33积分器1

Vi dt
积分器的输出电压正比于输入电压对时间 的积分。这是在初始条件Vc（0）=0的情况 下得出的输出电压表达式。
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3.3.1 积分器的基本工作原理
一般情况，积分运算是在一定的时间域上进行的， 当初始条件不为零时：
1
VO RC
Vidt－VC (0)
积分器能精确地实现积分运算的关键是运放反相 端的“虚地”
若ω→∞， 则K=0; 若ω ＝ ωo，则K=1; 若ω →0，则K= ∞ 。
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3.3.1 积分器的基本工作原理
积分器输入信号的频率越低、幅值放大倍 数越大。当输入的信号频率等于时，幅值 放大倍数K=1。所以积分器是一个低通滤 波器。
积 相分位9器0的度输，出即电压 V2O超。前于输入电压Vi的
存在； 运放的带宽增益积和积分电容的吸附效应
的影响，会使积分器不能瞬时地响应交变 的输入信号，从而引起动态误差 。
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一、积分漂移（漂移的积分）
特征：输入信号为零时，积分器的输出电 压随时间增长向正或负方向缓慢变化，直 至饱和为止。
假设AO为无穷大（运放的开环增益） 对图示的积分器，可列出方程
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VO
Vi t RC
Vi
t
如果输入正弦电压: V Vm sin t
输出电压为:
VO
Vm
RC
cost
Vm
cost
可见，输出亦为交流电压，其幅值与角频率ω成 反比，而相位超前输入电压90度。
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3.3.1 积分器的基本工作原理
幅值放大倍数以K表示：
K 1 o RC
要求掌握电路的特点； 输入/输出关系的推导； 掌握积分漂移、Ao 等有限产生的误差
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“虚地”既保证了电容器的充电电流正比于输入 电压，也保证了电容器两端的电压在数值上等于 输出电压。反相端偏离“虚地”时，会使积分器 产生误差。
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VO
1 RC
Vi dt
如果输入电压是一个常数，即Vi为直流 电压，这时输出电压为:
VO
Vi t RC
Vi
t
当输入电压为直流电压时，输出电压是随时 间变化的线性函数，其变化率与Vi成正比， 这种电路用于产生三角波或锯齿波。
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有限带宽增益积和电容吸附效应引起的误差
电容器的吸附效应是电容器介质内分子运动的粘 滞性引起的。当电容被充电或放电时，由于这种 粘滞性质的极化不能立即完成，而需要一定的时 间。当使充电过程中途突然终止时，电容器两端 的电压仍会略有下降或回升之后，才能稳定到某 个数值上，从而带来误差。
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有限带宽增益积和电容吸附效应引起的误差
积分器对阶跃输入信号的初期响应特性：
Vo
t
Vi RC
t
1
Aoo
式中，ωo=2πfBW，fBW为运放的开环-3dB带 宽，Aoωo为运放的带宽增益积。上式表示， 积分器的实际特性（曲线2）与理想特性
（曲线1）间的时间延滞约为
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性误差越小。为减小误差可选择漏电时间常数大的
电容。
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二、A0、Ri、RC所引起的误差
积分器的非线性误差与积分时间成正比 减小非线性误差的方法是增大A0，增大R”
和增大C；（增大R”意味着增大RC和Ri） 运放构成积分器的非线性误差比无源积分
器减小A0倍
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从而可使积分漂移大为减小。
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二、Ao、Ri、RC所引起的误差
Ri
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二、A0、Ri、RC所引起的误差
Cm (1 A0 )C A0C
Cm (1 A0 )C A0C
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Rm
Rc 1 A0
Rc A0
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二、A0、Ri、RC所引起的误差
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VC
+
_
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Vi IR VOS Ib Rr
I
Vi R
VOS R
I b
Rr R
Vo Vos Ib Rr Vc
VO
1 C
(I Ib )dt VOS Ib Rr
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最后解得：
VO
1 RC
Vi dt
1 RC
VOS
dt
1 C
(Ib
Rr R
Ib )dt
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3.3.1 积分器的基本工作原理
幅频特 性
相频特 性
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积分器电路及仿真波形
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积分器电路及仿真波形
