生.若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为___________． 16．函数ln 1
()x f x x
-=
的极大值为______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.
（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小.
18．（12分）如图，正方形ABCD 所在平面外一点满足PE PF =，其中E F 、分别是AB 与AD 的中点.
（1）求证：EF PC ⊥； （2）若4,6AB PE PF ===P EF C --的平面角的余弦值为
311
11
，求BC 与平面PEF 所成角的正弦值.
19．（12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A C O A BD O =⊥平
面1A BD .
（1）证明：1B C 平面1A BD ；
（2）求二面角1B AA D --的正弦值.
20．（12分）如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =。

将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到1A 的位置（如图2所示），且1A F CD ⊥。

（1）证明：//BE 平面1A FG ；
（2）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值 21．（12分）已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；
（2）若不等式2
2()m x x f x --在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.
22．（10分）在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 是边长为2的菱形，四边形ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∕∕， AB BC ⊥，1CD = （1）若,E F 分别为1A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 5
，求二面角11A AC D --的余弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，
再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，
所以，即椭圆的左焦点为，且①
直线交轴于，所以，，
因为，所以，所以，
又由点在椭圆上，得②
由，可得，解得，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故选A.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公
式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范
围)． 2、C
【解析】
根据()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈表示圆和直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，得到4
03
t ≤≤，再利用二次函数的性质求解. 【详解】
因为()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈表示圆，
所以220->t t ，解得02t <<， 因为直线x y t +=与圆()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈有公共点，
所以圆心到直线的距离d r ≤， 即
222
t
t t ≤
-
解得403t ≤≤
， 此时4
03
t ≤≤，
因为()()()2
24424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
递增，
所以()4t t -的最大值3432
9⎛⎫= ⎪⎝⎭
f . 故选：C 【点睛】
本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3、C 【解析】
根据表中数据，即可容易求得中位数. 【详解】
由图表可知，种子发芽天数的中位数为34
3.52
+=， 故选：C.
本题考查中位数的计算，属基础题. 4、D 【解析】
如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【详解】
ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===
翻折后23AB =,
()
2
222223
1cos 222
2
ADB +-∴∠=
=-⨯⨯ ，
120ADB ∴∠=，
设ADB ∆外接圆的半径为r ，
23
24sin120
r ∴
== ，2r ∴= ，
如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，
222221215R r =+=+= ，
∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.
故选：D
本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解. 5、A 【解析】
试题分析：由题意，得022{820
x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ． 考点：函数的定义域． 6、C 【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【详解】
若实数x ，y 满足条件25024001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-
如图：
当3
,12
x y =
=时函数取最大值为2 故答案选C 【点睛】
求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:
当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 7、B 【解析】
由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件 件0,0(20x y y x
k x y k ⎧⎪
⎨⎪++⎩
为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值． 【详解】
画出x ，y 满足的0,0(20x y y x
k x y k ⎧⎪
⎨⎪++⎩
为常数）可行域如下图：
由于目标函数3z x y =+的最大值为9， 可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ， 使目标函数3z x y =+取得最大值， 将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．
故选：B ． 【点睛】
如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值． 8、A 【解析】
因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】
711911212a a a a +==+，
∴712a =， ∴()
113137131313121562
a a S a +=
==⨯=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 9、D 【解析】
分析：根据平面向量的数量积可得AB AC ⊥，再结合图形求出BC 与CA 方向上的投影即可. 详解：如图所示：
AB AC AB AC +=-，
0AB AC ∴⋅=， ∴AB AC ⊥，
又4AB =，3AC =，
BC ∴在CA 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB π=-∠=-∠=-，
故选D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题. 10、A 【解析】
先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】
由图象可知A ＝1， ∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，所以T ＝π，∴22T πω==. ∴f （x ）＝sin （2x +φ），将112，π⎛⎫
⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1， ∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3
π=. ∴()23f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
. ∴3384312f sin sin π
ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
3434sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
. 故选：A .
【点睛】
本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题. 11、C
【解析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.
【详解】
从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，
2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010
-=. 故选:C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.
12、C
【解析】
①与点D 的点P 形成以1D 为圆心，的14
圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或
1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角
1DO O ∠的正切值为2最大，可得正切值取值范围是6[,2]3；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．
【详解】
如图：
①错误， 因为()222
211312D P DP DD =-=-= ，
与点D 距离为3的点P 形成以1D 为圆心，半径为2的14圆弧MN ，长度为122242
⋅π⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63
最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,23⎡⎤⎢
⎥⎣⎦； ③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为
21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()
2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.
故选：C .
