2、自然摆动单摆机械能守恒问题新解

自然摆动的单摆机械能守恒问题新解
摘 要：重新解答了自然摆动的单摆机械能守恒问题，得出了在地面上和相对于地面做匀速运
动的小车上，单摆的机械能都守恒的新结论．
关键词：单摆；动能；势能；机械能守恒
中图分类号：O 313.1 文献标识码：A
在中学物理学和大学力学中，单摆摆动过程中的摆锤（可以视为质点，下同）的运动可以利用重力机械能守恒定律来研究，可是参考文献[1]- [5]得出在单摆问题中机械能守恒定律不满足伽利略变换，本文就单摆在摆动过程中的机械能守恒问题作进一步研究.
将摆锤质量为m ，摆线长度为L 的单摆挂在与地面相固连的摆架上，将摆锤从单摆静止时的竖直下垂位置拉至摆角为θ0（θ0∈[00,900]时自然放手，在忽略各种阻尼时，单摆就做自然摆动，θ0为最大摆角．有一小车相对于光滑地面以恒速u 沿单摆摆动方向向右运动．试问在地面（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系）和小车上观察，单摆的机械能是否守恒，并说明理由．
解：在地面上观察时，以过单摆的悬挂点且垂直于水平地面的向上的直线为y 轴，以从摆锤的最高点H 到y 轴的向右的垂线为x 轴，以该垂线的垂足o 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图1所示． 根据运动的对称性，我们仅需要考察摆锤从右侧的最高点到最低点的过程即可.由于在摆动过程中摆线的拉力和重力在该直线上的分力与位移垂直不做功，因此只需考虑重力在切线方向的分力. 设在地面上观察时，单摆在t=0时刻从最大摆角θ0开始摆动，在t 时刻的摆角、速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：θ，v ，a ，E k (t )，E p (t )，E (t )；在小车上观察时，单摆t 时刻的速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：v 1，a 1，E 1k (t )，E 1p (t )，E 1(t )．则在地面上观察（即以地面为静止系）时有：
v =t
s d d =t L d )]([d 0θθ-=t θL d d -，d t =v θL d -（0≤θ≤θ0）．
mg sin θ=ma ，g sin θ=a =t d d v =θL d d -v ⋅t θL d d -=θL d d -v ⋅v ，v d v =-gL sin θd θ，
⎰v v 0d v =-gL ⎰θ
θ0sin θd θ，21v 2=gL (cos θ-cos θ0)，v =)cos (cos 20θθgL -． t θd d =L -v =-L 1)cos (cos 20θθgL -
图1 自然摆动单摆机械能守恒问题新
=-)cos (cos 20θθL g -=-0cos 2cos 2θL g θL
g -＜0， 所以对于一个确定的单摆而言，只要初始状态确定，单摆的摆角是时间t 的单值函数，因此我们只需证明任意摆角的机械能相等即可，在本题中是减函数.
E k (t )= E k ′(θ)=2
1m v 2=mgL (cos θ-cos θ0)； E P (t )= E p ′(θ)= mgy =mg (L cos θ0-L cos θ)+0=-mgL (cos θ-cos θ0)．
E (t )=E k (t )+E P (t )= E k ′(θ)+E P ′(θ)=mgL (cos θ-cos θ0)-mgL (cos θ-cos θ0)=0．
所以在地面上观察时，单摆的机械能守恒，守恒值为0．
在小车上观察（即以小车为静止系）时有：
直觉判断法：
因为摆锤在最高点以匀速度u 相对于小车沿x 轴负向运动，我们规定此时的势能为0，所以在小车上观察时，摆锤的机械能比在在地面上观察时增加
21m (-u )2=2
1mu 2，所以在小车上观察时，摆锤的机械能为： E 1(θ)=E (θ)+
21mu 2=0+21mu 2=2
1mu 2（常数）． 所以，在小车上观察时，单摆的机械能守恒，守恒值为21mu 2． 数学推导法：
在地面系——设初相为0，v=ωR,
x=Rcos ωt
y= R sin ωt
将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：
x 1=x-ut=Rcos ωt-ut
y 1= y=R sin ωt
因此在小车系，轨迹仍然是一个圆，圆心做匀速直线运动，向心力与弧线垂直.
