概率练习题知识讲解
高中数学学习中的经典题目解析与讲解
高中数学学习中的经典题目解析与讲解随着高中数学学习的深入，经典数学题目的解析与讲解成为了学习的关键。
本文将介绍数学学习中的一些经典题目，并对其解法进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握高中数学知识。
一、立体几何题目立体几何是数学学习中的重要内容，其中球体、圆锥体和圆柱体是常见的几何体。
下面，我们以一道经典题目来解析这三种几何体的性质。
题目：一个球形水泵中有一些水，现将水泵水倒入一个圆锥形容器中，若容器正好装满，请问水泵中的水是否用完？为什么？解析：我们需要利用几何体的性质来解答这道题目。
首先了解球体、圆锥体和圆柱体的公式。
- 球体的体积公式为V = 4/3πr³，其中r为半径。
- 圆柱体的体积公式为V = πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
- 圆锥体的体积公式为V = 1/3πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
我们设水泵中的水体积为V1，球形水泵的半径为r1，圆锥形容器的半径为r2，圆锥形容器的高度为h2。
根据题意，水泵中的水倒入容器中后，容器正好装满，即两者的体积相等。
V1 = V24/3πr1³ = 1/3πr2²h2我们可以观察到，等式右边为圆锥体的体积公式，而左边为球体的体积公式。
由此可知，无论底面半径和高度如何变化，等式均成立。
所以，水泵中的水不会用完，无论水泵的水量多少，只要容器能装下，水泵中就还剩余一定量的水。
二、代数题目代数是高中数学的核心内容之一，其中方程和不等式是重要的概念。
下面，我们以一道经典的代数题目来解析方程的求解方法。
题目：解方程2x² + 7x - 15 = 0。
解析：解一元二次方程有多种方法，我们将采用因式分解法来解答这道题目。
先观察方程的形式，可以发现2x² + 7x - 15可以分解为(2x - 3)(x + 5) = 0。
根据零乘法，只要满足(2x - 3) = 0或(x + 5) = 0两个方程中的一个即可。
高二概率知识点及例题
高二概率知识点及例题【篇一】一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).【篇二】教学内容：1、事件间的关系及运算2、概率的基本性质教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系;2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算;3.通过学习，我们可以进一步认识到将概率思维方法应用于实际问题的重要性。
教学的重点:事件之间的关系，概率的加法公式。
教学难点:互斥事件与对立事件的区别与联系。
教学的具体过程：导读:上节课我们学习了概率的含义，举了很多生活中与概率知识相关的例子。
今天我们要学习概率的基本性质。
在研究自然之前，让我们一起研究事件之间的关系。
事件的关系与运算老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件(即可能出现的结果)学生可能回答：﹛出现的点数=1﹜记为C1，﹛出现的点数=2﹜记为C2，﹛出现的点数=3﹜记为C3，﹛出现的点数=4﹜记为C4，﹛出现的点数=5﹜记为C5，﹛出现的点数=6﹜记为C6.老师：是不是只有这6个事件呢?请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜(记为D1)是不是该试验的事件?(学生回答：是)类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D2，﹛出现的点数小于5﹜记为D3，﹛出现的点数小于7﹜记为E，﹛出现的点数大于6﹜记为F，﹛出现的点数为偶数﹜记为G，﹛出现的点数为奇数﹜记为H，等等都是该试验的事件。
高考数学一轮复习知识点与练习随机事件的概率
第卜二章概率、随机变就及其概率分布§12.1随机事件的概率基础知识自主学习U知识梳理要覇讲解深层娈破1. 概率和频率(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)= nA为事件A出现的频率.(2) 对于给定的随机事件A,在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A).2. 事件的关系与运算定义付号表示包含关系如果事件A发生，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B? A（或A? B）相等关系若B? A且A? B A = B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A U B（或A + B）父事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A n B（或AB）互斥事件若A A B为不可能事件(A n B= ?),则称事件A与事件B互斥A nB = ?对立事件若A n B为不可能事件，A U B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件P（A）+ P（B）=13. 概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围：0W P(A)w 1.(2) 必然事件的概率P(E) = 1.⑶不可能事件的概率P( F) = 0.(4) 概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A U B)= P(A) + P(B).(5) 对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) = 1 —P(B).【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 事件发生频率与概率是相同的. ()(2) 随机事件和随机试验是一回事. ()(3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值. ()(4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生. ()(5) 对立事件- -定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件. ()(6) 两互斥事件的概率和为 1.( )考点自测伏速解普自查自纠1. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________ .①至多有一次中靶②两次都中靶③只有一次中靶④两次都不中靶2. 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为_________ .3. (2015湖北改编)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为___________ 石.专注•专业•口碑•极致-2 -4. ___________________________________________ 给出下列三个命题，其中正确的命题有个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，3结果3次出现正面，因此正面出现的概率是7；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.5. _____________________________________ （教材改编）袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为.题型分类深度剖析题型一事件关系的判断例1某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订” •判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.思维升华对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件•这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系.W' 判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生.题型二随机事件的频率与概率例2 （2015北京）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整专注•专业•口碑•极致⑴估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；⑶如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?思维升华(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.」艮打.Ul.^. 2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：(1) 计算表中乒乓球优等品的频率；(2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)题型三互斥事件、对立事件的概率命题点1互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是*得到黑球或黄球的概率是—，得到黄球或绿球的概率也是—，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多12 12少？命题点2对立事件的概率例4某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个•设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求：(1) P(A), P(B), P(C);(2) 1张奖券的中奖概率；(3) 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.思维升华求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A) = 1- P( A)求解•当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法.比二"和"国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7〜10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次：(1) 射中9环或10环的概率;(2) 命中不足8环的概率.21 •用正难则反思想求互斥事件的概率典例(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示(1) 确定x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过..2分钟的概率.(将频率视为概率)思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反思想求解.温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义.(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式. 易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x, y,难以用样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.——■ ■思想方法感悟提高［方法与技巧］1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).2•从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件~A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. ［失误与防范］1.正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.2•需准确理解题意，特别留心“至多””“至少””“不少于”” 等语句的含义.练出高分A组专项基础训练(时间：45分钟)事件N: “只有一次出现反面”，1.下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M : “两次出现正面”，-6 -专注•专业•口碑•极致则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A U B为必然事件，其中，真命题是_________________ .1 122•围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为刁，都是白子的概率是35,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是___________ •3. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B=｛抽到二等品｝，事件C= ｛抽到三等品｝，且已知P（A）= 0.65, P（B）= 0.2 , P（C）= 0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为4. 从存放的号码分别为1,2,3 , , , 10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是__________5•对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图•根据标准，产品长度在区间［20,25）上的为一等品，在区间［15,20）和［25,30）上的为二等品，在区间［10,15）和［30,35）上的为三等品•用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为 ________ .6. 在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品.其中________ 是必然事件；________ 是不可能事件； _________ 是随机事件.7. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40% ,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果•经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ____________ .&若随机事件A, B互斥，A, B发生的概率均不等于0，且P(A) = 2- a, P(B)= 4a —5，则实数a的取值范围是_______________9. (2014陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1) 若额的概率；(2) 在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000元的概率.10. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组［155,160)，第二组［160,165)，…，第八组［190,195］，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为 4.(1)求第七组的频率；⑵估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上洽180 cm)的人数；(3) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x, y,事件E={|x—y|w5}，事件 F = {|x—y|>15}，求P(E U F).B组专项能力提升(时间：25分钟)11. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A, B, C, D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是_______________ .① A + B与C是互斥事件，也是对立事件；② B + C与D是互斥事件，也是对立事件；③ A + C与B+ D是互斥事件，但不是对立事件；④A与B+ C+ D是互斥事件，也是对立事件.12. 如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________甲乙9 £g 3 3 72 1 09■ 9绩，其中一个数字被污损，则甲的平4 113. 若A, B互为对立事件，其概率分别为P(A) = x，P(B)= y，且Q0,y>0,则X+ y的最小值为14. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查, 调查结果如下：选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；⑵分别求通过路径L i和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；⑶现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.15日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(2) 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.。
(完整版)用频率估计概率讲解
10。
1《用频率估计概率》导学提纲一、情境切入—--激活思维现涟漪我们在七年级时曾用掷硬币的方法决定小明和小丽谁去看周末的电影：任意掷一枚均匀的硬币,如果正面朝上，小丽去；如果反面朝上,小明去．1、这样决定对双方公平吗？2、如果是连续掷两次均匀的硬币，会出现几种等可能的结果，出现“一正一反”的概率为多少呢？二、学海导航——-提纲挈领把方向1、学会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率，培养分析问题,解决问题的能力.2、通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法。
