结构力学教学 虚功原理与结构位移计算

B EA
EA 3
3
Q
AkFQPFQ ds kqR2 1 (1 cos3 )
B GA
GA 3
设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12
N 1 M 600
90 Q 1 M 375
M
qR4 3EI
N
2qR2 3EA
k qR2 Q 3GA
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
例5-6 试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角△。
为材料的线膨胀系数。
由图(b)，杆件的轴线温度缘的温差 t t2 t1
t0
d t
ds h
得
FNt0ds
M
tds
h
若t0、△t、h沿每一杆长为常数则
t0
FNds
t
h
M
ds
§5-6 温度作用时的位移计算
例5-11 试求图(a)所示刚架C点的竖向位移△C。各杆截面为矩形，
（2）变形体虚位移方程：虚设变形形态，则虚功方程可写为
FP *
FRK cK*
B
(M
A
*
FN
*
FQ
* 0
)ds
§5-8 变形体的虚功原理
单位支座位移法
结构处于某个平衡受力状态，已知荷载FP和各杆内力M、 FN、FQ，拟求某个支座反力（或约束反力）FR1。
虚设与FR1相应的单位支座位移 c1* 1 代入虚位移方程得
dWi Md FNdx FQ 0dx
整个变形体的内虚功为
B
Wi A (Md FNdx FQ 0dx)
变形体虚功方程为
B
(M BB FNBuB FQBwB ) (M A A FNAuA FQAwA )
( pu qw)dx
A
B
A (Md FNdx FQ 0dx)
§5-8 变形体的虚功原理
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
例5-4 图(a)所示为一屋架，图 (b)是屋架的计 算简图。试求顶点C的竖向位移。
解（1）求FNP如图(c)
（2）求 FN 如图(d)
（3）求△C
C
FN FNPl EA
代入数据求得 C 1.66cm()
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
例5-5 图(a)所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧
FR1
B
(
A
M1*
FN1*
FQ
* 01
)ds
FP
* P1
若为静定结构，当虚设单位支座位移时，虚设应变为零，则
FR1
FP
* P1
§5-9 互等定理
应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比。 结构变形很小，不影响力的作用。
1. 功的互等定理
状态I的力系在状态Ⅱ的位移和变形 上作虚功，可写出虚功方程为
虚设力系如图b求得51应用虚功原理求刚体体系的位移支座移动时静定结构的位移计算图a中支座a有给定的竖向位移c虚设力系如图a虚功方程为求得2求虚设力系如图b虚功方程为51应用虚功原理求刚体体系的位移设支座k有给定位移c静定结构的位移计算步骤为1沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载求出相应的2令虚设力系在实际位移上作虚功写出虚功方程3由虚功方程解出拟求位移局部变形时静定结构的位移计算举例例51图a所示悬臂梁在b处两个相邻截面有相对转角
力系平衡条件
图(a)所示直杆处于平衡状态 图(b)所示微段隔离体应满足平衡条件
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
§5-8 变形体的虚功原理
变形协调条件
直杆AB的位移和变形如图 (a)，三个位移分量：截面的角位 移θ、截面形心的轴向位移u和横 向位移w。杆轴切线的角位移为
M
MM P ds ql4
EI
8EI
Q k
FQ FQP ds 0.6 ql 2
GA
GA
总位移
M
Q
ql4 8EI
0.6ql2 GA
Q 4.8 EI
M
GAl 2
设μ=1/3，E/G=8/3 I/A=h2/12
Q 1.07( h )2
M
l
h 1 Q 1.07% l 10 M h 1 Q 1 l 2 M 4
2. 局部变形时的位移公式
图(a)所示悬臂梁B点附近的微
段有局部变形，其他部分没有变形。
微段ds两端截面的 相对位移如图(b)
d ds d 0ds d ds
虚设力系如图(c)
虚功方程为
d Md FNd FQd 或 d (M FN FQ 0 )ds
局部变形时的位移公式
§5-2 结构位移计算的一般公式
截面高度h=60cm，α=0.00001℃-1。
解：虚设力系作FN图和 M 图，如图(b)、 (c)
t0 5C
t 10C
得
C
t
h
Mds