在地面系——设初相为0，v=ωR,
x=Rcos ωt
y= R sin ωt
将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：
x
1=x-ut=Rcos ωt-ut
y 1= y=R sin ωt
因此在小车系，轨迹仍然是一个圆，圆心做匀速直线运动，向心力与弧线垂直.
x 1v =x v -u =-v cos θ-u ，21x v = (x v -2)u =2x
v +2u -2u x v ；y 1v =y v ，21y v =2y v ． 21v =21x v +21y v =2x v +2u -2u x v +2y v =2v +2u +2u ⋅v cos θ=
2gL (cos θ-cos θ0)+u 2+2u ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ．
E 1k (t )= E 1k ′(θ)=21m 21v =mgL (cos θ-cos θ0)+2
1mu 2+mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ．
x a 1=t x d d 1v =t x d d v -0=x a ；y a 1=t y d d 1v =t
y d d v =y a ；a 1=a =g sin θ． m x a 1=m x a ；m y a 1=m y a ；ma 1=ma =mg sin θ．
0-E 1p (t ) =-E 1p ′(θ)=⎰θθma 01d s +⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--t
θL θma m 02
1sin cos v ⋅(-u )d t = ⎰θθθmg 0sin (-L d θ)+mu ⋅⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+θθθL θθg 0sin cos sin 2v v θL d -= -mgL ⎰θθθ0
sin d θ+muL ⋅⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+
θθL θθgL θg 0)cos (cos 2cos 0v θdcos = mgL cos θ
θθ0+mugL ⋅⎰-+θθθθθ0)
cos 2cos 2(cos 0)cos (cos 2cos d 0θ-θgL θ=
mgL (cos θ-cos θ0)+gL mugL 23 ⎰--+-θ
θθθθθθθ00000cos cos cos 32cos cos cos d(cos θ-cos θ0)= mgL (cos θ-cos θ0)+gL mugL 23⋅32(cos θ-cos θ023) +gL
mugL 2⋅2 (cos θ-cos θ021)cos θ0= mgL (cos θ-cos θ0)+mu ⋅gL 2(cos θ-cos θ023) +mu ⋅gL 2(cos θ-cos θ021)cos θ0=
mgL (cos θ-cos θ0)+mu ⋅gL 20cos cos θθ-(cos θ-cos θ0+cos θ0)=
mgL (cos θ-cos θ0)+mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ．
E 1p (t )= E 1p ′(θ)=-mgL (cos θ-cos θ0)-mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ．
E 1(t )=E 1k (t )+E 1p (t )= E 1k ′(θ)+E 1p ′(θ)=
mgL (cos θ-cos θ0)+21mu 2+mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ- mgL (cos θ-cos θ0)-mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ=2
1mu 2=常数． 所以在小车上观察时，单摆的机械能守恒，守恒值为2
1mu 2．当u =0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合玻尔的对应原理.
说明：文献[1]和[2]都认为拉力F 对于小球做功，造成机械能不守恒，上面的推导证明文献[1]和[2]的观点是错误的.通过本文我们也可以看出在单摆问题中绳子的约束力是一个保守力，可以改变动能和势能，但是不改变系统的机械能，与直接计算重力机械能得出的结果一致.
定理：质点做圆周运动的约束力是一个保守力，可以改变动能和势能，但是
不改变质点的机械能.
E 1p (t )= E 1p ′(θ)=-mgL (cos θ-cos θ0)-mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ
E P (t )= E p ′(θ)= mgy +E pT (θ)=mg (L cos θ0-L cos θ)+0=-mgL (cos θ-cos θ0)，若u=0 时二者始终相等，符合玻尔的对应原理;若u ≠0时，当且仅当θ=θ0时相等，即初始位置时相等.