3、通过对试际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.三、完全解读--—品尝知识享盛宴（一）试验探究：准备两枚质地均匀、大小相同的硬币，做下面的掷币试验：1、抛掷其中一枚硬币,落定后,正面朝上的概率是多少？你是怎样求出来的？2、连续抛掷两枚硬币,落定后，可能出现几种不同的结果？你认为这几种结果出现的可能性相同吗？3、连续抛掷两枚硬币，称为一次试验，如果做100次试验,猜一猜各种结果可能分别出现多少次?如果做200次试验呢？（二）合作探究1、每两名同学一组，由一名同学连续抛掷两枚硬币，做50次试验,另一名同许分别记录落地后各种结果出现的次数，然后二人交换，再进行试验，分别统计100次试验中各种结果发生的频数与频率，将数据填入下表中：2、将两个小组的试验次数分别相加，相当于做了多少次试验？分别统计三种结果发生的频数与频率，然后填写在下表中。
3、将全班所有小组的试验次数分别相加，这相当于做了多少次试验？请统计“两枚硬币正面均朝上”发生的频数与频率，分别汇总4个小组、6个小组、8个小组.。
..。
的试验结果，然后填写在下表中“两枚硬币正面均朝上"试验结果【温馨提示】:试验时要避免走两个极端既不能为了追求精确的概率而把试验的次数无限的增多,也不能为了图简单而使试验次数很少。
由于众多微小因素的影响，每次测得的结果虽不尽相同，但大量重复试验所得的结果却能反应客观规律。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习88 条件概率与全概率公式
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题88 条件概率与全概率公式题型一 利用定义求条件概率例1．（2022·全国·高二高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题练习）2022年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为( ) A ．14 B ．34 C ．110 D ．310【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，计算P (A)、()P AB 的值，从而()(|)()P AB P B A P A =． 【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，则P (A)222325410C C C +==，22251()10C P AB C ==，()1(|)()4P AB P B A P A ∴==．故选：A ．规律方法利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝P（AB）P（A），这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．例2．（2022·湖南·高二课时练习）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“三个人去的景点各不相同”，B=“甲去了第一个景点”，如果甲、乙、丙互不相识，求()P A B．【答案】23【解析】【分析】这是求甲去第一个景点的前提下，三个人去的景点各不相同的条件概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．【详解】甲去了第一个景点，则有1个景点可选，乙丙能在三个景点中选择，可能性为339⨯=种，所以甲去了第一个景点的可能性为1339⨯⨯=种，因为三个人去的景点不同的可能性为3216⨯⨯=种，所以()62 (|)()93n ABP A Bn AB=== .例3．（2022·湖南·高二课时练习）根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天吹东风的概率为310，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为415．求4月7日在吹东风的条件下下雨的概率．【答案】8 9【解析】【分析】设事件A表示吹东风，事件B表示下雨，得到(),()P A P AB，结合()(|)()P ABP B AP A=，即可求解.【详解】由题意，设事件A表示吹东风，事件B表示下雨，则34 (),()1015P A P AB==，所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815 (|)3()910P ABP B AP A===.题型二条件概率的性质及应用例4．（2022·山东德州·高二期末）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为45，23，34．(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；(2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？【答案】(1)13 30(2)37 50【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.(1)记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件1B ，2B ，3B ， 则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D ， 则123123123D B B B B B B B B B =++()()()()121323123B B P D P B B P B B P B B B =++4214131231353453453430=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是1330． (2)记事件B 为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件1A ，2A ，3A ，()125P A =，()2925P A =，()3625P A =，14(|)5P B A ==，22(|)3P B A =，33(|)4P B A =， 112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++249263375525325450=⨯+⨯+⨯=． 故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为3750． 规律方法 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率．例5．（2022·全国·高二课时练习）已知随机事件A ，B ，()12P A =，()13P B =，()12P B A =，求()P AB ，()P A B .【答案】13;44【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式及其变形求解即可． 【详解】由条件概率公式()(|)()P AB P B A P A =得：111()(|)()224P AB P B A P A ==⨯=．∴1()34(|)1()43P AB P A B P B ===． 例6．（2022·全国·高二课时练习）某工厂有两个车间生产同型号家用电器，已知第1车间生产产品的合格品率为0.85，第2车间生产产品的合格品率为0.88，两个车间生产的产品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1，2车间生产的产品的数量之比为2：3.今有一客户从仓库中随机提一台产品，求该产品是合格品的概率. 【答案】0.868 【解析】 【分析】利用条件概率公式，即可求解. 【详解】设B 表示从仓库中随机提出的一台产品是合格品，i A 表示从仓库中随机提出的一台产品是第i 车间生产的，1,2i =，则12B A B A B =+. 由题意，知()120.432P A ==+，()230.632P A ==+，()()120.85,0.88P BA PB A ==||，由全概率公式，得()()()()1122()|0.40.850.60.880.868P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=|.题型三 全概率公式例7．（2022·全国·高二课时练习）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求： （Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅲ）第二次摸到红球的概率. 【答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）29；（Ⅲ）310. 【解析】（Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率． （Ⅱ）第一次摸到红球后，还余下2个红球和7个白球，同（Ⅰ）可求概率． （Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率． 【详解】设事件A ：第一次摸到红球；事件B ：第二次摸到红球， 则事件A ：第一次摸到白球.（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种， 所以 3()10P A =. （Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种. 所以2(|)9P B A =.（Ⅲ）32733()()(|)()(|)10910910P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.所以第二次摸到红球的概率3 ()10P B=.【点睛】方法点睛：利用全概率公式计算随机事件B的概率时，注意把随机事件B分解为两个随机事件AB和AB，再利用条件概率公式计算两者的概率即可．规律方法全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．例8．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表．(1)若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率；(2)求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．【答案】(1)13；(2)73 180.【解析】【分析】（1）选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数21045n C==，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为2615m C==，由此能求出从中抽到两名男生报名表的概率；（2）设事件i A表示抽取到第i个档案袋，(1,2)i=，设事件B表示抽取的报名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．(1)（1）第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数21045n C ==，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为2615m C ==，∴从中抽到两名男生报名表的概率151453m P n ===． (2)设事件i A 表示抽取到第i 个档案袋，(1,2)i =，设事件B 表示抽取的报名表是一名男生一名女生，则11()2P A =，21()2P A =，116412108(|)15C C P B A C ==，115522105(|)18C C P B A C ==，∴抽取的报名表是一名男生一名女生的概率为：()P B 1122815173(|)()(|)()152182180P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=． 例9．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为34，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是12，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是14.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为25，乙校抢到的概率为310，丙校抢到的概率为310，求这个问题回答正确的概率. 【答案】(1)9196(2)4980【解析】 【分析】（1）设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，利用独立事件的概率公式结合题干条件列出方程，求解()P B ，()P C ，再利用对立事件的概率公式，即得解；（2）利用全概率公式结合题干条件，即得解 (1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件A ，B ，C ，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A ，B ，C 是相互独立事件由题意可知()34P A =，()()12P A P C ⋅=，()()14P B P C ⋅=， 解得()38P B =，()23P C =.所以，乙答对这道题的概率为38，丙答对这道题的概率为23.甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件D ，则概率为()P D ，其反面是三所学校都回答错误，即()()()()()()332511111148396P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为()59119696P D =-=；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，则这个问题回答正确设为事件E ，得到抢答机会分别是事件1A ，2A ，3A ，则()125P A =，()2310P A =，()3310P A =，()134P AA =∣，()238PB A =∣，()323P C A =∣， 则()()()()()()()112233P E P A P AA P A PB A P A PC A =++∣∣∣ 233332495410810380=⨯+⨯+⨯= 这个问题回答正确的概率为4980. 题型四 贝叶斯公式例10．（2022·辽宁·高二阶段练习）2022年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率. 【答案】(1)5581 (2)13【解析】 【分析】（1）先求出这三名志愿者全是学生和全是教职工的概率，再由对立事件的概率关系可得答案（2）设事件D 为这名志愿者是教职工志愿者，事件1E 为选甲高校，事件2E 为选乙高校，事件3E 为选丙高校,由全概率公式可得答案. (1)设事件A 为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则()76570999243P A =⨯⨯=；设事件B 为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则()2348999243P B =⨯⨯=；设事件C 为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则()()()708551124324381P C P A P B =--=--=. (2)设事件D 为这名志愿者是教职工志愿者，事件1E 为选甲高校，事件2E 为选乙高校，事件3E 为选丙高校.()()()12313P E P E P E ===，()12|9P D E =，()23|9P D E =，()34|9P D E =.所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：()()()()()()()1122331213141|||3939393P D P E P D E P E P D E P E P D E =++=⨯+⨯+⨯=⋅规律方法 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小．例11．（2022·全国·高二课时练习）设某公路上经过的货车与客车的数量之比是1：2，货车中途停车修车的概率为0.02，客车中途停车修车的概率为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，求该车是货车的概率．【答案】12． 【解析】 【分析】由全概率公式计算出停车修理的概率，再由贝叶斯公式计算出结论． 【详解】记事件A 为经过的车是货车，事件B 是经过车是客车，事件C 是停车修理．1()3P A =，2()3P B =，(|)0.02P C A =，(|)0.01P C B =，121()()(|)()((|)0.020.013375P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=，所以10.02()13(|)1()275P AC P A C P C ⨯===. 例12．（2022·全国·高二课时练习）计算机中心有三台打字机A ，B ，C ，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用A ，B ，C 打字的概率分别为多少.【答案】0.24；0.6；0.16 【解析】 【分析】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件M ，“该打字员用A 打字”为事件1N ，“该打字员用B 打字”为事件2N ，“该打字员用C 打字”为事件3N ，则根据全概率公式与贝叶斯公式求解即可 【详解】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件M ， “该打字员用A 打字”为事件1N ，“该打字员用B 打字”为事件2N ， “该打字员用C 打字”为事件3N ， 则根据全概率公式有()()()130.60.010.30.050.10.040.025i i i P M P N P M N ===⨯+⨯+⨯=∑，根据贝叶斯公式，可得该打字员使用A ，B ，C 打字的概率分别为：()()()()1110.60.010.240.025P N P M N P N M P M ⨯===， ()()()()2220.30.050.60.025P N P M N P N M P M ⨯===， ()()()()3330.10.040.160.025P N P M N P N M P M ⨯===. 