等腰三角形三线合一

1、如图，已知AC平分/ BAD,CE 丄AB于E , CF丄AD于F，且BC="CD."
(1 )求证：△ BCE DCF
(2 )若AB=17 , AD=9，求AE 的长.
2、如图，已知AB=AC, / A=36 ,AB的中垂线MN 交AC于点D,交AB于点M,
求证: (1 ) BD 平分/ ABC ;
△ BCD为等腰三角形.
(2
)
3、已知：如图/ BAC的角平分线与BC 的垂直平分线DG交于点D,DE 丄AB ,DF 丄
AC,
垂足分别为E, F.
⑴试说明: BE=CF;
⑵若AF=3 ,BC=4，求△ ABC的周长.
4、如图, △ ABC 中，AC = BC , / ACB 90 ，点D为BC的中点，点E与点C关于
直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点G,连接BE、BF、GD
求证：（1） △ BEF 为等腰直角三角形 ；（2） / ADC =
_+£ t
fl. (1 )求证：△ ABC BA EDC ;
（2 ）如图（2 ），若/ ACB = 60°，连接BE 交AC 于F , G 为边CE 上一点，满足CG / BDG. 5、如图，在等腰 Rt △ ABC 中，/ C = 90 ° D 是斜边上 AB 上任一点，AE 丄CD 于
E , B
F 丄CD 交CD 的延长线于F ,
CH 丄AB 于H 点，交AE 于G . （1 ）试说明
A H = BH (2 )求证: BD = CG .
（3 ）探索 AE 与EF 、BF 之间的数量关系
6、（本题 14分）如图（1
)，在 △ ABC 和^ EDC 中，D 为^ ABC 边AC 上一点, CA 平分/
BCE , BC =CD , AC = CE.
?■
=CF，连接DG交BE于H.
①求/ DHF的度数;
②若EB平分/ DEC，试说明：BE平分/ ABC.
1、（1 ）证明见解析（2 ）1
2、（1 ）证明见解析（2 ）证明见解析
3、（1）证明详见解析；（2）10 .
（1 ）证明见解析；（2 ）证明见解析.
（1 ）见解析；（2 ）见解析；（3 ）AE=EF + BF，理由见解析
(1 )略 (2 )①/ DHF="60 ° ②'略
【解析】
1、试题分析：（1）根据角平分线的性质可以得出CF="CE,"在证明RCCFD^RLCEB 就可以得出DF=BE ；
⑵先证明-CJF ^CAE，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-
x，求出方程的解即可.
试题解析：（1 ）••• AC 平分/ BAD,CE丄AB于E,CF丄AD 于F
••• CE=CF,
在Rt △ BCE 和Rt △ DCF 中,
•/ CE=CF
BC=CD,
••• Rt △ BCE 也Rt △ DCF ( HL ).
(2 )由(1 )得，Rt △ BCE 也Rt △ DCF ••• DF=EB，设DF=EB=X
由Rt △ AFC 也Rt △ AEC ( HL ) 可知AF=AE 即: AD+DF=AB-BE
•/ AB=17 , AD=9 , DF=EB=x
参考答案
•• 9+x=17-x 解得，x=4
••• AE=AB-BE=17-4=1
点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的
对应边相等，对应角相等. 直角三角形全等的判定定理是SAS , ASA , AAS , SSS ,
2、试题分析：（1 ）由等腰三角形，即可求得/
AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得△ ABD 是ABD的度数，然后根据等边对等角，求得/ DBC的度数，从而
得证；
（2 ）根据（1 ）的结论和外角的性质，可得/ BDC= / C,再根据等角对等边得证试题解析：（1 ）••• MN 为AB的中垂线,
••• AD=BD
贝y/ A= / ABD=36
•/ AB=AC , / A=36 •••/ ABC= / C=72 •••/ DBC=36
因此，BD平分/ ABC ;
(2 )由①和/ 2="36° " / C="72° "
•// BDC=180 -36 ° -72 =72°
•••/ C= / ABD+ / DBC= / BDC ,
3、试题分析：（1 ）连接DB、DC,根据角平分线性质和垂直平分线的性质得:
DE=DF , DB=DC，证明Rt △ BED 也Rt △ CFD （HL ），得出结论；
（2 ）先证明△ AED AFD，得AF=AE=3 ，再将△ ABC的周长进行等量代换，即△ ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC，代入求值即可.