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3.3.2 积分器误差分析
运放的开环增益A。和输入电阻Ri均非无 穷大 ；
积分电容的漏电阻Rc； 运放失调电压Vos，失调电流Ios及其漂移的
利用拉氏变换可得：
V0 (S)
A0
R
Ri
// Ri
Rm //(1 SCm ) // Rm //(1 SCm
)
Vi
(
S
)
A0
R( Ri
Ri Rm Rm )
Ri Rm
1[ R( Ri
Vi (S ) Ri Rm Rm ) Ri Rm
]RC m S
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二、A0、Ri、RC所引起的误差
o
1
Ao o
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有限带宽增益积和电容吸附效应引起的误差
例如，运放F741的典型参数为A。=105， ω延o滞=3τ0o=ra0d.3/μs，S。则由它组成的积分器，其时间
为减小积分器的时间延滞，应选用带宽增益 积大的运放。
电容器的吸附效应亦会引起积分器的动态误 差，特别是当积分器的运算速度较高时，吸 附效应的影响就会更加突出。
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有限带宽增益积和电容吸附效应引起的误差
图3-68（a）表示阶跃响应的后期特性，它表示 了积分器的非线性误差，图中曲线1为理想的特性， 曲线2为实际特性。显然，随着积分时间的加长， 积分器的误差加大，响应特性的斜率在数值上越 来越小。图3－68(b)表示阶跃响应的初期特性， 如果运放的幅频特性曲线是单极点的，则积分器 对阶跃输入信号的初期响应特性可由下式近似表 示：
电容器的吸附效应大小是用吸附系数表示的，它 是电容器短路放电1S测得的残存电压对所加电压 的百分数。例如，外加电压10V，测得短路放电 后1S的残存电压为5mV，则此电容的吸附系数为 0.05％。
为减小电容器的吸附效应引起的误差，应选用吸
附系数小的电容器。
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小结
积分器是一种十分有用的电路，特别是以 后要学到的双积分A/D转换器就是由积分器 等电路组成的。
VOS
Ib Rr
1 RC
Vi dt
如取Rr=R，则 ：
1 RC
VOS
dt
1 C
IOSdt VOS Ib R
当t=0时:
VO VOS Ib R
随着时间的增长，VOS、IOS造成误差将逐渐增大。
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1 RC
VOS dt
1 C
IOS dt VOS I b R
Ao (R //
Ri
//
RC Ao
)C
Ao R"C
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二、A0、Ri、RC所引起的误差
将时域式中的指数函数按麦克劳林级数展开并取 前两项可得：
V0 (t)
Vi RC
t(1
t
2
)
Vi RC
t[1
t 2 A0R' '
C
]
其中：
R'
'
R
//
Ri
//( Rc A0
)
式Ao中、第Rc一引项起是的积非分线器性的误理差想。输出，第二项是由Ri、
当t=0时: VO VOS I b R
分析结论：
1、随着时间的增长，VOS、IOS造成误差将逐渐增大。 2、减小积分漂移误差的根本措施是选用VOS、IOS、Ib小 的运放
3、在保证积分时间常数一定的条件下，尽可能选用较
大的电容C，减小失调电流IOS的影响 4、通过调零装置可将运放的初始失调电压调整到零，
3.3.1 积分器的基本工作原理
VC
+_
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1
3.3.1 积分器的基本工作原理
VC
+_
VO
VC
Q C
1 C
IC dt
1 C
Iidt
1 RC
Vidt
1
Vidt
式中，τ＝RC，称为积分器的时间常数。
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3.3.1 积分器的基本工作原理
所以，积分器的输出电压为:
VO
1 RC
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二、A0、Ri、RC所引起的误差
相对误差为：
t 2 A0R' ' C
t 2 A0RC
t 2 A0 RiC
t 2RcC
A0
Ri
Rc
Ao引起的R非i引起的非Rc引起的A线非o性引R线误起i引性差的起误非R线的差c性引非误起差的非 线性误差线性误差 线性误差
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若积分器的输入电压为阶跃信号，对上式 进行拉氏反变换可得：
V0 (t)
A0 R' R' A0R
(1
t
e
)Vi
式中：
R' A0Ri // Rc
A0R' R C
R' A0R
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二、A0、Ri、RC所引起的误差
A0R ' R R ' A0R
C
( AoR //
Ao Ri
//
Rc )C
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二、A0、Ri、RC所引起的误差
RC一定时，积分器的非线性误差与A0成反比， δA0 可用来估算在预定的非线性误差时，积分器的A0的 大小。
δi有Ri限为带运来放的的误R i差有可限忽带略来不的计误。差。如取R=0.1Ri时，R δRc为电容漏电阻Rc有限带来的误差。
电容器的电容量C与漏电阻Rc之积为一个常数，称 为电容的漏电时间常数。漏电时间常数越大，非线
三、有限带宽增益积和电容吸附效 应引起的误差
在理想情况下，当输入电压一加到积分器 的输入端时，积分器立即就有输出，没有 任何时间延滞。
然而，由于实际运放的带宽是有限的。使 实际积分器的输出在时间上有点滞后。积 分器对阶跃信号的瞬态响应如下图所示。
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有限带宽增益积和电容吸附效应引起的误差