题型五 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用例13．（2022·全国·高二课时练习）在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0．现假设发送信号为0和1的概率均为12；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．求已知收到信号0时，发出的信号是0（即没有错误接收）的概率． 【答案】0.875 【解析】 【分析】设事件0A =“发送信号为0”，事件1A =“发送信号为1”，事件0B =“收到信号为0”，事件1B =“收到信号为1”，根据题意可得0A 与1A 构成一完备事件组，分别求出()()01P A P A ，，()00P B A ，()01P B A ，再根据()()()()()0000101P B P A P B A P A P B A =+求得()0P B ，再利用贝叶斯公式即可求出答案. 【详解】解：设事件0A =“发送信号为0”，事件1A =“发送信号为1”，事件0B =“收到信号为0”，事件1B =“收到信号为1”．因为收到信号为0时，除来自发送信号为0外，还有发送信号为1时，由于干扰接收的信号0，因此导致事件0B 发生的原因有事件0A 与1A ，且它们互不相容，故0A 与1A 构成一完备事件组．由题意有()()0112P A P A ==，()000.7P B A =，()010.1P B A =， 故()()()()()0000101110.70.10.422P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=．由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为()()()()0000000.875P A P B A P A B P B ==．规律方法 P (A i )(i ＝1，2，…，n )是在没有进一步信息(不知道事件B 是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B 发生)，人们对诸事件发生可能性大小P (A i |B )有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化． 例14．（2022·全国·高二课时练习）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14．现从这三个地区任抽取一个人，假设每个人来自三个地区的可能性相同． （1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．【答案】（1）83420；（2）2883.【解析】【分析】（1）应用全概率公式，求所抽取的人感染此病的概率即可；（2）利用贝叶斯概率公式可得()(|)(|)()P B P D BP B DP D=，即可求概率.【详解】（1）由题意，所抽取的人感染此病的概率111183()3754420P=⨯++=.（2）若,,A B C分别表示来自甲、乙、丙的事件，D表示感染此病的事件，∴此人感染此病且来自乙地区的概率11()(|)2835(|)83()83420P B P D BP B DP D⨯===.例15．（2022·全国·高二课时练习）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）【答案】(1)0.0345；(2)0.36.【解析】【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.设事件1B ，2B ，3B 分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A 表示“取到的是次品.易知1B ，2B ，3B 两两互斥，根据全概率公式，可得()()()130.250.050.350.040.40.020.0345i i i P A P B P A B ==∑=⨯+⨯+⨯=．故取到次品的概率为0.0345． (2)()()()()()()11110.250.050.360.0345P B P A B P AB P B A P A P A ⨯===≈．故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．例16．（2022·江苏·高二课时练习）在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． (1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 【答案】(1)0.475，0.525 (2)119【解析】 【分析】（1）由全概率公式和对立事件概率公式计算． （2）由条件概率公式计算．设A =“发送的信号为0”，B =“接收到的信号为0”，则A =“发送的信号为1”，B =“接收到的信号为1”．由题意得()()0.5P A P A ==，(|)0.9P B A =，(|)0.1P B A =， (|)0.05P B A =，(|)0.95P B A =．()()(|)()(|)0.50.90.50.050.475P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=； ()1()10.4750.525P B P B =-=-=．(2)()(|)0.50.051(|)()0.47519P A P B A P A B P B ⨯===．例17．（2022·全国·高二课时练习）假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个分裂成两个）和死亡的概率相同．如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？ 【答案】35054096【解析】 【分析】求出不分裂就灭绝，分裂1次，2次和3次灭绝的概率，4次以上，概率很小忽略不计，把不分裂和分裂前3次加起来作为这个种群最终灭绝的概率，需要用到条件概率 【详解】由题意得：该细胞分裂和死亡的概率均为12，设这个种群最终灭绝是事件A ，其中没有分裂就灭绝为事件0B ，分裂一次后灭绝为事件1B ，分裂两次后灭绝为事件2B ，分裂三次后灭绝为事件3B ，……，其中()012p B =，()21111228p B ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()2224222212122222211111111111222224424p B C C C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=+=+-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦225198264⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()424446481234344441111111122222222p B C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4234444412344444111111151369112444424824096C C C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若分裂n 次后种群最终灭绝，则()11111112122224221222221111111122222222n n n nn n n n n p B C C C ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111112222212222222111111112444245182n n n n n n n n n n C C C ----------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=+++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当4n =时，()884510.0282p B ⎛⎫⎛⎫=-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，随着n 的增大，()n p B 变得特别小，可忽略不计，故()1193693505286440964096p A ≈+++=【同步练习】 一、单选题1．（2022·山东济宁·一模）甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ） A ．15B ．1330C ．1730D ．1325【答案】B 【解析】【分析】根据全概率公式进行求解即可.【详解】设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件B表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件C表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，则有：331221 (),(),(),()562563P A P C A P B P C A======，所以312113 ()()()()()525330P C P A P C A P B P C B=+=⨯+⨯=，故选：B2．（2022·山东菏泽·一模）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为（）A．0.75B．0.7C．0.56D．0.38【答案】A【解析】【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.【详解】设1A=“第1天去A餐厅用餐”，1B=“第1天去B餐厅用餐”，2A =“第2天去A 餐厅用餐”，则11A B Ω=⋃，且1A 与1B 互斥，根据题意得：()()110.5P A P B ==，()210.7P A A =，()210.8P A B =， 则()()()()()21211210.50.70.50.80.75P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=. 故选：A.3．（2022·全国·高二单元测试）太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲､乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C ､D ､E ､F ，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A 为“甲和乙至少一人选择C ”，事件B 为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率()P B A =（ ）A ．716B ．78C ．37D ．67【答案】D 【解析】 【分析】由独立乘法公式、互斥事件加法公式求()P A 、()P A B ⋂，再利用条件概率公式求()P B A 即可. 【详解】由题设，甲乙选景点C 的概率为14，选其它景点的概率为34，则()2102213137444416P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12136()()()4416P A B C ⋂==，所以()()6()7P A B P B A P A ⋂==. 故选：D4．（2022·江苏高邮·高三开学考试）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（）A．15B．25C．35D．45【答案】C 【解析】【分析】基本事件总数121615n C C==，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数11112 124129m C C C C C=+=，由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．【详解】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），在男生甲被选中的情况下，基本事件总数121615n C C==，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：11112 124129m C C C C C=+=，∴男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是93155mpn===．故选：C.5．（2022·广东深圳·一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（）A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为1 8D．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为4 7【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A、B；利用列举法求出只有一个男孩的概率，即可判断C；利用条件概率的求法计算，即可判断D.【详解】A：假设事件A：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能，事件B：该家庭3个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，所以A B⋂≠∅，故A错误；B：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生，是互斥但不对立事件，故B错误；C：3个小孩可能发生的事件如下：男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，其中只有一个男孩的概率为：38P=，故C错误；D：设M={至少一个有男孩}，N={至少有2个男孩}，由选项C可知，()4()7n MN n M==，，所以()4()()7n MNP M Nn M==，故D正确.故选：D6．（2022·全国·模拟预测）从3个“0”和3个“1”中任选3个组成三位数组，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则)(P A B 等于（ ）.A ．25B ．34C ．12D ．18【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式即可求解. 【详解】解：由“0”“1”组成的三位数组共有2228⨯⨯=（个），第一位数字为“0”的三位数组有224⨯=（个），则)(4182P B ==，第一位和第二位数字均为“0”的三位数组有2个，则)(2184P AB ==，所以)()()(12P AB P A B P B ==. 故选：C.7．（2022·安徽亳州·高二期末）某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ） A ．0.0689B ．0.049C ．0.0248D ．0.02 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求出．【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为P =()()0.5%12%10.5%2%⨯-+-⨯=0.0248．故选：C ．8．（2022·全国·高二）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ） A ．0.3B ．0.32C ．0.68D ．0.7 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式可求球队某场比赛不输球的概率. 【详解】设1A 表示“乙球员担当前锋”，2A 表示“乙球员担当中锋”，3A 表示“乙球员担当后卫”，4A 表示“乙球员担当守门员”，B 表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”． 则()()()()()()()()()12341234P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++0.20.40.50.20.20.60.10.20.32=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为10.320.68-=． 故选：C ． 二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是（）A．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为23 45B．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为22 45C．从第2个箱子里取出的球是白球前提下，则再从第1个箱子里取出的是白球的概率为15 23D．两次取出的球颜色不同的概率为5 9【答案】ABC【解析】【分析】对于ABD，根据互斥事件和独立事件的概率公式求解，对于C，根据条件概率的公式求解即可【详解】从第2个箱子里取出的球是白球的概率为352423595945⨯+⨯=，故选项A正确；从第2个箱子里取出的球是红球的概率为342522595945⨯+⨯=，故选项B正确；设从第2个箱子取出的球是白球为事件A，再从第1个箱子取出的球是白球为事件B，则()()()351559232345P ABP B AP A ⨯===，故选项C正确；两次取出的球颜色不同的概率为3424459599⨯+⨯=，故选项D错误，10．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）从有大小和质地相同的3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则（）．A．第一次摸到红球的概率为3 5B．第二次摸到红球的概率为3 5C．在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为4 5D．在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为23【答案】AB【解析】【分析】根据对古典概型的理解直接计算，即可判断A；根据独立重复试验的概率公式直接计算，即可判断B；根据对条件概率的理解，即可判断C、D.【详解】第一次摸到红球的概率为33325=+，则A正确；第二次摸到红球的概率为3223354545⨯+⨯=，则B正确；在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球，相当于从4个球中摸出1个红球，其概率为34，则C错误；在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球相当于从3个球中摸出1个红球，其概率为1，则D错误．。