试题解析：连接DB、DC ,
(1 )••• AD 平分/ BAC , DE 丄AB , DF 丄AC ,
••• DE=DF , •/ DG垂直平分BC ,
••• DB=DC , 在Rt △ BED 和Rt △ CFD 中,
DE=DF , BD=CD ,
••• Rt △ BED 也Rt △ CFD ( HL ),
••• BE=CF ;
(2 )•••/ DAE= / DAF , / AED= / AFD=90 , AD=AD ,
••• AF=AE=3
由（1 ）得：BE=CF ,
•••△ ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.
4、试题分析：（1 ）连接DE ，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出
CF=EF , CD=DE ，推出CD=ED=BD ，根据直角三角形的判定推出 △ BEF 是直角三角形，求出 / AFC= / BEC= / ACD=90 , / CAF= / ECB ，根据全等三角形的判定定理得出
△ ACF CBE ，根据全等三角形的性质得证；
（2 ）作/ ACB 的平分线交 AD 于M ，根据 ASA 推出△ ACM ◎△ CBG 得出
/ ADC= / M , CD=BM ，根据 SAS 推出△ DCM ◎△ DBG ，求出/ M= / BDG ，即可得 出答案. 试题解析：（1 ）连接DE ,
•••点E 、C 关于AD 对称，••• AD 为CE 的垂直平分线,
••• CD=DE ,••• D 为 CB 中点，••• CD=DE=DB ,
DCE= / CED , / DEB= / DBE ,
DCE+ / CED+ / DEB+ / DBE=180 CEB=90
ECB= / CAF , 在^ ACF 和^ CBE 中,
二 CAF = cBCE
{ JC 寻 CB
•/ £AFC M iCES
•••△ ACF ◎△ CBE (AAS ••• CF=BE ，右••• CF=EF , •••△ EFB 为等
腰直角三角形.
(2 )作/ ACB 的平分线交AD 于M ,
在^ ACM 和^ CBG 中，
zCL-LV = ^BCG
AC^CS
•••△ ACM ◎△ CBG (ASA ),
••• CM=BG ,
在^ DCM 和^ DBG 中,
•/
•/ ECB+ / ACF=90 / CAF+ / ACF=90
),
••• EF=EB ,
ilC s GB
{dfCDwzG 如“贅
CD M SD
•••△ DCM ◎△ DBG (SAS ),
•••/ ADC= / GDB.
5、试题分析：
(1 )根据等腰三角形的三线合一证明;
(2 )证明△ ACG ◎△ CBD ，根据全等三角形的性质证明;
(3 )证明△ ACE ◎△ CBF 即可.
试题解析：
(1 )••• AC=BC , CH 丄AB ••• AH = BH
(2 )••• ABC 为等腰直角三角形，且
CH 丄AB
=45° + / ACE = 90° , / BCF +/ ACE = 90°
=/ BCF
{ JOCS ^4CG — Z.CSD
(ASA )
••• BD = CG
(3 ) AE=EF + BF
理由如下：
在^ ACE 和^ CBF AC — CB
••• AE=CF , CE=BF ,
••• AE=CF=CE+EF=BF+EF
6、( 1 )••• CA 平分/ BCE , :丄 ACB = / ACE . 在^ ABC 和^ EDC 中
•/ BC = CD , / ACB =/ ACE , AC = CE
••△ ABC ◎△ EDC (SAS )
在^ ACG A C A G —
ZL B'CZ)
禾口△ CBD •// CAG 中,
(2 )①在△ BCF和^DCG中
•/ BC = DC, / BCD =/ DCE,CF=CG,
•••△ BCF◎△ DCG (SAS ),
:丄 CBF= / CDG.
•••/ CBF+ / BCF= / CDG+/DHF
•••/ BCF= / DHF =60° .
②••• EB 平分/ DEC ,
DEH = / BEC .
•/DHF =60° ,
HDE =60°- / DEH .
•/BCE =60° +60° =120° ,
CBE =180° -120 / BEC=60°- / BEC.
HDE = / CBE. / A= / DEG.
△ ABC ◎△ EDC , △ BCF◎△ DCG (已证)
.// BFC= / DGC ,
•/ ABF = / BFC- / A, / HDE = / DGC - / DEG , • / ABF = / HDE ,
• / ABF = / CBE,
BE 平分/ ABC .。