-桂林市高三文科数学调研试卷

2007-2008年桂林市高三文科数学调研试卷
命题人：灵川中学
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+
如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B = 第一卷
选择题
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的，把答案填写在答题卡相应位置上。

1． 设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则U A B =ð ( )
A ．{4，5}
B ．{2，3}
C ．{1}
D ．{2}
2．箱内有大小相同的6个红球和4个黑球，从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中，
则前3次恰有1次取到黑球的概率为 ( ) A ．12
B ．
36125 C ．310 D ．54125
3.函数21y x =-在1x =处的导数等于 ( )
A 1
B 2
C 3
D 4
4. 要得到一个奇函数，只需将函数x x x f cos 3sin )(-=的图象（ ）
A ．向右平移π
6个单位
B ．向右平移
π
3个单位 C ．向左平移π
6
个单位
D ．向左平移π
3
个单位
5. 空间四条直线a ，b ，c ，d ，满足a ⊥b ，b ⊥c ，c ⊥d ，d ⊥a ，则必有 ( ) A ．a ⊥c B ．b ⊥d C ．b ∥d 或a ∥c D ．b ∥d 且a ∥c
6. 一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
(共8页，第一页)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4
点到6点不进水不出水，则一定能确定正确．．．．．．．的诊断是 ( ) A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③
7. 过正三棱锥S ABC -侧棱SB 与底面中心O 作截面SBO ，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为 ( )
A. 13
B. 3
C. 13或63或6
8. 在ABC 中，60B =，2b ac =，则ABC 一定是 ( )
A 等腰三角形
B 等边三角形
C 锐角三角形
D 钝角三角形
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3121,3n n n S a a a
--
=++=，
则n 的值为 （ ） A 21 B 9 C 27 D 36
10.已知双曲线的离心率为2，焦点是(-4,0)，(4,0)，则双曲线方程为 ( )
A 221412x y -
= B 221124x y -= C 221106x y -= D 22
1610
x y -=
11. 若()()()f x y f x f y +=，且(1)2f =，则=++++)
2007()
2008()2005()2006()3()4()1()2(f f f f f f f f ( )
A. 2005
B. 2006
C. 2007
D. 2008
12. 已知点P 是抛物线24y x =上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线
2120x y +-=的距离为2d ，则21d d +的最小值是 ( )
A 5
B 4 C
5
D 115
(共8页，第 二 页)
第二卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置
上．
13 二项式6)1
3(x
x -的展开式的常数项是__________.
14 椭圆2
221(1)x y a a
+=>的一个焦点为F ，点P 在椭圆上，且||||OP OF =（O 为坐标原点）
，则△OPF 的面积S ＝ ．
15 一排7个座位，让甲、乙、丙三人就坐，要求甲与乙之间至少有一个空位，且甲与
丙之间也至少有一个空位，则不同的坐法有 种． 16 给出以下结论： ①通项公式为1
132-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅=n n a a 的数列一定是以1a 为首项，
3
2
为公比的等比数列； ②若0cos sin >⋅θθ，则θ是第一、三象限的角；
③函数x
x y 2
+=在()+∞,0上是单调减函数；
④若等差数列{n a }前n 项和为n S ，则三点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎪⎭⎫ ⎝⎛110,110,100,100,10,1011010010S S S 共线。

其中正确的是 .（请填写所有正确选项的序号）
三 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 （本小题满分10分）
已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），).sin 3,cos 3(ααC （1）若απα求角且|,|||)0,(=-∈的值；
（2）若α
α
αtan 12sin sin 2,02++=⋅求BC AC 的值.
18 (本小题满分12分)
设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，
，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．
(共8页，第三页)
19（本小题满分12分
已知长方体AC 1中，棱AB=BC=1，棱BB 1=2，连结B 1C 过B 点作B 1C 的垂线交
CC 1于E ，交B 1C 于F. （1）求证A 1C ⊥平面EBD ； （2）求点A 到平面A 1B 1C 的距离；
20 （本小题满分12分）有红蓝两粒质地均匀的正方
体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜.
（1）分别求出红色骰子投掷所得点数为8和蓝色骰子投掷所得点数为7的概率。

（2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？
21 (本小题满分12分）
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：2
12n n a S +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(1) 求123,,a a a ；
(2)求出数列{}n a 的通项公式（写出推导过程）； (3) 设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和。