概率知识讲解+习题集
中考内容中考要求ABC事件了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义概率了解概率的意义；知道大量重复实验时，可以用频率估计概率会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义列表概率求法树状图用频率估算概率与频数的关系一、与概率有关的定义：1、必然事件：事先能肯定一定发生的事件称为必然事件.2、不可能事件：事先能肯定一定不发生的事件称为不可能事件.3、确定事件：事先能肯定它是否发生的事件称为确定事件，必然事件和不可能事件都是确定事件.4、不确定事件（随机事件）：事先不能肯定它会不会发生的事件称为不确定事件.5、概率：随机事件A 发生的可能性的大小.记为()P A .设n 为事件A 包含的可能结果数，m 为所有可能结果总数，则()nP A m=. 对于任何一个事件A ，它的概率()P A 满足0()1P A ≤≤，必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0.7、（补充）乘法原理：若一件事情需分m 个步骤完成，而且每个步骤的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =⋅⋅⋅.加法原理：若一件事情需分m 种方法完成，而且每种方法的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =+++二、求概率的方法：知识精讲中考大纲概率知识网络图1、列表2、画树状图3、用频率估计概率 列举法求概率如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为m n． 用树状图法求概率当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方便了，可采用树状图法表示出所有可能的结果，再根据()mP A n=计算概率． 利用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记作()()()01P A p P A =≤≤三、概率与频率的关系←⎧⎪↓⎨⎪⎩频率用试验的方法频率与概率（试验次数很多）理论概率1、当一次试验涉及多个因素（对象）时，常用列表法或树状图法求出事件发出的所有等可能的结果，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．2、当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关事件的概率是困难的，转换视角，从问题的对立面：反面求解，常能化简求值．3、游戏的公平性是通过概率来判断的，在得分相等的前提下，若对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘相应得分，结果相等即公平，否则不公平．1、在审题时，看拿出来的东西是否放回．2、答题时需要注意步骤．易错点辨析解题方法技巧如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（）．（2014北京中考）A．16B．14C．13D．12题型一事件【例1】下列事件中必然发生的是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．阴天就一定会下雨【例2】下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖【例3】下列事件中是必然事件的是（）A．小菊上学一定乘坐公共汽车B．某种彩票中奖率为1％，买10000张该种票一定会中奖C．一年中，大、小月份数刚好一样多D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上【例4】下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环D.若a是实数，则0a课堂练习真题链接概率习题集题型二简单概率计算【例5】从1~12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4倍数的概率是（）．（2014石景山期末）A．112B．14C．13D．12【例6】在12的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为__________．（2014昌平期末）【例7】下列说法正确的是（）．（2014朝阳期末）A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨B．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”的概率等于“点数为偶数”的概率【例8】不透明的袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余2个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于20的概率为（）．（2014大兴期末）A．12B．13C．23D．16【例9】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是（）．（2014东城期末）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【例10】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为（）．（2014房山期末）A．13B．12C．16D．23【例11】一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（）．（2014丰台期末）A．12B．13C．23D．16【例12】一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．（2014丰台期末）【例13】汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B）的概率为12，则B与A的半径之比为．BA【例14】6张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形、圆．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A．16B．13C．12D．23【例15】在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。
第十一章 概率(历年高考题分类)
第十一章概率第一节随机事件的概率知识点讲解题型1——随机事件及其概率讲例1 盒中仅有4只白球、5只黑球，从中任意取出1只球。
（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？变式演练1 （1）指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件。
①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个三角形；②长度为2、3、4的三条线段可以构成一个直角三角形；③在乒乓球比赛中，某运动员取胜。
（2）某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n 10 20 50 100 200 5008 19 44 92 178 455击中靶中心次数m击中靶心频率mn①计算表中击中靶心的各个频率；②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？题型2——等可能事件的概率讲例2（天津高考题）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。
（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中至少有1名女生的概率。
变式演练2 （2007年北京）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站）.在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个站下车是等可能的.求：（1）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率；（2）这6位乘客中恰有3人在终点下车的概率。
题型3——等可能事件概率的应用讲例 3 （湖北高考题）为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后突发事件不发生的概率（记为p）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁p 0.9 0.8 0.7 0.6费用（万元）90 60 30 10预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.变式演练3 从高一年级和高二年级共18名学生代表中，随机抽取2人到学生会担任干部，如每个年级恰好抽1人的概率是80153，而且知道高一年级的学生代表多于高二年级，求这两个年级各自的学生代表.巩固练习一、选择题1、（2007年辽宁）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．122B．111C．322D．2112、（2008年重庆）从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为(A)184(B)121(C)25(D)353、（2008年辽宁）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344、（2007年重庆）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A ）41 （B ）12079 （C ）43 （D ）2423 5、（2008年江西）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1180 B ．1288 C ．1360D ．1480 6、（2007年山东）设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和47、连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．56二、填空题1、（2007年广东）甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）2、（2007全国1）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）三、解答题1、100件产品中，有95件合格品，5件次品.从中任取3件，求：（1）3件都是合格品的概率；（2）3件都是次品的概率；（3）2件是合格品、1件是次品的概率；2、在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就获得及格，某考生回答20道题中的8道题。
概率综合(古典概型)
知识点之三：分房问题
例三、有n个人，每个人都以同样的概率1/N 被分配在N（n间房间中的每一间，试求下 列各事件的概率： （1）指定的n间房中各有一人 (2)恰有n间房中各有一个; (3)指定的某间房中恰有r（r≤N)个人; （4)第一间房、第二间房…第n间房中分别有 r1,r2,…rN个人，（ r1+r2+…+rN=n，0≤r≤n)
有放回的抽样问题练习
4、袋中装有编号为1，2……N的球各一只, 采用有放回方式摸球,试求在第k次摸 球 时首次摸到1号球的概率.
解题分析：
从N个球中有放回地摸出k个球的所有各种可 能的结果为Nk个,把它们作为全体基本事件,有 利场合数为(N-1)k-1,故所求概率为:
(N 1) P K N
知识点练习一(不放回抽样练习)
1、甲袋中有3只白球，7只红球，15只， 黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9 只黑球，现从两袋中各取一球 ，求两球颜
色相同的概率。
解答： 从两袋中各取一球的所有可能作为基本事 件，总数有252，有利场合数 为3×10+7×6+15×9,故所求的概率 P=207/625
知识点练习一(不放回抽样练习)
3、从52张扑克牌中任取5张，求下列事件的 概率：①、4张A集中在一个人的手中。 ②、 以K打头的同花顺次五张牌； ③ 、同花顺 次五张牌；④ 、有四张牌同点数； ⑤ 、三 张同点数且另两张取其它同点数； ⑥、同 花五张； ⑦ 、异花顺次五张； ⑧ 、三张 同点数，另两张不同； ⑨ 、五张中 有两对； ⑩ 、五张中有一对。 说明：扑克牌的顺次为：A2345678910JKA
分析：这n个人在N间房中的所有不同的分配 ，相当于从N个元素中选取n个进行有重复的排列
简单事件的概率
XXXX教育______学科个性化教学教案授课时间：年月日备课时间年月日年级九课程类别课时学生姓名授课主题简单事件的概率授课教师教学目标理解等可能事件的概念，并准确判断某些随机事件是否等可能；教学重难点等可能事件和利用概率公式求事件的概率教学方法讲练结合教学过程1、课程导入/错题讲解：（1）1998年，在美国密歇根州的一个农场里出生了一头白色奶牛。
据统计平均出生1千万头牛才会有一头是白色的。
你认为出生一头白色奶牛的概率是多少？（2）设置一只密码箱的密码，若要使不知道秘密的人拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要多少位？这些问题都需要我们进一步学习概率的知识来解决。
本章我们将进一步学习简单事件的概率的计算、概率的估计和概率的实际应用。
点拨教学过程2.知识点讲解1、在一定条件下一定发生的事件叫作必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫作不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫作不确定事件或随机事件。
2、为了确定简单事件发生的各种可能的结果，通常用列表、画树状图法。
当实验包含两步时，用列表法与画树状图法求发生的结果数均比较方便；但当实验存在三步或三步以上时，用画树状图的方法求事件发生的结果数较为方便。
3、我们把事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率。
事件A发生的概率记作P（A），概率的计算公式为：P（A）=nm（m≤n）M为事件A发生的可能出现的结果数；n为事件发生的所有可能结果数必须事件发生的概率是1；不可能事件的概率为0；随机事件A发生的概率范围是0＜P（A）＜14、简单事件的分类及其概率的求法①、只涉及一步实验的随机事件发生的概率当事件发生的各种结果的可能性相同时，直接找出事件A发生的可能的结果数与所有可能出现的结果总数，再运用概率公式求解②、涉及两步实验的随机事件发生的概率利用图表法或树状图求出事件发生的可能的结果数与所有可能出现的结果总数，再运用概率公式求解。
③、涉及三步或三步以上的实验的随机事件发生的概率利用树状图求出事件发生的可能的结果数与所有可能出现的结果总数，再运用概率公式求解。
小学数学统计与概率专项二可能性类型一不确定现象
小学数学统计与概率专项二可能性类型一不确定现象类型一不确定现象【知识讲解】1. 事件生活中，有些事件的发生是确定的，有些是不确定的。
事件分为确定事件（描述词：一定，不可能）和不确定事件（描述词：可能）2. 不确定事件，必定事件，不可能事件，确定事件生活中，有许多情况我们事先无法确信它会或可不能发生，这些情况就叫做不确定事件。
（随机事件）一定会发生的情况叫做必定事件。
一定可不能发生的情况叫做不可能事件。
关于必定事件与不可能事件，我们事先都能够明白它们的结果，这些情况叫做确定事件。
【典型例题】从下面五个盒子里分别摸出一个球，一定是红球吗？用线连一连。
【答案】【解析】依照每个盒子中球的颜色及个数的多少得出可能性，进而连线即可。
点评：解决此题关键是假如不需要准确地运算可能性的大小时，能够依照各种球个数的多少，直截了当判定可能性的大小。
【巩固练习】一、选择题。
1．粉笔盒中有4枝白粉笔，5枝黄粉笔，（）。
A．可能摸出蓝粉笔B．不可能摸出蓝粉笔C．一定摸出蓝粉笔 D.可能摸出黄粉笔2．下面哪种情形是不可能发生的？（）A.月亮绕着地球转B.后天早上太阳从西边升起C.抛一枚硬币，硬币落地后有“国徽”的一面朝上D.今天下雨，改日也会下雨3．改日（）会下雨。
A.一定B.不可能C.可能4．下列说法正确的是（）A．不太可能确实是不可能B．必定发生与不可能发生差不多上确定现象C．专门可能发生确实是必定发生D．可能发生的可能性没有大小之分5．吃饭时，人用左手拿筷子，这种现象是（）的。
A．一定B．可能C．不可能6．刘翔在2021年北京奥运会上（）能拿冠军。
A．不可能B．可能C．一定7．白菜是树上结的，太阳从东边落下。
①不可能②一定③可能8．我比妈妈年龄大是；地球绕着太阳转是A．一定B．不可能C．可能9．王佳和李明的这次数学考试，（）都得满分。
A．可能B．不可能C．一定二、填空题。
1．用“可能”、“不可能”或“一定”填空．（1）改日会下雨．（2）没有了空气，人不能生存．（3）鱼的生命离开水．2．在下面括号里填上“一定”或“不一定”。
【高中数学】随机事件的概率专题讲义(附练习题及答案)强烈推荐!