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、40
根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．
【详解】
根据二项定理展开式的通项式得()521035522r
r r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以1034r -= ，解得2r
所以系数225240C ⨯= 【点睛】
本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．
14、2π,π3 【解析】
根据已知条件计算出222a b +=，结合1a b +=得出12
a b ⋅=-，利用基本不等式可得出a b ⋅的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得cos θ的取值范围，进而可得出θ的取值范围. 【详解】 1a b +=，3a b -=，()2222122a b a b a b +=++-=， 由1a b +=得2221a a b b +⋅+=，12a b ∴⋅=-， 由基本不等式可得2
222a b a b =+≥⋅，01a b ∴<⋅≤， 1cos 1θ-≤≤，112cos 1,2a b a b a b θ-
⋅⎡⎤∴==∈--⎢⎥⋅⋅⎣⎦，
0θπ≤≤，因此，θ的取值范围为2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：2,3ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
15、47
从7人中选出2人则总数有27C ，符合条件数有11
43C C ⋅，后者除以前者即得结果
【详解】
从7人中随机选出2人的总数有2721C =，则记选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为事件A ， ∴114327124()217C C P A C ⋅=== 故答案为：
47
【点睛】 组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式
16、2
1e 【解析】
先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数()f x 的极大值．
【详解】 函数1()lnx f x x
-=
，(0,)x ∈+∞， 221(1)2()lnx lnx f x x x ---'∴==， 令()0f x '=得，2x e =，
∴当2(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当2+()x e ∈∞，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
∴当2x e =时，函数()f x 取到极大值，极大值为22
2211()lne f e e e -==. 故答案为：
2
1e ． 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的应用．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）23
π
（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .
（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小.
【详解】
（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥，
∴BE ⊥平面DGEF ，
∴BE FG ⊥， 由题意可得2FG FE ==，
∴222FG FE GE +=， ∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=，
∴FG ⊥平面BEF .
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，
()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.
设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，
则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩
， 令11x =，()1,0,1n =，
由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，
∴11cos<,2
22n m
n m n m ⋅>===⨯⋅，
由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23
π. 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.
18、（1）证明见解析（2）
1111
【解析】
（1）先证明EF ⊥平面POC ，即可求证EF PC ⊥；
（2）根据二面角P EF C --的余弦值，可得PC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.
【详解】
（1）连接AC ，交EF 于点O ，
连结PO .则,,EF PO EF AC PO AC O ⊥⊥⋂=，
故EF ⊥面POC .
又PC ⊂面POC ，
因此EF PC ⊥.
（2）由（1）知POC ∠即为二面角P EF C --的平面角，
且2,22,32FO PO OC ===在POC △中应用余弦定理，得222cos 2PC PO OC PO OC POC +-⋅⋅∠=，
于是有222PC OC PO +=， 即PC OC ⊥，从而有PC ⊥平面ABCD .
以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,
则(0,0,0), (0,0,2), (0,4,0), (2,4,0), (4,2,0)C P B E F ，
于是(2,4,2),(4,2,2)PE PF =-=-，(0,4,0)CB =，
设平面PEF 的法向量为(,,)m x y z =，
则00
m PE m PF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即24204220x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩，解得x y = 于是平面PEF 的一个法向量为(1,1,3)m =.设直线BC 与平面PEF 所成角为θ，因此411sin cos ,||||411CB m CB m CB m θ⋅=<>=
==⋅⨯. 【点睛】 本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，二面角，线面角的向量求法，属于中档题.
19、（1）证明见解析；（2）
437
【解析】
（1）由已知可证11B C A D ∥，即可证明结论；
（2）根据已知可证1A O ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，求出1,,,A A B D 坐标，进而求出平面1A AB 和平面1A AD 的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.
【详解】
方法一：（1）依题意，11//,A B AB 且//,AB CD ∴11//A B CD ，
∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11B C A D ∥，
∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，
∴1B C 平面1A BD .
（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥，
∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1
AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO
BD O =，
∴1A O ⊥平面ABCD ，
以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则)
3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ， ∴()()()
13,0,13,1,,0,3,1,0,AB AA AD =-=-=--
设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =， 则1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩，∴3030x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则(1,3,3n =. 设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z =，
则1n AA n AD ⎧⊥⎨⊥⎩，∴3030x z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，则(1,3,3m =-. ∴11
cos ,777m n
m n m n ⋅<>===⨯⋅，
设二面角1B AA D --的平面角为α，则2143sin 17α⎛⎫-= ⎪⎝⎭
， ∴二面角1B AA D --43. 方法二：（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，
因为四边形11A B BA 为平行四边形，所以Q 为1AB 中点，
又因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点，
∴在1AB C 中，1,OQ B C ∥且112
OQ B C =， ∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，
∴1B C 平面1A BD
（2）略，同方法一.
【点睛】
本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.
20、（1）证明见解析
（2【解析】
（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取BC 的中点M ，连接DM ，根据条件证明//,//DM BE DM FG ，即//BE FG ；
（2）以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM .
∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点.
又F 为CD 的中点，∴//FG DM . 依题意可知//DE BM ，则四边形DMBE 为平行四边形，
∴//BE DM ，从而//BE FG .
又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ，
∴//BE 平面1A FG .
（2）1,DE AD DE DC ⊥⊥，且1A D DC D =，
DE ∴⊥平面ADC ，1A F ⊂平面ADC ，
1DE A F ∴⊥，
1A F DC ⊥，且DE DC D ⋂=，
1A F ∴⊥平面BCDE ，
∴以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =，
则()0,0,0F ，()10,0,3A ，()1,4,0B ，()1,2,0E -，()1,1,0G ， ()10,0,3FA =，()1,1,0FG =，()
11,2,3A E =--，()2,2,0EB =. 设平面1A FG 的法向量为()1111,,n x y z =， 则100n FA n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111
300z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 令11x =，得()1,1,0n =-.
设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =，
则100m A E m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222
2230220x y z x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩， 令21x =，得()1,1,3m =--.
从而1110cos ,525
m n +<>==⨯， 故平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值为
105.
【点睛】
本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档
题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.
21、（1）{|02}x x <<；（2）(,2]-∞
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为22()m x x f x ++在R 上恒成立，分别求函数2()2g x x x =+与()f x 的最小值，根据能同时
成立，可得22()x x f x ++的最小值，即可求解.
【详解】
（1）①当2x <-时,不等式()3f x x <+可化为123x x x ---<+,得43
x >-，无解； ②当-2≤x ≤1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+得x >0,故0<x ≤1;
③当x >1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+,得x <2,故1<x < 2.
综上，不等式()3f x x <+的解集为{|02}x x <<
（2）由题意知22()m x x f x ++在R 上恒成立，
所以()2min 2()x m x x f x ++
令2()2g x x x =+，则当1x =-时，min ()1g x =-
又当21x -时，()f x 取得最小值，且min ()3f x =
又1[2,1]-∈-
所以当1x =-时，()f x 与()g x 同时取得最小值.
所以()2min 2()
132x x f x ++=-+= 所以2m ≤，
即实数m 的取值范围为(,2]-∞
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.
22、 (1)见解析(2) 78
-
【解析】
试题分析：（1）第（1）问，转化成证明1A B ⊥平面11AB C ,再转化成证明11A B AB ⊥和111A B B C ⊥.(2)第（2）问，先
利用几何法找到1AC 与平面ABCD 所成角，再根据1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为55求出11B C a =，再建立空间直角坐标系，求出二面角11A AC D --的余弦值.
试题解析：
（1）连接1A B ,因为四边形11ABB A 为菱形，所以11A B AB ⊥. 因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA ⋂平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，所以BC ⊥平面11ABB A .
又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1A B BC ⊥.
因为11//BC B C ，所以111A B B C ⊥.
因为1111B C AB B ⋂=，所以1A B ⊥平面11AB C .
因为,E F 分别为11A C ，1BC 的中点，所以1//EF A B ，所以EF ⊥平面11AB C
（2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A .
由160A AB ∠=︒，2BA =，得123AB =，2112AC a =+.
过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ，如图所示，
又160A AB ∠=︒，所以1ABA ∆为等边三角形，所以1A H AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A ⋂平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD .
因为11BCC B 为平行四边形，所以11//CC BB ，所以1//CC 平面11AA BB .
又因为//CD AB ，所以//CD 平面11AA BB .
因为1CC CD C ⋂=，所以平面11//AA BB 平面1DC M .
由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，所以BC ⊥平面1DC M ，所以1BC C M ⊥.
因为BC DC C ⋂=，所以1C M ⊥平面ABCD ，所以1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角.
因为11//A B AB ，11//C B CB ，所以11//A B 平面ABCD ，11//B C 平面ABCD ，因为11111A B C B B ⋂=，所以平面//ABCD 平面111A B C .
所以11A H C M ==
，111sin MC C AM AC ∠===
，解得a =在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA ，HD ，1HA 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
则()1,0,0A
，()D
，(1A
，(1B -，()1,0,0B -
，()C -，
由(1BB =-，及11BB CC =
，得(1C -
，所以(1AC =-
，()AD =-
，(1AA =-. 设平面1ADC 的一个法向量为()111,,m x y z =，由10,0,m AC m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩
得1111130,0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
令11y =，得m=(3,1,2) 设平面11AA C 的一个法向量为()222,,n x y z =，由110,0,n AC n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得2222230,0,x x ⎧
-+=⎪⎨-+=⎪⎩
令21z =
，得)n =.
所以7cos ,8
m n m n m n ⋅==== 又因为二面角11A AC D --是钝角，所以二面角11A AC D --的余弦值是78-
.。