另解：
据伽利略变换或图2知： R =r +u t ，V =v +u ，A =a +0=a ，F =m A =m a =f ．
V 2=V ⋅V =(v +u )⋅(v +u )=v ⋅v +2v ⋅u +u ⋅u =v 2+2u ⋅v +u 2，
21mV 2=21m v 2+m u ⋅v +2
1mu 2，E k =e k +m u ⋅v +C ， d E k =d e k +m u ⋅d v +d C =d e k +u ⋅m t d d v d t +0=d e k +f ⋅u d t ．
d E p =-F ⋅d R =-f ⋅d(r +u t )=-f ⋅d r -f ⋅d(u t )=d
e p -
f ⋅u d t ．
d E k +d E p =d
e k +
f ⋅u d t +d e p -f ⋅u d t =d e k +d e p ，d(e k +e p )=d(E k +E p )，
d e =d E =0．
所以，在小车系观察时，摆锤（或单摆）的机械能守恒．由于在小车系看来摆锤在最高点的机械能为21mu 2，因此守恒量为2
1mu 2. 科学发展的历史表明，一个成功的理论是来源于科学实验和科学观测，随着观测事实的累积，一方面使理论得到更广泛的证实，另一方面必然会暴露出理论的局限性，从而迫使理论朝着更深刻和更普遍的方向发展。

所谓更普遍就是要求新理论能概括更多的观测事实，从而扩大了理论的适用范围，但在旧理论的适用条件下，必然能返回到旧理论所能描述的全部特征，这也是衡量一个理论正确与否的重要判据之一.
在上面的单摆问题中势能只能说是与重力有关的势能，不是严格意义上的重力势能，因为质点受到的合力不等于重力.在本题中摆线的力是一个保守力，也是一个弹力，只不过认为摆线的劲度系数为无穷大，忽略形变，因此本题是两个保守力共同作用下的机械能守恒问题. 机械能守恒定律中的保守力应该是保守力的合力，本题中如果按照重力机械能计算显然不满足力学相对性原理.
图2 自由摆动单摆机械能守恒问题新解
当观察者相对于单摆静止时，利用重力机械能守恒定律得出的结果等效；当观察者相对于单摆的悬挂点匀速运动时，直接利用重力机械能守恒定律是错误的，应该利用保守力所做的功等于势能的减少来计算.
参考文献：
[1]蔡伯濂．关于力学相对性原理与机械能守恒综述[J]．大学物理，1994，(13)1：20—22．
[2]何红雨．机械能守恒定律与惯性参照系的选择[J]．广西物理，1997，(18)3：27 29．
[3]金若兴. 机械能守恒定律的条件. 物理教学，1985年1月
[4]熊秉衡. 在不同惯性系中的机械能守恒定律，物理（原名《物理通报》），1964年6月
[5]施肖铮.在不同惯性系中的机械能守恒定律，常州信息职业学院学报，2002年12月，第1卷第2期
[6]熊秉衡. “在不同惯性系中的机械能守恒定律”一文的更正与补充，物理（原名《物理通报》），1965
年3月
Brand-new explanation of mechanical energy conservation of
a natural swinging single pendulum
Li Xue-sheng
（School of Physics，Shan dong University, Jinan,Shandong 250100）
Shi Jiao-min
(Department of Science and Technology, Shijiazhuang Radio and Television University, Shijiazhuang，Hebei 050081)
Abstract：It refurbished the issue of mechanical energy conservation of a natural swinging single pendulum, which straightforwardly led to conclusion, no matter we take reference frame of the earth itself or the cart moving in uniform speed to the earth, the mechanical energy of a natural swinging single pendulum is always conservative.
Key words：the single pendulum；kinetic energy；potential energy；conservation of mechanical energy。