概率-随机事件的概率关键词： 概率 频率 随机事件 互斥事件 对立事件学习目标：理解概率的意义，掌握概率的一些基本概念，会求古典概型。
知识点讲解1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。
由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。
注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。
（2）交事件（积事件）若某事件的发生是事件A 发生和事件B 同时发生，则此事件称为事件A 与事件B 的交事件。
5．古典概型（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ； 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1。
22随机事件与概率--知识讲解及其练习 含答案
随机事件与概率--知识讲解【学习目标】1、感受生活中的随机现象，并体会不确定事件发生的可能性大小；2、通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性，理解概率的意义.【要点梳理】要点一、确定事件与不确定事件1.确定事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件.2.不确定事件也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件.要点诠释：要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.要点二、频率与概率1.频率与概率的定义频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值mn称为事件A发生的频率.无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P （A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点诠释：①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.【典型例题】类型一、确定事件与不确定事件1.指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是不确定事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义进行判别.举一反三【变式1】（2016•凉山州模拟）下列事件中不是随机事件的是（）A．打开电视机正好在播放广告B．从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球C．从课本中任意拿一本书正好拿到数学书D．明天太阳会从西方升起【答案】D．解：A、打开电视机正好在播放广告是随机事件，选项错误；B、从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球，是随机事件，选项错误；C、从课本中任意拿一本书正好拿到数学书，是随机事件，选项错误；D、明天太阳会从西方升起是不可能事件，不是随机事件，选项正确．故选D．【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生；B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件；C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生；D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】要掌握三种事件的区别与联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、频率与概率3.（2015•阜新）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【答案】20．【解析】解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：=0.2，解得：n=20，故答案为：20．【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？【答案与解析】落在黄色区域的可能性大.理由如下：由图可知：黄色占整个转盘面积的；红色占整个转盘面积的；蓝色占整个转盘面积的.由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面积法、数值法等.投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?【思路点拨】计算出每次的频率值，看频率稳定在哪个值附近，这个值就约等于概率. 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ) 9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.【巩固练习】一、选择题1. 下列说法正确的是( )．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等2.（2015•徐州）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球3.下列说法正确的是( )A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D.不可能事件在一次试验中也可能发生4. 在不透明的袋中装有除颜色外，其余均相同的红球和黑球各一个，从中摸出一个球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率的大小关系是( )A．摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率B．摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率C．相等D．不能确定5.下列说法正确的是( )A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面.6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二. 填空题7. 夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩 ____________（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀．8. 判断下列事件的类型：(必然事件，随机事件，不可能事件)(1)掷骰子试验，出现的点数不大于6．_____________(2)抽签试验中，抽到的序号大于0．_____________(3)抽签试验中，抽到的序号是0．____________(4)掷骰子试验，出现的点数是7．_____________(5)任意抛掷一枚硬币，“正面向上”．_____________(6)在上午八点拨打查号台114，“线路能接通”．__________(7)度量五边形外角和，结果是720度．________________9. （2015•潍坊模拟）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个．10．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．11. 掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是_______，7点向上的概率是_______．12. 下面4个说法中，正确的个数为_______．(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小．三.综合题(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到一次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______.(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_____次正面，正面出现的频率是_____；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_____次反面，反面出现的频率是______(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是_______.14. （2015春•雅安期末）如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘，上面写有10个有理数．（1）求转得正数的概率．（2）求转得偶数的概率．（3）求转得绝对值小于6的数的概率．15. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．(1)求摸出1个球是白球的概率；(2)现在再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D.2.【答案】A.【解析】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．3．【答案】C.4．【答案】C.【解析】两种情况的概率均为50%.5．【答案】B.6．【答案】A.【解析】只有丙是正确的，指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率都是50%.二、填空题7. 【答案】可能.【解析】夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩不能确定，是随机事件．8．【答案】必然事件；必然事件；不可能事件；不可能事件；随机事件；随机事件；不可能事件.9.【答案】12.【解析】设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴=，解得：x=12，故白球的个数为12个．故答案为：12．10.【答案】0.8；【解析】随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近.11.【答案】16；0.12.【答案】0.【解析】(1)中即使概率是99%，很大了，但是仍然有不是红球的可能，所以错误；(2) 因为有三个球，机会相等，所以概率应该是13；(3) 概率的取值范围是．(4) 应该是取出一只红球的可能性不存在．三、解答题13.【解析】① 4；80%；② 5006；50.1%；4993；49.9%；③12.14. 【解析】解：（1）P（转得正数）==；（2）P（转得偶数）==；（3）P（转得绝对值小于6的数）==．15.【解析】(1)；(2)由题意得，∴经检验，n＝4是方程的根，且符合题意．。
重庆市2019届中考数学一轮复习《7.2概率》讲解含答案
第二节概率课标呈现_指引方向1．能通过列表、画树状图等方法列m简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率．2．知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率．考点梳理夯实基础1．事件的分类(1)在自然和现实社会中，有些事件我们事先能够肯定它一定会发生的事件称为必然事件．(2)有些事件事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件．(3) 必然事件和不可能事件统称为不确定事件．(4)在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件，称为随机事件．2．概率(1)定义：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．P（必然事件）= 1；P（不可能事件）=0；0 <P（随机事件）<1．(2)计算公式：P（事件的概率）= mn（m表示所关注的事件的结果数．n表示所有可能的结果数）．(3)两步试验事件的概率计算方法主要有两种：一是列表法，二是画树状图．(4)用频率估计概率：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率！会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A发生的概率，即P(A)=p.考点精析专项突破考点一事件的分类【例l】（2019攀枝花）下列说法中正确的是（D）A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“20x<（x是实数）”是随机事件C．掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上D．367人中，必有两人的生日在同一天解题点拨：解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法，必然事件指在一定条件下一定发生的事件：不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．考点二概率【例2】（2019泸州）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取1只球，则取出黑球的概率是 ( C )A. 12B.14C.13D14解题点拨：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目：②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小.【例3】（2019重庆4卷）从数一2，12-，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n．若k= mn,，则正比例函数y=kx的图象经过第一、第三象限的概率是1 6解题点拨：利用树状图或列表，可得五有12个值，其中正数七的值有2个，所以概率为16．【例4】（2019潍坊）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了4、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．评估成绩（n）分评定等级频数90≤n≤100 A 280≤n<90 B70≤n<80 C 15n<70 D 6根据以上信息解答下列问题：(1)求m的值；(2)在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是4等级的概率．解题点拨：(1)由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值：(2)首先求得日等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小：(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是4等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：(1) C等级频数为15，占60%，可求出m的值.m =15÷60%= 25：(2) B等级频数为：25-2-15-6=2，B等级所在扇形的圆心角的大小为：225×360 =28.8= 28`28；(3)评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：∴共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，其中至少有一家是A等级的概率为：105. 126=考点三用频率估计概率【例5】（2019泰州）事件4发生的概率为嘉，大量重复做这种试验，事件4平均每100次发生的次数是5．解题点拨：用频率估计概率的思想进行计算可．【例6】有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有A，B，C，D和一个等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．(1)用面树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能m现的所有情况（结果用A，B，C，D表示）．(2)小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？A16=±4 B. 22-=4 C.33332x x x-= D. 532b b b÷=解题点拨：计算出每种情况的概率即可．解：(1)所有情况有12种：（A，B）、(A，C)、(A，D)、（B，A）、(B，C)、(B，D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C).(2)游戏不公平．这个规则对小强有利．理由如下：P（小明获胜）=21 126=，P（小强获胜）= 105 126=P（小明获胜）<P(小强获胜)，∴这个规则对小强有利．1．（2019湖北）下列说法中正确的是 (B)A．“任意面m一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B．“任意面m一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件D．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为62．（2019重庆B卷）点P的坐标是(a，b)，从-2，-1，0，l，2这五个数中任取一个数作为。
条件概率与事件的独立性-讲义(学生版)