t0
FNds
5a(1
3a ) h
则 C 0.93cm()
§5-8 变形体的虚功原理
设变形体在力系作用下处于平衡状态， 又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形， 则外力在位移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形 上所作的内力虚功Wi。即 W Wi
（3）由虚功方程解出拟求位移 FRKcK
若△为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。
§5-2 结构位移计算的一般公式
1. 局部变形时静定结构的位移计算举例 例5-1 图(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。
试求点的竖向位移△。
解：实际位移状态可改用图(b) 表示 虚设力系如图(c)
解：作MP图和 M 图，如图(b)、 (c)所示
MP图的面积分为A1、A2、A3三块计算
A1
ql3 4
A2
ql3 4
A3
ql3 12
M 图上相应的标矩为
y1
2 3
l
y2
2 3
l
y3
l 2
求得
3ql4 () 8EI
§5-5 图乘法
例5-10 试分析例5-9所示刚架轴向变形对B点水平位移的影响。
解：作FNP图和 FN 图如图(a)、 (b)所示
虚设力系如图(b)
FR1
b a
虚功方程为 1 c1FR1 0
求得
b a
c1
§5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
支座移动时静定结构的位移计算 图(a)中支座A有给定的竖向位移cA，
拟求：（1）C点的竖向位移△C
（2）杆CD的转角β
（1）求△C，虚设力系如图(a)
（2）求β，虚设力系如图(b)
虚功方程为
§5-5 图乘法
例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。
解：荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 M 如图(b)
B
MM P EI
ds
1 EI
Ay0
ql3 24 EI
(
)
§5-5 图乘法
例5-8 试求图(a)所示悬臂梁中点C的挠度△C。
解：MP图和 M 如图(a)、 (b)所示
显然
W12 FP
( FN FN M M kFQFQ)ds EA EI GA
状态Ⅱ 的力系在状态I的位移和变 形上作虚功，可写出虚功方程为
W21 FP
( FNFN M M kFQFQ )ds EA EI GA
FP FP
即 W12 W21
§5-10 小结
2. 位移互等定理
图中AB杆件为直杆，Mi图是直线图，则
M i x tan
B
B
A M iM K dx tan A xM K dx
B
A x M K dx Ax0
B
A M iM K dx tan Ax0 Ay0
可得
MiM K dx 1
EI
EI
MiM K dx
1 EI
Ay0
注意：y0应取自直线图中； 面积A与标距y0在杆的同一边时，乘积A y0取正号。
若杆件上有集中荷载作用，则变形体虚功方程为
M
FNu
FQ w
B A
B
B
( pu qw)ds
A
FP A (Md FNdx FQ 0dx)
变形体虚功方程的两种应用
（1）变形体虚力方程：虚设平衡力系，则虚功方程可写为
FP*
FR*K cK
B
(M
*
A
FN*
FQ* 0 )ds
加*号的量表示虚设量
解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l)
实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)
MP
FPb l
x
(0 x a)
MP
FP a(1
x) l
(a x l)
MM P ds FPab(
EI
2EI
)
§5-5 图乘法
图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图， 截面抗弯刚度EI为一常数。
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
位移产生的主要原因 （1）荷载作用 （2）温度变化和材料胀缩 （3）支座沉降和制造误差
刚体体系位移，无应变
变形体体系位移，有应变
§5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
虚力原理—虚设力系求位移
图(a)中的静定梁，支 座A向上移动已知距离c1，
拟求B点的竖向位移△。
桁梁混合结构
MM P ds FN FNPl
EI
EA
MM EI
P
ds
拱
MM P EI
ds
FN FNP EA
ds