22 (本小题满分12分) 已知椭圆1C 的方程为22
14
x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分
别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点。

（1）求双曲线2C 的方程；
（2）
若直线:l y kx =C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且2O
A O
B ⋅>（其中O 为原点），求k 的范围。

(共8页，第四页
)
2007-2008年桂林市高三文科数学调研试卷答题卡
一、选择题：
二、填空题：
13 ；14 ；15 ；16 ；
三解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(共8页，第5页)
(共8页，第6页)
(共8页，第7页)
（共8页，第8页）
2007-2008年桂林市高三文科数学调研试卷答案
一、选择题：
二、填空题：
13 －540 ；14 0.5 ；15 100 ；16 ②④ ；
三 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17解： )4sin 3,cos 3(),sin 3,4cos 3(-=-=αααBC a AC ，
（1）由2
2
||||BC AC BC AC ==得，……………………… 2分
即ααααααcos sin .
)4sin 3(cos 9sin 9)4cos 3(2222=-+=+-
.4
3),0,(π
απα-
=∴-∈ ……………………… 5分 （2）由0=⋅BC AC ，得,0)4sin 3(sin 3)4cos 3(cos 3=-+-αααα
解得.43cos sin =
+αα 两边平方得,16
7
cos sin 2-=αα……………… 7分 .167
cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222-==+
+=++∴ααα
ααααααα
……………………… 10分
18．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．
解得3a =-，4b =．………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． ………………………7分
当(01)x ∈，
时，()0f x '>； 当(12)x ∈，
时，()0f x '<；
当(23)x ∈，时，()0f x '>． ………………………8分
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． ………………………10分 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，
因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，
，．………………………12分
19．解：（1）连结AC ，则AC ⊥BD ∵AC 是A 1C 在平面ABCD 内的射影
∴A 1C ⊥BD ； …………………3分
又∵A 1B 1⊥面B 1C 1CB ，且A 1C 在平面B 1C 1CB 内的射影B 1C ⊥BE ，
EBD C A B BE BD BE C A 面又⊥∴=⊥∴11 ………………………6分
（2）易证：AB//平面A 1B 1C ，所以点B 到平面A 1B 1C 的距离 等于点A 到平面A 1B 1C 的距离， ………………………9分
又BF ⊥平面A 1B 1C ，
∴所求距离即为.5
5
212122
2=
+⨯=
BF ……………………12分
20 解：（1）设红色骰子投掷所得点数为1ξ，蓝色骰子投掷所得点数2ξ，则
121
(8)63
P ξ==
=；231(7)62P ξ=== ………………………8分
（2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，
红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是3
1
32216463=⋅=⋅…………12分
21解：（1）由212n n a S +⎛⎫= ⎪
⎝⎭得2
11112a a S +⎛⎫
== ⎪⎝⎭解得11a =…………………1分 由 2
222112a a S +⎛⎫
+== ⎪⎝⎭
解得23a =……………………………………2分
由2
3331132a a S +⎛⎫++== ⎪⎝⎭
解得35a = …………………………………3分 （2）当1n =时11a = 当2n ≥时，22111122n n n n n a a a S S --++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……………4分 整理得：()()22111n n a a --=+
化简得：12n n a a --= ………………………………………………………6分 所以{}n a 是公差为2，首项为1的等差数列，
即()11221n a a n n =+-⨯=-…………………………………………………7分
（3）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭
………………9分 111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ 11122121
n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭………………………………………………12分 22解：解：（1）设双曲线2C 的方程为22
221,x y a b
-= …………………… 1分 则24
13a =-=，再由222a b c +=得2
1b =，……………………… 2分
故2C 的方程为2
213
x y -= ……………………… 3分 （2）将y kx =
2
213
x y -= 得22
(13)90k x ---= ……………………… 4分 由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点得：
2222130)36(13)36(1)0k k k ∆⎧-≠⎪⎨=+-=->⎪⎩ ……………………… 6 分
213k ∴≠且21k <① ……………………… 7分
设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212229,1313x x x x k k -+==--
12121212(x x y y x x kx kx ∴+=+
2
2
1212237(1)()231k k x x x x k +=++++=- 又2OA OB ⋅>，得12122x x y y +>2237231
k k +∴>- 即2239031
k k -+>-，解得：213,3k <<② ………………………10分 由①、②得：2113
k <<
故k 的取值范围为3(1,(,1)33-- ………………………12分。