条件概率与事件的独立性一、课堂目标1．掌握条件概率的定义和计算公式，以及条件概率与乘法公式之间的关系．2．掌握独立事件的定义和性质．3．掌握互斥事件和独立事件的综合应用．4．掌握全概率公式的定义及应用，了解贝叶斯公式．二、知识讲解1. 条件概率知识精讲（1）定义一般地，当事件发生的概率大于时（即），则事件发生的条件下事件发生的概率，称为条件概率，记作.（2）计算公式一般地，设为两个随机事件，且，则：．（3）性质①非负性：条件概率具有的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．②若事件A与B互斥，即与不可能同时发生，则．③可加性：如果和是两个互斥事件，则．（4）条件概率的求法①定义法，先求和，再求；②基本事件法，借助古典型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得．注意：求复杂事件的条件概率时，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，求出这些简单事件的条件概率，再利用概率的可加性，得到最终结果．经典例题A. B.C.D.1.某地气象台预计，月日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则（）．巩固练习A.B.C.D.2.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二个路口遇到红灯的概率为，在两个路口连续遇到红灯的概率是．某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（）．经典例题A. B.C.D.3.一个盒子内装有个红球，个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是（）．巩固练习A. B.C.D.4.某盒中装有只乒乓球，其中只新球，只旧球，不放回地依次摸出个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）．经典例题A. B.C.D.5.袋中装有形状和大小完全相同的个黑球，个白球，从中不放回地依次随机摸取两个球，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（）．巩固练习A.B.C.D.6.抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合，令事件，，则的值为（）．2.乘法公式知识精讲由条件概率的计算公式可知，这就是说，根据事件发生的概率，以及事件发生的条件下事件发生的概率，可以求出与同时发生的概率.一般地，这个结论称为乘法公式.经典例题7.甲袋中有个白球，个红球；乙袋中有个白球，个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球 ,则取到白球的概率是．巩固练习A.B.C.D.8.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（）．A.B.C.D.9.已知箱中有红球个，白球个，箱中有白球个，（、箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从箱中取出个球放入箱，将箱中的球充分搅匀后，再从箱中随意取出个球放入箱，则红球从箱移到箱，再从箱返回箱中的概率等于（）．3. 事件的独立性知识精讲（1）定义当时，与独立的充要条件是这时，我们称事件、相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．（2）独立事件的性质对于两个独立事件和，有如下两个性质：①与，与，与也相互独立；②．经典例题A. B.C.D.10.袋中有大小形状都相同的个黑球和个白球．如果不放回地依次取次球，每次取出个，那么在第次取到的是黑球的条件下，第次取到白球的概率为（）．巩固练习A. B.C.D.11.已知件次品和件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（）．经典例题12.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，，则此密码能被译出的概率为．巩固练习13.某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为．4. 互斥事件与独立事件知识精讲互斥事件与独立事件的区别：“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．知识点睛已知两个事件，它们的概率分别为.将中至少有一个发生记为事件，都发生记为事件，都不发生记为事件，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件，则它们的概率间的关系见下表.概率互斥相互独立1经典例题A.不相互独立事件B.相互独立事件C.互斥事件D.对立事件14.一袋中装有只白球，只黄球，在有放回地摸球中，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，则事件与是（ ）．巩固练习A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥15.掷一颗骰子一次，设事件：“掷出奇数点”，事件：“掷出点或点”，则事件，的关系（ ）．经典例题A.B.C.D.16.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过概率是（ ）．（1）（2）17.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，数学为，英语为，并且该生各科取得第一名相互独立．问一次考试中：三科成绩均未获得第一名的概率是多少？恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？巩固练习18.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该学生恰有一项合格的概率为（ ）．A.B. C.D.A.B.C.D.19.社区开展“建军周年主题活动——军事知识竞赛”，甲乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（）．5. 全概率公式知识精讲（1）公式公式的推导：一般地，如果样本空间为，而为事件，则与是互斥的，且,所以,当且时，由乘法公式得：,所以，．（2）全概率公式的一般结论前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即与）后得到的.如果将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到更一般的结论，如下：定理：若样本空间中的事件满足：①任意两个事均互斥，即；②；③.则对中的任意事件，都有，且.上述公式也称为全概率公式.经典例题20.某射击小组共有名射手，其中一级射手人， 二级射手人， 三级射手人， 四级射手人． 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是、、、． 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率．巩固练习（1）（2）21.某仓库有同样规格的产品箱，其中箱、箱、箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一件产品，求：取得一件产品是次品的概率．若已知取得的一件产品为次品，这件次品是乙厂生产的概率．6. 贝叶斯公式知识精讲（1）贝叶斯公式一般地，当且时，有.这称为贝叶斯公式.（2）贝叶斯公式的推广同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广.定理：若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即；②；③.则对中的任意概率非零事件，有.上述公式也称为贝叶斯公式.经典例题22.甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的，乙厂生产的占；甲厂商品的合格率为，乙厂商品的合格率为．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 ．巩固练习23.某地区居民的肝癌发病率为 ，现用甲胎蛋白法进行普查医学研究表明，化验结果是存在错误的已知患有肝癌的人其化验结果呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果呈阴性（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率有多少？三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测A.B.C.D.24.下面结论正确的是（ ）．若，则事件与是互为对立事件若，则事件与是相互独立事件若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件若事件与是相互独立事件，则与也是相互独立事件25.根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为 ，在下雨天里，刮风的概率为 ．26.已知件产品中有件次品，现逐一不放回的检验，直到件次品都能被确认为止，则检验次数为的概率为 ．27.甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率是 ．。
新人教版初中数学中考总复习：统计与概率--知识点整理及重点题型梳理
新人教版初中数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：统计与概率—知识讲解【考纲要求】1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现；2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算；3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍；4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件；5.加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题．【知识网络】「I 统计图表——।阅读图表提取信息T 集中程度I 怦均数中位教嬴【考点梳理】考点一、数据的收集及整理1 .一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展 开调查、记录结果、得出结论.2 .调查收集数据的方法:普查与抽样调查. 要点诠释：(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的.(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行 普查；或调查具有破坏性时，不允许普查，这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想 (3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本.统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样 3 .数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图. 要点诠释：这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额.收集数据媒体查询抽样调查-抽样的基本要求总体个体样本T 整理数据借助统计活动研究概率从概 率角度分析善数据特征离散程度限差方差标准差实验估计概必然事不可能事游戏的 公平与模拟等效实考点二.数据的分析 1 .基本概念：总体：把所要考查的对象的全体叫做总体； 个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本； 样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组 数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数； 极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的 情况，这个结果通常称为方差.计算方差的公式：设一组数据是/,无是这组数据的平均数。
高考数学总复习考点知识讲解与练习32 概率、随机变量及其分布
高考数学总复习考点知识讲解与练习 第32讲 概率、随机变量及其分布[考情分析]1.考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，中低等难度.2.离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，中高等难度． 考点一 古典概型 核心提炼古典概型的概率公式P (A )＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.例1(1)(2020·宁夏六盘山高级中学模拟)2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A ，B ，C 三名护士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选去第一医院工作的概率为() A.112 B.16 C.15 D.19答案D解析根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有：甲A ，甲B ，甲C ，乙A ，乙B ，乙C ，丙A ，丙B ，丙C ，9种情况，而医生甲和护士A 被选去第一医院工作有1种情况，所以概率为P ＝19.(2)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是()A.15B.110C.121D.1252 答案C解析现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n ＝C 410，能成为两组的基本事件个数m ＝C 25，则能成为两组的概率是P ＝m n ＝C 25C 410＝121.规律方法古典概型求解的关键点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．跟踪演练1(1)(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112 B.114 C.115 D.118答案C解析不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率为345＝115.(2)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为()A.532B.516C.1132D.1116 答案B解析由题意可知，填写的可能结果共有如下32种： 00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111， 01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111， 10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111， 11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111， 其中满足题意的有10种：10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值P ＝1032＝516.考点二 随机变量的分布列核心提炼1．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C knp k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.考向一超几何分布例2(2020·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和均值．解(1)由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有C212＝66(种)，抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C24＋2C23＋C22＝13(种)，所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝13 66 .(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2，所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2，因为P(X＝0)＝C04C22C26＝115，P(X＝1)＝C14C12C26＝815，P(X＝2)＝C24C02C26＝25.所以随机变量X的分布列为所以随机变量X的均值为E(X)＝0×115＋1×815＋2×25＝43.跟踪演练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.故ξ的分布列为考向二二项分布例3(2020·陕西安康中学模拟)“互联网＋”是“智慧城市”的重要内容，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ，为了解免费WiFi 在A 市的使用情况，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：(1)根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关； (2)将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取3人中“偶尔或不用免费WiFi”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、均值E (X )和方差D (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解(1)由列联表可知K 2＝200×(70×40－60×30)2130×70×100×100≈2.198，因为2.198<2.706，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关． (2)由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，25，X 的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03×⎝⎛⎭⎪⎫353＝27125，P(X＝1)＝C13×25×⎝⎛⎭⎪⎫352＝54125，P(X＝2)＝C23×⎝⎛⎭⎪⎫252×35＝36125，P(X＝3)＝C33×⎝⎛⎭⎪⎫253＝8125.