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
例5-3 试求图(a)所示悬臂梁在A端的竖向位移△，并比 较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。
实际荷载作用下的内力如图(a) 虚设单位荷载作用下的内力如图(b)
AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。
解：虚设荷载如图(b)
图(a)中
MP
1 2
qx2
FNP qx sin
FQP qx cos
图(b)中
M x
FN sin FQ cos
M
AMPM B EI
ds qR4 ( 2 cos 1 cos3 )
2EI 3
3
N
A FNPFN ds qR2 ( 2 cos 1 cos3 )
M 图中三角形面积为 A 1 l l l2
222 8
MP图中相应的标距为
y0
5 6
FPl
求得
C
1 EI
Ay0
5FPl 3 48 EI
()
如果计算MP图面积及 M 图上相应的标矩，如何考虑？
§5-5 图乘法
例5-9 试求图(a)所示刚架结点B的水平位移△。各杆截面为矩形
bh，惯性矩相等，只考虑弯曲变形。
如图(a)、(b)，由功的互等定理
FP112 FP221
令
ij FPj
ij
或 ij FPjij
ij —称为位移影响系数
可得
FP1FP 2 12 FP2FP121
即
12 21
§5-10 小结
3. 反力互等定理
如图(a)、(b)，由功的互等定理
FR21 c2 FR12 c1
令
rij
FRij cj
或 FRij rij c j
rij —称为反力影响系数
可得 c1r12c2 c2r21c1
即
r21 r12
§5-10 小结
4. 位移反力互等定理
如图(a)、(b)，由功的互等定理
FP112 FR21c2 0
即
FP112 FR21c2
令
12 c2
12
或 12 12c2
FR 21 FP1
1 C
1 3
cA
0
求得
1 C 3 cA
虚功方程为 求得
1
1 2l
cA
0
1 2l
cA
§5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
设支座K有给定位移cK，静定结构的位移计算步骤为 （1）沿拟求位移△方向虚设相应的单位荷载，求出相应的 FRK
（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程
1 FRKcK 0
Mds FNds FQds c FRK cK
§5-3 荷载作用下的位移计算
MP
EI
FNP
EA
k FQP
GA
荷载作用下弹性位移的一般公式为
MM P EI
ds
FN FNP EA
ds
kFQ FQP GA
ds
桁架
FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
梁和刚架
dW
dx
微段dx的三个应变分量如图(b)，可得
轴线的线应变 截面平均切应变
du
dx
0
dW dx
§5-8 变形体的虚功原理
变形体虚功方程
外力在位移上所作的虚功为
B
W (M BB FNBuB FQBwB ) (M A A FNAuA FQAwA )
( pu qw)dx
A
微段dx两侧面的应力合力在变形上作的内虚功为
N
FN FNP ds EA
FN FNP l ql2 () EA 2EA
由例5-9求得 可得
h/l=1/10时
M
3ql 4 8EI
N M
4I 3Al2
1 9
h2 l2
N 1 M 900
§5-6 温度作用时的位移计算
如图(a)：设杆件的上边缘温度上升t1，下边缘上
升t2，沿杆件截面厚度为线性分布，α
3. 结构位移计算的一般公式
根据叠加原理
d (M FN FQ 0)ds
如果结构有多个杆件
(M FN FQ 0 )ds
在支座处还有给定位移cK (M FN FQ 0 )ds FRKcK
式中：弯曲变形κ对位移的影响 轴向变形ε对位移的影响 剪切变形γ对位移的影响 支座位移cK对位移的影响
r21
FR 21 r21FP1
可得 FP112c2 r21FP1c2 即 12 r21
§5-10 小 结
1. 位移计算的一般公式及灵活应用 (M FN FQ 0)ds FRKcK
要虚设力系—虚力法：以单位荷载为标志—单位荷载法
△：拟求的广义位移，FP=1：与△共轭的单位广义荷载。
虚功方程为 1 M 0
解得
M
§5-2 结构位移计算的一般公式
例5-2 在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α
角的斜向位移分量△。
解：图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。
虚设力系如图(c) FQ sin
虚功方程为 1 FQ 0
解得 FQ
§5-2 结构位移计算的一般公式