所以X的分布列为E(X)＝3×25＝65，D(X)＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.规律方法随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．跟踪演练3某机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出2种超过质保期后2年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6000元，在延保的2年内一共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的2年内一共可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．某工厂准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后2年内维修的次数，统计得下表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后2年内共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？解(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，P(X＝0)＝15×15＝125，P(X＝1)＝110×15×2＝125，P(X＝2)＝110×110＋15×25×2＝17100，P(X＝3)＝110×25×2＋15×310×2＝15，P(X＝4)＝25×25＋310×110×2＝1150，P(X＝5)＝25×310×2＝625，P(X＝6)＝310×310＝9100，∴X的分布列为(2)设选择方案一所需费用为Y1元，则Y1的分布列为E(Y1)＝14×6000＋15×7500＋1150×9000＋625×10500＋9100×12000＝8580.设选择方案二所需费用为Y2元，则Y2的分布列为E(Y2)＝67100×7740＋625×(7740＋a)＋9100×(7740＋2a)＝7740＋21a50.当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50>0，即0<a<2000时，选择方案二更合算，当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50＝0，即a＝2000时，选择方案一、方案二均可；当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50<0，即a>2000时，选择方案一更合算．专题强化练一、单项选择题1.某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i＝1,2,3)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()A.23B.34C.35D.12答案A解析设事件A表示“甲、乙两人不在同一站点下车”．甲、乙两人同在站点A1下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A2下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A3下车的概率为13×13.所以甲、乙两人在同一站点下车的概率为3×13×13＝13，则P(A)＝1－13＝23.2．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值E(X)＝3，则a－b等于()A.110B．0C．－110D.15答案A解析∵离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，∴(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1， 即10a ＋4b ＝1， 又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3， 即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a －b ＝110.3．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()A.1027B.448729C.100243D.4081 答案B解析由题图可知，A ，C 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，连通的概率是1－19＝89.E ，F 之间连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，未连通的概率是1－49＝59，故D ，B 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝2581，D ，B 之间连通的概率是1－2581＝5681，故A ，B 之间连通的概率是89×5681＝448729. 4．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于() A.12B.13C.14D.25 答案B解析正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有C16·C16＝36(种)，事件A：“x＋y为偶数”包含事件A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)＝C13·C1336＝14，P(A2)＝C13·C1336＝14，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝14＋14＝12.事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，所以事件AB为“x，y都为偶数且x≠y”，所以P(AB)＝C13·C13－336＝16，由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.5．(2020·山东枣庄市八中月考)某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为() A．150B．200 C．300D．400答案C解析因为P(X<90)＝P(X>120)＝1 5，P(90≤X≤120)＝1－25＝35，所以P(90≤X≤105)＝12P(90≤X≤120)＝310，所以此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为1000×3 10＝300.6．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则D (Y )－D (X )等于() A.12512B.3512C.274D.234答案A解析设A 学生答对题的个数为m ， 则得分X ＝5m ，m ～B ⎝⎛⎭⎪⎫12，14， D (m )＝12×14×34＝94， 所以D (X )＝25×94＝2254；同理设B 学生答对题的个数为n ，则得分Y ＝5n ，n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13，D (n )＝12×13×23＝83，所以D (Y )＝83×25＝2003，所以D (Y )－D (X )＝2003－2254＝12512.二、多项选择题7．已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则下列结论正确的是() A ．E (ξ1)<E (ξ2) B ．E (ξ1)>E (ξ2) C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)>D (ξ2) 答案AC解析∵E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2， ∴E (ξ1)<E (ξ2)，∵D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)， ∴D (ξ1)－D (ξ2)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)<0， 即D (ξ1)<D (ξ2)．8．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则()A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮 答案ABD解析设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝56，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝18，选项A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝56×35×14＝18，选项B 正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P (A 1)－P (A 1A 2)＝1－16－56×25＝12，选项C 不正确；设在此次比赛中，该软件考核了Y 轮，∴Y 的可能取值为1,2,3,4，P (Y ＝1)＝P (A 1)＝16，P (Y ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×25＝13，P (Y ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝18，P (Y ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×35×34＝38，∴E (Y )＝1×16＋2×13＋3×18＋4×38＝6524，故选项D 正确．三、填空题9．某校高一新生健康检查的统计结果显示：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一该校高一新生，已知此人体重超重，则他血压异常的概率为________． 答案0.2解析记事件A 表示此人体重超重，事件B 表示此人血压异常，则P (A )＝0.4，P (AB )＝0.08，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.080.4＝0.2. 10．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13，则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为________． 答案427解析因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是1－13＝23，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为23×23×13＝427.11．(2020·临沂模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为________．答案314解析观察八卦图可知，含三根阴线的共有一卦，含三根阳线的共有一卦，含两根阳线一根阴线的共有三卦，含一根阳线两根阴线的共有三卦，所以从八卦中任取两卦有C 28＝28(种)情况．其中抽取的两卦中六根线恰有两根阳线，四根阴线的所有情况是一卦含有三根阴线，另一卦含有两根阳线一根阴线，或者两卦都含有一根阳线两根阴线，即C 13＋C 23＝6(种)情况．故所求概率为P ＝628＝314.12．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 答案131解析方法一1个红球，1个绿球，2个黄球，共有A 24＝12(种)排列．①红球前面没有黄球，有A13＋1＝4(种)，P(ξ＝0)＝412＝13；②红球前面有1个黄球，有A12＋A12＝4(种)，P(ξ＝1)＝412＝13；③红球前面有2个黄球，有1＋A13＝4(种)，P(ξ＝2)＝412＝13.E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.方法二①第1次就取到红球：P(红)＝1 4；②第2次取到红球：P(黄，红)＝24×13＝16，P(绿，红)＝14×13＝112；③第3次取到红球：P(黄，黄，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，红)＝14×23×12＝112；④第4次取到红球：P(黄，黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，黄，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，黄，红)＝14×23×12＝112.故P(ξ＝0)＝P(红)＋P(绿，红)＝14＋112＝13，P(ξ＝1)＝P(黄，红)＋P(黄，绿，红)＋P(绿，黄，红)＝16＋112＋112＝13，P(ξ＝2)＝P(黄，黄，红)＋P(黄，黄，绿，红)＋P(黄，绿，黄，红)＋P(绿，黄，黄，红)＝112＋112＋112＋112＝13.则E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.四、解答题13．某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A，B，C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．(1)求3个人来自两个不同专业的概率；(2)设X表示取到B专业的人数，求X的分布列与均值．解(1)令事件A表示“3个人来自于两个不同专业”，事件A1表示“3个人来自于同一个专业”，事件A2表示“3个人来自于三个不同专业”，P(A1)＝C33＋C35C310＝11120，P(A2)＝C12C13C15C310＝30120＝14，∴3个人来自两个不同专业的概率P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－11120－30120＝79120.(2)随机变量X的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03C37C310＝35120＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120，∴X的分布列为E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.14．(2020·寿光市第二中学月考)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．附参考数据： 6.92≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)x＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，故估计50位农民的年平均收入x为17.40千元．(2)由题意知X～N(17.40,6.92)，①P(X≥μ－σ)＝0.5＋0.68272≈0.8414，所以μ－σ≈17.40－2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，则ξ～B(1000，p)，其中p＝0.9773，所以E(ξ)＝1000×0.9773＝977.3.。
4.12概率的计算--知识讲解
4.12概率的计算--知识讲解【学习目标】1、通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；2、能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.【要点梳理】要点一、古典概型满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.要点诠释：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn.要点二、用列举法求概率常用的列举法有两种：列表法和树形图法.1.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2.树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.要点三、利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.【典型例题】类型一、用列举法求概率1．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是( ) A. B. C. D.【答案】C.【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸到黄球的概率是.【总结升华】这是一道典型的古典概型题.举一反三：【变式】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.【答案】P（停在阴影部分）=23.2. 把一副扑克牌中的张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是、、）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王赢；当张牌面数字不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.【答案与解析】（1）P（抽到牌面数字４）=;（2）游戏规则对双方不公平．理由如下：P（牌面数字相同）=；P（牌面数字不相同）=23.【总结升华】列表法可以不重不漏的列出所有可能的结果.举一反三：【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12.（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.【答案】（1）1个；（2）P（两次摸到白球）=16.类型二、利用频率估计概率3. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： (1)计算并完成表格：落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？ (3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2) 0.69；(3) 由（1）的频率值可以得出P （获得铅笔）=0.69；(4) 0.69×360°≈248°.【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率． 举一反三：【变式】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条． 【答案】条 .4. 一个密封不透明的盒子里有若干个白球, 在不允许将球倒出来的情况下, 为估计白球的个数, 小刚向其中放入8个黑球, 摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒中, 不断重复, 共摸球400次, 其中88次摸到黑球. 估计盒中大约有白球( ).A.28个B.30个C.36个D.42个 【答案】A.【解析】先求出盒子里所有的球数为,再求盒子里的白球数为36-8=28个.故选A .【总结升华】通过实例让学生体会由频率估计概率的必要性和科学性.强调“同样条件，大量试验”.【巩固练习】一、选择题1. 用1、2、3、4、5这5个数字(数字可重复，如“522”)组成3位数，这个3位数是奇数的概率为( ). A ．B ．C ．D ．2.下列说法正确的是( ).A ．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；B ．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；C ．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；D ．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，是他得出 全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．3.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( ). A ．B ．C ．D ．4. 某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是( ).A ．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；B ．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；C ．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的；D ．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．5. 要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是( ). A ．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；B ．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；C ．装入红球5个，白球13个，黑球2个；D ．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．6．现有A 、B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A 立方体朝上的数字为、小明掷B 立方体朝上的数字为来确定点P()，那么它们各掷一次所确定 的点P 落在已知抛物线上的概率为( ).A. B. C. D.二. 填空题7. 从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是______________．8.你喜欢玩游戏吗?现请你玩一个转盘游戏．如图所示的两上转盘中指针落在每一个数字上的机会均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数字作乘积，所有可能得到的不同的积分别为_______________________；数字之积为奇数的概率为__________________．9．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是___________．10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则___________．11. 一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2，根据上述数据，小亮可估计口袋内大约有________个黑球.12. 从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x 的一元二次方程的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是_______.三. 综合题13. 现有三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型.若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率.(要求：用列表或画树状图的方法解答)14.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：(1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近___________．(精确到0.1)(2)假如你摸一次，你摸到白球的概率__________.(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？15. 在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．（1）写出点M坐标的所有可能的结果；（2）求点M在直线y＝x上的概率；（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．【答案与解析】一、选择题1．【答案】A.【解析】5个数字组成3位数（可以重复）有5×5×5=125种，是奇数的有5×5×3=75，所以概率为75÷125=.2．【答案】B.3．【答案】C.【解析】第一次摸出红球的概率是21=42，第二次摸出红球的概率是13，所以P（都摸到红球）=111=236.4．【答案】C.5．【答案】C.【解析】P（摸到红球）=51=5+13+24.6．【答案】B.【解析】两人各掷一次出现的结果有36种，而满足点P落在抛物线上的点有3种：(1，3)，(2，4)，(3，3)，所以P(点P 落在已知抛物线上)=二、填空题7.【答案】.【解析】取不同的数作为点的坐标有6种情况，（-2，-1），（-2,2），（-1,2），（-1，-2），（2，-2），（2，-1），摸球的次数摸到白球的次数摸到白球的频率其中在第四象限的有2种（2，-2），（2，-1），所以P(点落在第四象限)= .8.【答案】1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，16，18，20，24 ； .9.【答案】.10.【答案】 1 .11.【答案】48 .【解析】由白球与10的比值可以确定P(白球在10个球里)=0.2，所以总球数是12÷0.2=60，即黑球的个数是60-12=48.12．【答案】.【解析】因为方程中有两个不相等的实数根，所以△k<14,k=-2,-1,0,=1-4k>0,即P(有不等实数根)= .所以三、解答题13.【解析】列表如下：所以两次所抽血型为O 型的概率为.树状图如下：所以两次所抽血型为O 型的概率为.14.【解析】(1) 0.6； (2) 0.6;(3) 16只黑，24只白.15.【解析】（1）∵∴点M 坐标的所有可能的结果有九个：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)．（2）P （点M 在直线y ＝x 上）＝P （点M 的横、纵坐标相等）＝＝．（3）∵∴P （点M 的横坐标与纵坐标之和是偶数）＝．。
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概率练习题1.设工厂甲和工厂乙的产品的次品率分别为0.01和0.02，现从由甲和乙的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于甲生产的概率是多少？2.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者。
现从男女人数相等的人群中随机挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？3.某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中60台是甲厂生产的，25台是乙厂生产的，15台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求：（1）该顾客取到一台合格冰箱的概率；（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？4.设1()3P A =，1()2P A B ⋃=，且A 与B 互不相容，则()P B = .1.A 1表示取到工厂甲的产品，A 2表示取到工厂乙的产品，B 表示取到次品014.002.04.001.06.0)(=⨯+⨯=P B …………5分43.0014.001.06.0)|(1=⨯=B A P2.A 1表示色盲患者是男子，A 2表示色盲患者是女子，B 表示色盲患者 02625.00025.05.005.05.0)(=⨯+⨯=P B , 95.002625.005.05.0)|(1=⨯=B A P3.123B B B ：表示冰箱为甲厂生产；：表示冰箱为乙厂生产；：表示冰箱为丙厂生产；A ：表示取到一台合格冰箱则123603251153()(),()1005100410020P B P B P B ======, 123(|)10.10.9(|)10.40.6,(|)10.20.8P A B P A B P A B =-==-==-=,(1)31313()()(|)0.90.60.80.815420i i i P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅=∑(2)所求事件的概率为11130.1()(|)65(|)0.31610.8119()P B P A B P B A P A ⋅===≈-5.X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘分布列；（3）X 与Y 是否独立？6.设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为(1)求Y X ,的边缘分布律(用表格表示)； (2)判断X 与Y 是否独立？5.解： (1)由规范性得2201(,)1i j i j p x y ===∑∑，所以0.3a =(2) X 和Y (3) 因为(0,1)0.1,(0)0.4,(1)0.4,P X Y P X P Y =======所以(0,1)(0)(1)P X Y P X P Y ==≠==，所以X 和Y 不独立6.由于{}{}{}1118.02.01,1=P =P =≠===P Y X Y X ,不相互独立7 .设（12分）随机变量X 具有密度函数01()2120xx f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，求()E X 及()D X 。
解：12201()(2)1E X x dx x x dx =+-=⎰⎰8.用机器装罐头，已知罐头重量服从正态分布 N （，(0. 02)2），随机地抽取25个罐头进行测量，算得其样本均值 1.01X ，试求总体期望的置信度为0. 95的置信区间.解：总体为正态分布且方差已知，则随机变量),(~10N nX σμ-，μ 的1-α 置信区间为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n Z X n Z X σσαα22,，又题意，α=0.05，查表得，Z 0.025=1.96 ,σ=0.02，带入公式得置信区间 （1. 002 , 1.018）9.某工厂生产一种零件，其口径X （单位：毫米）服从正态分布2(,)N μσ，现从某日生产的零件中随机抽出9个，分别测得其口径如下：14.6， 14.7， 15.1， 14.9， 14.8， 15.0， 15.1， 15.2， 14.7. ①计算样本均值x ； ②已知零件口径X 的标准差0.15σ=,求μ的置信度为0.95的置信区间. 解：(1) 91114.99ii xx （毫米）(2) μ的置信度为0.95的置信区间是0.0250.025x Z x Z ⎡-+⎢⎣，而0.15σ=,0.025 1.96Z =， 故所求置信区间为[]14.802,14.998，（毫米）. 10. 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分．问在显著性水平0.05的情况下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分,并给出检验过程．附：有关查表数据：0281.2)36(,0301.2)35(025.0025.0==t t解：由题意设这次考试学生的成绩为X ，则),(~2σμN X ,要检验假设0100:,70:μμμμ≠==H H 因为方差2σ未知,故选择检验统计量 )1(~0--=n t nSX T μ拒绝域为)1(||2/-≥n t t α.又0301.2)35(,05.0,36,15,5.66025.0=====t n s x α, 算出0301.24.1<=t .所以接受0H ,即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分11.某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量X ，它服从正态分布)015.0,(2μN ，当机器正常时，其均值为5.0. 某日开工后，为检验包装机是否正常，随机的抽取它所包装的糖9袋，称得糖重的样本均值为511.0=x ，问机器是否正常？取显著性水平05.0=α.(本题共6分) 附：有关查表数据 96.1025.0=Z12.设总体X 的分布律为其中θ未知且30<<θ，用X 的样本值-1,0,-1,2,0求θ的矩估计值及极大似然估计值.13.某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）：3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。
问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25.解：双侧检验：设0: 3.25H μ=，1: 3.25H μ≠拒绝域为2||(1)x t t n α=≥-，查表得t 0.005(4)=4.6041将2633.252,17010,13.0410x s s --==⨯=⨯0.343x =||0.343 4.6041t =<，未落入拒绝域中，接受0H ，认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25．14.某种零件的长度服从正态分布，方差21.12=σ.现从零件堆中随机抽取6件，测得长度（单位：毫米）为: 32.46 31.54 30.10 29.76 31.67 31.23问：当显著性水平为05.0=α时，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？双侧检验：设0:32.5H μ=，1:32.5H μ≠拒绝域为2||Z Z α=≥，查表得Z 0.025=1.96将231.13, 1.21, 1.1x σσ===3.16=|| 3.16 1.96Z =>，落入拒绝域中，拒绝0H ，认为这批零件的平均长度不是32.50毫米．15.某厂生产的青砖的抗断强度X 服从正态分布，长期以来其方差稳定在,21.12=σ现抽取一个容量为6=n 的样本,测定其强度,算得样本均值13.31=x ，试求这批青砖的抗断平均强度μ的置信水平为95％的双侧置信区间。
附：有关查表数据：5706.2)5(,96.1025.0025.0==t z 解：由于正态总体方差已知，故选取统计量)1,0(~/N nX Z σμ-=，故题中μ的置信水平为0.95的置信区间为)/,/(2/2/n z X n z X σσαα+-96.1,025.02,95.01,05.0,21.1,13.31,6025.02===-====z x n ααασ所以所求置信区间为：)/,/(025.0025.0n z x n z x σσ+- 即 )01.32,25.30(16.某车间用一台包装机包装葡萄糖，额定标准每袋净重0.5公斤，设包装机称得的糖重服从正态分布，且根据长期的经验知其标准差015.00=σ(公斤)，某天开工后，为检验包装机的工作是否正常，随即抽取9袋，数据如下： 0.497 0.506 0.518 0.524 0.488 0.511 0.510 0.515 0.512 问这天包装机的工作是否正常？(05.0=α)附：有关查表数据：18.2)8(,535.17)8(2975.02025.0==χχ96.1025.0=z , 65.105.0=z解：(1) 对正态总体),(2σμN ，μ未知，检验2202015.0==σσ．提出假设如下：20212020:,:σσσσ≠=H H ,用2χ检验法，选取统计量)1(~)1(2222--=n S n χσχ，拒绝域为:)1(22/2-≥n αχχ或)1(22/12-≤-n αχχ． 又,18.2)8(,535.17)8(,05.0,9,101875.12975.02025.042====⨯=-χχαn s算出,222.42=χ而535.1718.22<<χ.故接受0H ，即认为方差没有显著变化，可以认为222015.0==σσ． (2) 已知22015.0=σ，检验5.00==μμ． 为此提出假设0100:,:μμμμ≠'='H H 采用z 检验法，选取统计量)1,0(~00N nx Z σμ-=拒绝域为2/||αz z ≥． 又96.1,5.0,015.0,9,509.0025.000=====z n x μσ 算出96.18.1<=z .故接受0H ,认为5.00==μμ.即认为这天包装机的工作正常.。